均匀各向同性半空间点电流源的电场

在直流电路中，流经某元器件的电流为I，元器件两端的电压降为U，则这一元器件的电阻R为

这就是欧姆定律。

若这一元器件是长为L、横截面积为S的柱状物体时，其电阻R为

式中，ρ为比例系数，称之为电阻率，它与物体大小、形状无关，由物体本身的性质决定，其单位是Ω·m。电阻率越低，物质的导电性越好；反之，电阻率越高，其导电性越差。

对于体积分布的导电媒质，若稳恒电流场的电流密度矢量为j，则相应处电场强度E=ρj，这也是欧姆定律，更准确地说是欧姆定律的微分形式。

假设地下介质是导电的媒质，其电阻率是单一、均匀和各向同性的，地面是一无限宽广的平面，空气不导电。这种介质模型称为均匀的、各向同性的半无限空间介质。

12.1.1 一个点电流源的电场

将两根金属棒A和B相隔一定距离插入地下，当电极距AB非常大时，B电极离A电极足够远，如果仅考虑A电极附近的空间范围，可认为B电极位于“无穷远处”（图12-1（a）），产生的影响可以忽略不计。对AB电极供电，则在A电极附近的空间A电源建立的电场可看作是一个点电流源的电场（图12-1（b））。

假定通过点电极A进入地下的电流强度为I。在单个点电源的电场中，电流线是以A为中心的辐射线，其方向与电流密度的方向相同。与电流线处处正交的面电位值处处相等，称为等电位面。设地下均匀半无限空间的介质电阻率为ρ，则空间任一观测点M的电流密度值为

图12-1 地面点电源的电场

式中，r为AM的距离；j为流过截面ΔS的电流强度。根据欧姆定律的微分形式，得到M点的电场强度为

于是可求出距点电源A为r处的电位为

由此可见，以r为半径的半球面上的电位处处相等。

12.1.2 两个异性点电源的电场分布

如图12-2所示，如果电场中两个点电源A和B，大小相等，极性相反，那么地下的电场应是A和B各自引起的电场的叠加，也就是两个异性点电源的电场。这样，电场中任一点M的电位UM等于点电源A和点电源B电场在M点电位的代数和，即

图12-2 AB供电时电流线和等位线图

图12-3 两个异性点电源的电场

12.1.3 均匀各向同性介质电阻率的确定

如图12-3所示，当地面上由A，B点电极向电阻率为ρ的均匀各向同性介质供以强度为I的电流时，在地面任意两点M，N之间产生电位差ΔUMN，A，B称为供电电极，M，N称为测量电极。

按点电源的电场公式可计算得到M，N两点之间的电位差为

其中，K称为装置系数。当各电极位置一定时，K值为常量。

这样，通过电极A，B往地下介质通入电流I，观测电极M，N的电位差，就可获得地下介质的电阻率。