交流电的相量表示

一个正弦量可以用最大值、角频率、初相位来确定，并用三角函数形式或曲线波形图表示，但用这两种方法对正弦量进行计算显得烦琐，为此，在分析正弦交流电路时，常采用相量形式来表示一个正弦量。相量表示正弦量的数学基础是复数，以下简要介绍一下复数的知识。

1. 复数

复数A的代数形式为：

A=a+ jb　 （1 − 6 − 6）

式中，j称为虚数单位，j=。

复数A在复平面上的表示形式如图1 − 6 − 4所示。横轴为实轴，单位是+1，a是A的实部，A与实轴的夹角θ称为A的幅角；纵轴为虚轴，单位是j，b为A的虚部。称为A的模。

图1 − 6 − 4 复数A在复平面上的表示

这些量之间的关系表示如下：

复数A还可以表示成指数形式，即：

A=|A|ejθ　 （1 − 6 − 8）

或写成极坐标形式，即：

A=|A|∠θ　 （1 − 6 − 9）

所以复数可以有3种表示形式：

A=a+ jb，A=|A|ejθ，A=|A|∠θ　 （1 − 6 − 10）

2. 复数的四则运算

复数在进行加减运算时，一般采用代数形式，即把复数的实部与实部、虚部与虚部分别进行加减，其和或差仍为复数。例如

A=a1+jb1 　B=a2+jb2 　 （1 − 6 − 11）

A+B=(a1+a2 )+j(b1+b2 ) 　 （1 − 6 − 12）

A−B=(a1−a2 )+j(b1−b2 ) 　 （1 − 6 − 13）

在复数进行乘除运算时，采用指数形式或极坐标形式更便于计算。

或

A=A∠θa　B=B∠θb　 （1 − 6 − 17）

AB=|A|∠θa•|B|∠θb=|A|•|B|∠ (θa+θb ) 　 （1 − 6 − 18）

【例1 − 6 − 2】已知A=4+j3，B=10∠30°。试计算A+B、A − B、AB、A/B各为多少？

解：A、B的代数形式分别为

3. 正弦量的相量表示

正弦稳态电路中大量采用的是复数运算。如果用复数的模表示正弦量的幅值、用复数的幅角表示正弦量的初相位，则正弦交流电就可以用复数的形式表示出来。为了与一般复数进行区别，这种用来表示正弦量的复数称为相量，这就是交流电的相量表示。通常在大写字母U和I的上方加“.”来表示电压和电流的相量形式，如正弦电流的相量形式可以表示为m或。m是电流的幅值相量，它的模等于电流的幅值，是电流的有效值相量，它的模等于电流的有效值（见图1 − 6 − 5）。幅值向量与有效值向量的幅角相同，它们的关系式可写作：

图1 − 6 − 5 电流i的有效值相量图

m=Im (cosθ+jsinθ)=Im ejθ=Im∠θ

或

=I(cosθ+jsinθ)=Ie jθ=I∠θ　 （1 − 6 − 20）

且 　=m 　 （1 − 6 − 21）

电压的幅值相量与有效值相量的关系与电流相似。

【例1 − 6 − 3】用相量法求两个电流之和。已知：

i1=3sin(314t+45°)A,　i2=4sin(314t−60°)A

解：i1、i2的最大值相量形式分别是

则：

电流和的正弦表达式为：

i= 4.33sin(314t−17.9°)A