古典声腔理论

固体火箭发动机的燃烧室内腔充满了燃气， 受到初始扰动作用时会出现各种振型的自由声振荡， 如果平均气流速度不大 （大多数固体火箭发动机燃烧室中的最大气流马赫数小于0.3）， 可近似视为刚性壁封闭声腔中的振动， 可采用古典声腔理论解释其波动现象。

古典声腔是刚性封闭空腔， 其中充满着静止均匀的弹性介质， 微弱的压强扰动可在其中传播， 产生声振。 一般情况下， 声振在介质中的传播由于受到黏性摩擦等阻尼作用而逐渐衰减， 但当有某种能源不断向振荡着的介质输入能量时， 则声振可能获得增益而逐渐被放大。

在小振幅微弱扰动条件下， 声腔中的声波可能是单一频率的波 （简谐波）， 或由几个单一频率的波叠加而成的复杂波。 空腔中各点的气流参数可以用其平均量 （或称稳态量） 与振荡量之和来表示， 于是燃气的压强p、 密度ρ和从燃烧表面逸出的速度 （燃烧表面的法向速度） v可分别表示为

式中， 上标 “-” 和 “′” 分别为稳态量与振荡量； p′为声压； v′为声振速度。

稳态量与时间和位置无关， 振荡量则随时间和位置按简谐函数的规律变化。

以压强振荡的一维简谐波 （基波） 为例， 其波动方程为

式中， 为介质 （燃气） 声速的平均值； t和x分别表示时间和空间位置。 该方程的解为

式中， 为压强波的振幅；ω为振荡的角频率，ω＝2πf，f为振荡频率；θp为压强振荡的初相位；k为波数，k＝ω／。

可见， 振荡量不仅是时间的函数， 也是空间的函数， 如图4-7所示。 在任意空间位置处， 声压是时间的余弦函数， 而在任意指定时刻， 声压则是位置的余弦函数。 声波走过一个波长λ所需的时间称为周期T，并有＝λf＝λ／T。 在固体火箭发动机中， 一般关心指定位置处振荡量随时间的变化， 这时

图4－7 简谐振荡波的传播

式中，φp为指定位置x处压强振荡的初相位。

类似地， 速度振荡也可表示为

式中， 为速度波的振幅，φv为指定位置上速度波的初相位。

压强振荡对燃烧过程产生影响， 使装药燃速响应而做周期性的变化。 燃速响应可用逸出燃面的气体速度的振荡量v′来表示， 因此v′的振荡频率与压强的频率是相同的， 即有相同的w值。但是，由于燃烧响应存在滞后，v′的相位φv不同于p′的相位φp，且v的方向是离开燃面并指向声腔的。

对于一个声振系统， 如果有一个热源能够周期性地向系统输入或抽出能量， 则有可能使声振发生变化， 如图4-8所示。 由图可见， 当声压p′最大时向系统输入热能， 而当声压最小时从系统中抽出热能， 则声振就会放大； 反之， 如果在声压最大时从系统内抽出热能， 而在声压最小时向系统输入热能， 则将使声振衰减； 如果声腔中的介质处于平衡状态， 则热能的交换对声振不会产生影响。 这就是瑞利准则， 它说明了热能交换与声波振荡的相互作用应遵循的普遍规律。 因此， 欲使声振获得增益， 能量交换过程必须与声振的相位相匹配， 即在适当的时刻和适当的位置向振荡着的介质加入适量的能量。 通常情况下， 声腔不是均匀的，声腔各处的声压振幅和相位各不相同， 因而热能交换的效果与其交换的部位有关。 只有在声压的波腹处进行热交换才有可能产生有效的声能增益作用， 而在声压波节处发生的热交换则对声振振幅不会产生明显的影响， 这是热能交换对声振产生影响必须满足的一般性条件。

图4－8 声振的瑞利准则示意图

（a） 声振放大； （b） 声振衰减

研究表明， 在存在质量源的系统中， 对系统的周期性质量交换也会影响声振的发展。 与热能交换相似， 若在声压最大时向系统加入质量， 声压最小时从系统中抽出质量， 也可使声振放大。

在一定条件下， 如果热源或质量源对系统的周期性交换是由声腔自身振荡激发的， 则这种热交换和质量交换将使声振得到放大， 从而形成自激声振系统。 也就是说， 依靠声振系统内部的相互作用可使声振得到放大。