引潮力和引潮力位

10.4.1 引潮力

地球上观测到的重力除地球自身的引力以及与地球自转相关的惯性力——离心力之外，还包含日、月及其他天体的引力，称为引潮力，它造成地球形状的变化和地球重力场随时间的变化。与引潮力及其造成的地球形状变化相关的现象叫固体潮。与日、月相比，其他天体的影响都极其微小，因此这里只限于讨论日、月的影响。

1.地、月系统

将地、月当作一个独立的力学系统来计算月亮的引潮力。近似地将地、月当作质点，分别用E，M表示地、月质量。如图10-6所示，其中O为地球的质心，O′为月亮的质心。

图10-6 地、月系统

rm为月心至地心的距离，G为月地系统的公共质心。月亮和地球相互吸引，月亮作用在地球整体上的引力位Fm（O），地球作用在月亮整体上的引力位Fe（O′），根据万有引力定律有：

式中，G为引力常数（G=6.67×10-8g·cm3·s-1）；M为月亮的质量（M=7.3537×1025g）；E为地球的质量（E=5.9993×1027g）。

取地球中心O为参考点，月地系统的公共质心G到O点的距离OG为

考虑到

E/M=81.5（10-5）

rm/R≈60.3（10-6）

因而得

OG=0.73R（10-7）

即月地系统的公共质心G位于地球内部，它至地心的距离0.73R。

现在考察地球质心O绕月地系统的公共质心G旋转时，地球所做的运动。如图10-7所示，其中O为地球的质心，O′为月亮的质心，G为月地系统的公共质心，AOB为地球内部的任一条直径。若在某一瞬间，月亮O′在O′1的位置上，地心O在O1的位置上，O′1，G，O1在一条直线上。过一段时间后，月亮的质心O′由O′1旋转至O′2，地球的质心O以G为中心，以0.73R为半径从O1旋转至O2位置，O′2，G，O2仍在一条直线上。当地球的质心O由O1旋转至O2时，地球内任意一条直线AB上的A段以A′为中心，以0.73R为半径从A1旋转至A2，B以B′为中心，以0.73R为半径从B1旋转至B2，直线AB与自己平行由A1B1旋转至A2 B2。也就是说，当地球的质心O绕月地系统的公共质心G沿为0.73R的半径旋转时，地球内部任一点所描绘的轨迹与地心O所描绘的轨迹相似，即为圆心不同、半径相等（等于0.73R）的圆周。此时，地球所做的这种运动是一种平动。

图10-7 地球质心O绕月地系统的公共质心G旋转时地球所做的运动

2.月亮的引潮力

由于地球的这种平动，地球不是一个惯性坐标系。因为在考察发生的力学现象时，必须考虑由于地球的平动而产生的惯性力。

如图10-8所示，选取与地球固定在一起的直角坐标系O-XYZ，原点选在地球的质心O

图10-8 月球在地球内部任一点A产生的引潮力

上，O轴经过月地系统的公共质心G指向月亮的质心O′。由于地球所做的平动，地球内部任一点A单位质量受到的离心力qm（A）为

qm（A）=-ω2·OGk（10-8）

式中，ω为地心O绕月地系统公共质心G的旋转角速度。这里考虑到当地球的质心O绕月地系统的公共质心G沿为0.73R的半径旋转时，地球内部任一点所描绘的轨迹与地心O所描绘的轨迹相似，即为圆心不同、半径相等（等于0.73R）的圆周。

考虑在地球质心处的单位质量，由于静力平衡，有ω2·OG=，由此得

地球内部各点处单位质量受到的离心力大小相等，等于月亮作用在地球质心处的单位质量的引力（指作用在位于O点的单位质点上的力），彼此平行，平行于地球的质心O与月亮的质心O′的连线OO′，背向月亮。

在讨论地球的固体潮现象时，常把地球看成半径为R的地球，此时地球的重力可以近似地写成

因而有

由此可见，qm（A）的大小与月亮对地球质量比成正比，与地球的半径对地心至月心的距离的比的平方成正比。

将M/E≈81.3，R/rm≈1/60.3，g=981Gal代入，得

qm（A）=-3.31k（m Gal）（10-13）

地球内部任一点A到月心O′的距离rm，A是A点在地球内部的位置的函数，所以月亮在地球内部各点的引力大小和方向都不同。如图10-8所示，月亮在地球内部任一点A的引力fm（A）和该点的离心力qm（A）的矢量和，称为月亮在该点的引潮力tm（A），即

tm（A）=fm（A）+qm（A）（10-14）

地球在月亮的引潮力作用下发生形变，这种潮汐形变使地球在地心O和月心O′的连线上拉长，而在与OO′垂直的平面内压缩（图10-9）。由于地球绕其自转轴自西而东旋转，对地球表面上任一点来说，每一个太阴日（24h50min）月亮两次通过该点的子午圈。在一个太阴日内，地面上任一点的引潮力两次向上、两次向下，因而有两次高潮、两次低潮。

图10-9 地球在月球引潮力作用下发生的变形

3.太阳的引潮力

与月亮在地球内部形成的起潮力相似，太阳在地球内部任一点的引潮力ts（A）等于太阳在该点的引力fs（A）和由于地球绕日地系统的公共质心旋转在地球内部产生的惯性离心力qs（A）的矢量和，即

ts（A）=fs（A）+qs（A）（10-15）

月亮和太阳在地球内部任一点的总引潮力t（A）是ts（A）和tm（A）的矢量和。

10.4.2 引潮力位

引潮力t（A）是一个数量函数的梯度，这个数量函数称为起潮力位。

首先讨论月亮在地球内部形成的起潮力位。如图10-8所示，地球内部任一点A的离心力qm（A）是下述函数Qm（A）的梯度。

式中，Z为A点的坐标。不难验证：

qm（A）=grad Qm（A）（10-17）

因为

Z=r·cos Zm（10-18）

式中，r为A点至地心O的距离，Zm表示A点和月亮相对于地心的夹角。于是有

而月亮在A点的引力fm（A）是月亮在A点的引力为Um（A）的梯度。

Um（A）和Qm（A）的和称为月亮在A的起潮力位Tm（A），即

Tm（A）=Qm（A）+Um（A）（10-22）

tm（A）=grad Tm（A）（10-23）

得

如图10-8所示，有

上式中Pn（cos Zm）为n阶勒让德多项式，考虑到

r/rm≤1/60.3（10-26）

只取到含（r/rm）3的项，得

上式中，因为rm是地心O至月心O′的距离，它与点在地球内部的位置无关。所以对A点来说，rm（A）是一个常数。在Tm（A）的表达式中，舍去常数项G，得

同理，对太阳在地球内部形成的起潮力位Ts（A）来说，有

式中，S为太阳的质量；E为地球的质量；rs为太阳质心到地球质心的距离；Zs为太阳对A点的地心天顶距。从而

S/E=333432（10-30）

r/rs≈1/234000（10-31）

因为1/rs＜1/234000所以在太阳的引潮力位Ts（A）的表达式中，仅取含s的项。