一维层状介质平面电磁波传播特性

一维层状介质模型是大地电磁测深法常用、经典的介质模型，由水平层状介质组成，各层内部介质的电性是均匀各向同性的，只是层与层之间的电性不同。图14-1表示一个n层地电断面，各层的电阻率为ρ1，ρ2，…，ρn，厚度为h1，h2，…，hn-1，hn→∞。正演问题是求解地面电磁场或波阻抗和地下介质电阻率分布之间的关系。

图14-1 层状介质模型

由于层状一维介质中的电性在水平方向上是均匀的，因而垂直入射平面波的场强在水平方向上也应该是均匀的，引入z轴向下的直角坐标系，将有

以H偏振为例，这时在第m层介质中，有波动方程

其中，km是第m层的复波数，即

这是一常微分方程，其通解为

利用Ex和Hy的关系，得

式中，Am和Bm为待定常数，也是针对第m层而言。即层状介质中各层有不同的电阻率，复波数和积分常数。

积分常数Am和Bm必须根据边界条件来确定。在上述模型中，最底部的第n层，hn→∞，该层中，z→∞时，Ex=Hy=0，要求相应的积分常数Bm=0。这样，底部第n层的波阻抗等于介质的特征阻抗：

这里Zn表示第n层顶界面（z=zn）处的波阻抗。其余各层（m＜n）的波阻抗为

其中，第n层的特征阻抗为

同一层Am和Bm是相同的，作如下变换：

从而有

把分界面上的波阻抗称为面阻抗。第m层顶面的波阻抗为Zm=Z（zm），底面的波阻抗等于第m+1层顶面的波阻抗，用Zm+1=Z（zm+1）表示，这里zm和zm+1分别为第m层和第m+1层顶面的埋深。于是

式中，hm=zm+1-zm，它是第m层的厚度。令

称Lm+1为第m层底界面的磁反射系数，于是

注意到最底部第n层的波阻抗是介质的特征阻抗，于是，层状介质地面波阻抗可以通过以下递推公式求得：

递推计算从最底部第n层开始，当令m+1=n时，有Zm+1=Z0n，通过上面式子求Lm+1和Zm，得到第n-1层顶面的波阻抗。然后依次使m递减，直至m=1，则可求出地面的波阻抗。显然地面波阻抗是地下各层介质的电阻率，厚度和电磁波周期T的函数。

利用双曲函数：

将式Z（z）=Z0m 中的Bm/Am作如下变换：

式中，取±Bm/Am是考虑到负数没有对数，于是

当＜0时，Z（z）=Z0mtanh[-kmz-ln]，则

在二层介质中，当ρ2＜ρ1时取双曲正切函数：

反之，当ρ1＜ρ2时取双曲余切函数：

在均匀介质中，介质的电阻率和波阻抗关系为

借用这一关系式，把非均匀介质的地面波阻抗代入上式，称相应的电阻率为视电阻率，用ρT表示。

定义变换阻抗Rm，n为

其中