应用分析—微机电的遗传鲁棒优化设计

微机电系统(Mechatronic System)是多种学科交叉融合并具有战略意义的前沿高新技术,是未来的主导产业之一,其广泛应用于汽车、卫生、航天、电信、工业产品、消费产品等各个领域。与传统的机电系统相比:微机电系统的尺寸在微米级,这就使得相对不确定性可能很大;同时由于微尺寸效应,材料特性也存在不确定性。基于上述特点微机电设计须考虑不确定性对性能的影响进行鲁棒性优化设计。鲁棒性微机电系统优化设计的原则为:在满足给定约束条件的前提下,使系统的性能满足设计要求,同时把不确定性对系统影响的敏感度降到最低。

下面的内容是我们与丹麦科技大学机械系联合完成的课题报告中的一部分。

2.7.1　微机电的设计的数学模型

这部分内容以及后面的实例引自“Peter Josef Sedivec.Robust Optimization Design in MEMS.Technical Report.Berkeley Center for Control and Identification,2002”,具体如下:

(1)设计问题的一般表示为:

这里x∈R n设计向量,f(x)为目标函数,用来描述系统性能,g i(x)≤0　i＝1,…,n是n个约束条件。其中D(x)和N(x)分别是关于x的多项式。

(2)存在不确定性影响时,目标函数定义为:

其中δ∈R r为不确定性,D(x,δ)和N(x,δ)是x,δ的函数。

(3)鲁棒性优化问题表示为:

f(x,δ)一阶泰勒展开式近似表示为

把(2.62)式代入(2.61)式可得

最后把问题转化成为与量度无关的形式为

(2.64)式的前半部分度量对目标值背离的程度,后半部分度量对不确定性δ的敏感度,侧重不同设计要求的选择,可以给误差的组合加上相应权重,则式(2.64)式可改写为:

因此,设计的目标转化为最小化表达式(2.65)式。

2.7.2　基于遗传算法的微机电系统鲁棒性设计

其中F obj为目标函数值。对于(2.65)式的目标函数来说,目标函数值变化范围很大,如果采用上述方式合适的常数C的选取非常困难。为此提出了指数形式的适应度函数。

其中F obj为目标函数值,a,b为正实数。

基于上述的讨论,求解算法步骤描述为:

把最小化问题转化成最大化问题,采用指数形式表示,适应度函数表示为:

Step 1.初始化种群:在约束空间集合中选取一个内点V 0和一个大的整数M 0。在R n中随机的选取一个方向d。令M＝M 0,若V 0＋M·d可行,即满足设计约束。则令其为新的染色体;否则令M为(0,M 0)间的随机数,直到V 0＋M·d可行。重复选取方向d直到达到群体规模。

Step 2.计算群体中每个个体的适应度值,保存当前代中适应度值最好个体到集合s。

Step 3.选择:采用转轮法选择个体到下一代。

Step 4.交叉:采用算术交叉,对于双亲v 1和v 2,交叉产生的后代v′和v″分别为

如果v′和v″不满足约束条件则重新选择c 1,c 2直到满足设计约束。

Step 5.变异:随机产生变异方向d,变异后的后代为v′＝v＋M 0·d,如果不可行则令M为(0,M 0)之间再产生随机数M,直到v′＝v＋M 0·d可行为止。

Step 6.检查循环结束条件,如果满足结束条件则退出,否则重复执行Step 3－6。

设计实例双自由度共鸣器的结构图如图2.17所示,它由一个质量块A和一端固定的两根平行梁组合而成。

图2.17　双自由度共鸣器结构图

设计参数如下表所示:

表2.3　设计参数

设计目标:

约束要求:

系统固有频率:其中K＝2Eth 3/L 3为两个梁组合刚度,M＝ρAt为质量快的质量,设计变量为x＝[h,L]T,存在不确定性时设计变量表示为:＝x＋δ。

定义:则式(2.65)等价为:

遗传算法实现

考虑到在算法进行的过程中,变异更有助于搜索方向的选择,所以对于参数设置为:λ1＝1,λ2＝1,v 0＝[11,300],M 0＝9,交叉概率P c＝0.2,变异概率为:P m＝0.6,迭代次数:1500代(循环结束条件),种群大小:popsize＝100。

使用Matlab实现上述算法,连续运行该算法5次,最佳的适应值变化曲线如下图所示:

图2.18　设计结果1

结果:x＝[5.2066　499.5698],设计所得共振频率＝1.9974×104 Hz,(2.64)式表示的偏差为0.0133。改变内点v 0＝[6　300],M 0＝5,运行算法后适应度值的变化曲线如图2.19所示。

结果:x＝[5.1983　499.8441],设计得到共振频率＝1.9910×104 Hz,(2.64)式表示的偏差为0.0132。从获得的最终结果来看,其偏差甚微。该结果与现有文献中给出的最优解(x＝[5.2　500],设计得到共振频率＝1.99×104 Hz,(2.64)式表示的偏差为1.316×10－2)相比基本相同。

结果分析　在上述实现中,初始种群的产生是内点的方式来实现的,若采用随机方式产生初始种群,算法其他步骤不变,运行参数不变,运行算法1次,结果为:x＝[5.1990　499.1786],设计所得共振频率＝1.9954×104 Hz,(2.64)式表示的偏差为0.0132。从结果上看两者同样有效,但从运行耗时上看,对于强约束问题内点法明显有优势;对于P m的选择,由于最后实现结果是通过从代最优个体集中选取的,所以增加变异概率有助于搜索方向的选择,但增加变异概率的同时会增加耗时,经过反复测试,P m取0.6为宜;一般来说λ1/λ2取值为1,但对于不同的设计侧重点λ1、λ2可取不同的权重值,当强调设计目标时λ1/λ2取[5,10]之间数为宜。相反强调降低敏感性时λ2/λ1取[2,4]之间为宜,这样既保证最大限度的满足设计要求,同时最大的降低敏感度。

图2.19　设计结果2

2.7.3　结语

微机电系统的鲁棒性设计是一个重要的前沿课题。本节讨论其中的部分内容,并针对一个具体问题—双自由度共鸣器的优化设计进行了简要报导。但由于研究时间不长,这里所讨论问题和相应解决方案尚嫌肤浅。日后,将作进一步深入研究。