最大等熵膨胀状态和临界状态

1. 最大等熵膨胀状态

绝热流动的能量方程（5-16） 表明，对于可压缩流体的一个给定流动状态（总焓h0为定值）， 当流体膨胀加速时， 其静焓将相应地减小， 同时静压也将减小。 如果流体等熵地膨胀到静压为零的状态， 则其速度将达到最大值， 这个状态称为最大等熵膨胀状态， 与之对应的速度称为最大等熵膨胀速度，用vmax表示。令静焓h＝0，从式（5-16） 中可得

对于理想气体则有

与最大等熵膨胀速度对应的静温等于绝对零度， 所以它代表了气体分子不规则热运动的动能完全转化为气体定向运动的动能时所能达到的速度。 由于真实气体早在温度到达绝对零度以前就已经液化，所以vmax是不可能达到的。因此，最大等熵膨胀状态也只是一个参考状态，vmax仅是一个假想速度。vmax的重要性在于，对于给定的流动条件，它有一个确定的数值， 是流动速度不可能达到、 更不能超越的界限。

需要指出的是，vmax仅表示流体从给定的流动状态出发通过膨胀可能达到的最大速度，而不能当成对火箭飞行速度的限制。在相对坐标系中，火箭静止，而空气则以相对速度v0 （即火箭的飞行速度） 流过火箭， 于是最大等熵膨胀速度表明空气不可能绕火箭局部膨胀加速到vmax0，但不能就此说火箭的飞行速度不能达到或超过vmax0。这是因为火箭在其推力的持续作用下，完全可以使飞行速度增加到v1＞vmax0。但此时空气的相对速度也增加到了v1，与其对应的最大等熵膨胀速度则变成了vmax1，它仍是空气通过局部膨胀加速不可能达到的。

用最大等熵膨胀速度vmax表示能量方程，可以将式（5-36） 改写成

2. 临界状态

临界状态是指流动速度与当地声速相等 （即Ma＝1） 时的状态， 对应于临界状态的流动参数称为临界参数， 用上标 “∗” 表示。 由临界状态的定义可以直接得出

Ma∗＝1和a∗＝v∗（5-42）

与滞止状态和最大等熵膨胀状态一样， 临界状态也是一种流动的参考状态， 它可以是流动中实际存在的， 也可以是假想的。 在流动中， 那些流速与当地声速相等的地方就是达到其自身临界状态的地方， 而那些流速与当地声速不相等的地方， 其临界状态需要假想一个过程来得到。 对于流动中的亚声速点， 可以设想一个等熵膨胀过程以加速到其临界状态； 而对于超声速点， 则可以通过一个假想的等熵压缩过程减速到其临界状态。

（1） 临界声速。

用声速表示的理想气体绝热流动的能量方程是式（5-28），令Ma＝1，相应地a＝a∗，即可得到临界声速

考虑到滞止声速式 （5-33）， 则可得到临界声速与滞止声速的关系：

通过滞止声速还可以把临界声速与最大等熵膨胀速度联系起来。 将式 （5-43） 代入式 （5-40） 得

可见临界声速与滞止声速、 最大等熵膨胀速度一样， 在绝热流动中是常数。

（2） 临界温度。

用温度表示的能量方程是式（5-29），令Ma＝1，可得临界温度T∗，即

临界温度T∗与总温T0的关系为

（3） 临界压强和临界密度。

将理想气体的等熵过程方程 （5-19） 应用于给定状态和临界状态， 并考虑到能量方程（5-45），则临界压强p∗为

如果将等熵过程方程 （5-19） 应用于临界状态和滞止状态， 则有

根据理想气体的热状态方程p0＝ρ0RT0和p∗＝ρ∗RT∗，可得

将式 （5-48） 代入上式得

又由式（5-38），最终得临界密度ρ∗的表达式：

（4） 临界流动面积。

对于管道流动， 根据临界状态的定义， 管道的每一个截面都有其自己的临界状态， 亦即临界截面，其截面积称为临界流动面积，用A∗表示。因此，可以将连续方程（5-39） 进一步改写成用临界流动面积表示的形式。

将理想气体一维定常流的连续方程应用于临界截面A∗，有

因为Ma∗＝1，所以上式化简后得到

这就是用临界面积表示的理想气体一维定常流的连续方程和管流质量流率。 式中：

仅是比热容比γ的函数。

如果将理想气体一维定常流的连续方程应用于给定的管流截面A和其所对应的临界截面A∗，即

则由式 （5-39） 得

化简后有

这就是理想气体一维定常等熵管流任一截面面积A与其临界面积A∗的关系，称为管流的面积比公式。 它表明， 对管流的任一给定流动状态， 都可以找到与其对应的临界流动截面， 尽管这个临界截面不一定在流场中真实存在。

式 （5-53） 是马赫数Ma的双值函数， 即对于给定的面积比， 从方程中可以求出两个Ma， 一个是亚声速Ma＜1， 一个是超声速Ma＞1， 它们分别是通过等熵膨胀加速和等熵压缩减速达到该临界截面的流动状态。