截面积变化对流动特性的影响

为了分析截面积变化对流动特性的影响， 需要将所有的流动参数变化与面积变化d A联系起来。 推导的思路是， 首先根据控制方程组导出d A对流速变化dv的影响， 即几何形状对流动的影响， 然后再推导d A对其余参数的影响。

1. 截面积变化对流速的影响

对连续方程 （5-116） 取对数微分， 得

这是微分形式的连续方程。 为了从式 （5-121） 中消去密度项， 在动量方程 （5-117） 两边同除以ρ， 并将其改写成

由理想气体的声速公式 （5-21） 及马赫数定义， 可将上式改写成

联立上式和式 （5-121）， 消去密度项， 有

这就是截面积变化与流速变化之间的关系。

2. 截面积变化对压强的影响

将动量方程 （5-117） 代入式 （5-122）， 得

注意到理想气体声速公式式 （5-22）， 上式左端可写成

于是， 动量方程最终变成

3. 截面积变化对密度、 温度和声速的影响

联立式 （5-122） 和式 （5-121）， 消去速度项， 可得截面积变化对密度的影响：

将动量方程 （5-117） 和能量方程 （5-118） 改写成

两式相减有

将理想气体的比定压热容式 （5-8） 代入上式得

两端同除以T， 再将式 （5-123） 代入， 可得截面积变化对温度的影响：

对理想气体的声速公式 （5-23） 求对数微分， 再将式 （5-125） 代入， 可得管道截面积变化对声速的影响：

4. 截面积变化对马赫数的影响

对马赫数定义取对数微分， 有

将式 （5-122） 和式 （5-126） 代入上式， 整理后得截面积变化对马赫数的影响：

从以上推导结果可以看出， 流动过程中， 流速和马赫数的变化方向总是相同的， 具有相同的变化规律； 压强、 温度和密度的变化方向也是相同的， 或同时增大， 或同时减小。 因此， 在分析截面积变化d A对流动的影响规律时， 只需分析流速和压强的变化方向。 由式 （5-122） 和式 （5-123） 可知：

（1） 当d A＜0时， 管道截面积A沿流动方向逐渐减小， 这是收敛管道， 如图5-12所示。 在收敛管道中， 当进口马赫数Ma＜1， 即亚声速流流进收敛管道时， 由式 （5-122）和式 （5-123） 知dv＞0， dp＜0， 这说明亚声速流在收敛管道中是膨胀加速流动； 当进口流动马赫数Ma＞1， 即超声速流流进收敛管道时， 由dv＜0， dp＞0， 表明超声速流在收敛管道中是压缩减速流动。

图5－12 收敛管道中的流动变化

（2） 当d A＞0时， 管道截面积A沿流动方向逐渐扩大， 这是扩张管道， 如图5-13所示。 在扩张管道中， 当进口马赫数Ma＜1， 即亚声速流流进扩张管道时， 由式 （5-122）和式 （5-123） 知dv＜0， dp＞0， 即为压缩减速流动； 当进口流动马赫数Ma＞1， 即超声速流流进扩张管道时， dv＞0， dp＜0， 即为膨胀加速流动。

图5－13 扩张管道中的流动变化

综上所述， 一维定常等熵流动具有膨胀加速或压缩减速的流动特性。 收敛管道中的亚声速流和扩张管道中的超声速流是膨胀加速的， 沿流道流速不断增加， 而压强、 密度和温度不断减小； 扩张管道中的亚声速流和收敛管道中的超声速流是压缩减速的， 沿流道流速不断降低， 而压强、 密度和温度却不断增加。 这些结论可以总结在表5-6中。

表5－6 截面积变化对流动参数的影响规律

在火箭发动机喷管中， 要求燃气发生膨胀加速变化。 所以， 当燃气为亚声速流动时必须使用收敛形喷管， 而当燃气为超声速流动时则必须使用扩张形喷管， 只有这样才能达到使燃气膨胀加速的目的。