固体火箭发动机性能参数的修正

如前所述， 固体火箭发动机的理论性能参数是在许多假设的基础上得来的， 与实际值存在偏差。 在工程上， 通常用修正法处理实际性能参数与理论性能参数之间的偏差， 将理论性能参数乘以一个修正系数φ来得到其实际值。

所谓修正系数， 是指实际性能参数与理论性能参数之比， 即

于是， 针对不同的损失情况， 采用经验或半经验公式获得修正系数φ， 则可以通过修正理论性能参数得到其实际值， 即

实际性能参数＝φ×理论性能参数 （6-75）

很多学者通过大量的试验研究和统计规律， 对固体火箭发动机性能参数提出了许多修正系数φ的估算公式。 显然， 这些估算公式与能量转换过程中存在的各种损失相关联。 由于发动机的性能参数大都是发动机内部工作过程决定的， 因此， 修正系数主要是针对内效率进行修正， 包括燃烧效率和膨胀效率， 对应的修正是推进剂燃烧损失修正系数和燃气膨胀损失修正系数。 另外， 在长尾管发动机中还有长尾管产生的流动损失修正系数等。

1. 推进剂燃烧过程中的能量损失修正系数

推进剂燃烧过程中的能量转换损失主要包括燃烧不完全损失和散热损失。 衡量发动机燃烧能量特性的参数主要是特征速度 （或火药力， 燃烧温度）， 如果不计损失， 则特征速度、火药力或燃烧温度的理论值都是偏大的。

（1） 推进剂燃烧不完全损失。

柯茨 （D.E. Coats） 等给出了含铝推进剂燃烧不完全能量损失修正系数的经验公式， 即

式中，a Al为铝的百分含量（％），a Al≤10时取其实际值，a Al＞10时取10；c为与推进剂的黏合剂有关的常数， 见表6-3； k为与推进剂燃速有关的常数， 见表6-4。 由表6-4可以看出， k值随燃速的增大而增大。 为便于计算， 可将k与燃速的关系拟合成式 （6-77）：

表6－3 燃烧不完全修正中的系数c值表

表6－4 燃烧不完全修正中的系数k值表

（2） 燃烧室散热损失。

燃烧室散热损失主要影响燃烧温度， 其修正系数习惯上用χ表示。 大型固体火箭发动机一般都采用贴壁浇注的内孔燃烧装药， 高温燃烧产物并不直接与燃烧室壁接触， 装药和包覆层可对燃烧室壁起到隔热作用， 而且燃烧室壁上通常都涂有隔热涂层， 因此散热损失很小。柯茨认为， 有隔热涂层时可取χ＝1.0， 无隔热涂层时一般取χ＝0.9801。

小型固体火箭发动机有时采用自由装填装药， 工作时高温燃气可与燃烧室壁直接接触，因而燃烧室壁的散热损失较大。 散热损失修正可运用传热学理论计算， 在工程应用中还可以采用以下经验公式。

式中，a和d为与装药形式有关的常数；ψ为当前时刻推进剂烧去的相对质量。设mp和mp0分别是装药的当前瞬时质量和初始质量， 则有

在整个燃烧过程中， 平均散热损失为

不同装药类型的a、d值及对应的χ-值列于表6-5中。

表6－5 不同装药类型下散热损失的经验常数及平均散热损失

发动机的散热损失主要影响燃烧温度， 因此， χ是燃烧温度的修正系数。 燃烧不完全和散热两项损失，都是能量的损失，均对特征速度c∗有影响，因此特征速度的修正系数为

2. 燃气膨胀损失的修正系数

如前所述，表征喷管燃气流动膨胀过程完善程度的参数是推力系数CF，因此，燃气膨胀过程中的损失主要是对推力系数CF的修正。

（1） 两相流损失。

在计算理想性能参数时假设固体推进剂的燃烧产物是纯气相的燃气， 且为理想气体， 而没有考虑凝聚相。 实际上， 大多数固体推进剂的燃烧产物中都包含有一定量的凝聚相微粒。凝聚相对喷管性能的影响主要表现在： ①凝聚相微粒不能膨胀做功， 减少了膨胀做功的工质， 使推力和比冲下降； ②凝聚相与气相之间存在速度滞后和温度滞后， 速度滞后是对气流的阻力， 温度滞后则降低了热效率， 使性能下降。

柯茨等给出的两相流损失修正系数经验公式为

式中，εe＝ζ2e；ns为凝聚相微粒浓度（mol／0.1kg）；dt为喷喉直径（mm）；p0为燃烧室压强（MPa）；c1～c4均为与dt和ds有关的常数，其值见表6-6；ds为凝聚相微粒直径（μm），并有

式中，L∗＝Vc／At为发动机的特征长度（mm），Vc为燃烧室自由体积（mm3），At为喷喉面积（mm2）。

表6－6 两相流损失的经验常数

（2） 质量流率损失。

如第5章所述， 燃气从燃烧室末端进入喷管收敛段时， 由于流动通道截面积的突然变化， 在喷管入口处形成局部阻力区， 使总压下降； 自由装填式发动机的燃烧室末端通常有保持装药固定的挡药板， 使喷管入口处的流动更为复杂， 进一步加大了总压损失； 燃气从喷管收敛段流到喷管喉部时， 由于流动的惯性作用， 流线不能完全适应流道截面的变化， 使实际的喷喉直径减小， 如图6-18所示。

图6－18 喷管入口质量流率损失示意图

上述因素都将导致喷管质量流率 的损失，从而使推力下降。质量流率损失的修正系数为

式中，At为喷喉面积；Ag为挡药板通气面积，无挡药板时可使用燃烧室末端通气面积；β为喷管的收敛半角（弧度）。质量流率损失修正系数φ m的数值一般在0.95左右。

（3） 附面层损失。

附面层损失是指燃气与喷管壁面之间存在摩擦与散热而造成的损失， 柯茨给出的修正系数为

式中，p0为燃烧室压强（MPa）；dt为喉径（mm）；t为发动机的当前工作时间（s）；c1和c2为与喷管有关的常数，对于有隔热防护层的喷管c1＝0.3736、c2＝0.0959，对于无隔热防护层的一般钢喷管c1＝6.6599、c2＝0；εe的取值为

在式 （6-85） 中， 第一个括号项表示散热损失， 可见， 冷喷管 （t＝0时） 的散热损失等于完全加热（t＝ ） 时的3倍；第二个括号项表示摩擦损失，扩张比ζe越大，喷管内壁面积越大， 因此摩擦损失相应增大。

（4） 喷管扩张损失。

在理想喷管中， 流动是一维的， 即流动方向平行于喷管轴线， 在垂直于轴线的截面上流动参数均匀分布， 而实际情况并不是这样。 将喷管内的流动假设成源流可能更接近于真实流动， 即近似认为燃气是沿喷管的锥形向外扩张流动的， 如图6-19所示。 设O点为源点，所有流线均从O点发出进入扩张段， 则以O点为球心， 在不同半径的球面上可以认为流动参数是均匀一致的。

由于燃气存在源流特性， 使得燃气的流动速度呈锥形发散， 从而造成轴向流速的损失，使推力下降。根据源流假设，喷管的排气截面是As而不是Ae，且排气参数在As面上均匀一致， 由此可以推导出源流的推力公式为

式中， α为喷管扩张段的扩张半角。

图6－19 喷管源流示意图

由式 （6-87） 可知， 考虑扩张损失后的推力比理论值要小， 其修正系数为

显然，φα＜1。

关于扩张损失修正系数， 有以下几点需要注意：

①从式（6-86） 可以看出，φα只对流速修正，即只修正动推力。显然，扩张半角α越小， 扩张损失就越小， 其变化规律如表6-7和图6-20所示。

表6－7 不同扩张半角时的扩张损失修正系数

②扩张损失修正系数式 （6-88） 适用于扩张半角α≤40°的情况。 实验表明， 当α＞40°时， 用式 （6-88） 计算的结果与实验值相差较大， 这是因为此时径向流速已相当可观，出口截面上燃气参数的不均匀性增大， 流动与管壁之间可能发生分离， 一维或准一维流动的假设已不再适用。

③减小扩张半角有利于降低扩张损失， 但同时喷管长度增加， 摩擦及散热损失增大， 因此必须综合考虑。 通常， 锥形喷管扩张半角的取值范围为8°≤α≤20°。

④对于钟形喷管 （以图6-21所示的双圆弧喷管为例），可将扩张损失修正系数改写成

图6－20 不同扩张半角时的扩张损失修正系数

式中，α0和αe分别为扩张段母线的起始扩张半角和出口扩张半角。

图6－21 双圆弧喷管的扩张半角

（5） 化学动力学损失。

燃气在喷管中的流动有冻结流和平衡流两种假设 （详见第7章）。 冻结流是指燃气在流动过程中组分保持不变， 而平衡流则是指在喷管的任一截面处燃气都处于化学平衡状态。 平衡流假设由于考虑了在喷管流动过程中燃烧产物发生化学反应所放出的热量， 使比冲量有所增加，而冻结流的比冲则偏小。 实际流动介于两者之间， 既非平衡流， 也非冻结流。

柯茨提出的估算模型表明，在相同扩张比下，化学动力学损失约为平衡流理论比冲Ispe与冻结流理论比冲Ispf两者相对差值的三分之一，即（Ispe-Ispf）／（3Ispe）。但是，喷管内的燃气流动在高压下更接近于平衡流动， 故需对高压情况进行必要的修正。 化学动力学损失引起的修正系数为

式中

式中，p0为喷管总压（MPa）。

一般地，化学动力学损失修正系数φkin的取值在0.995～0.998。双基推进剂的化学动力学损失更小， 通常可以忽略不计。

（6） 喷管潜入损失。

为了缩短发动机的总长度， 或者由于总体结构的需要， 有时采用图6-22所示的潜入式喷管， 其潜入深度视发动机具体结构而定， 但通常不宜超过喷管长度的一半。

图6－22 潜入式喷管示意图

潜入式喷管产生的能量损失称为喷管潜入损失， 柯茨给出的潜入损失修正系数的经验公式为

式中，p0为燃烧室压强（MPa）；ns为凝聚相微粒浓度（mol／0.1kg）；ζ2i＝Ai／At，Ai为喷管入口截面的面积（mm2），At为喷喉面积（mm2）；Ls为喷管潜入长度（mm）；Lc为燃烧室内腔长度（mm）；dt为喷喉直径（mm）。

3. 长尾管发动机流动损失的修正系数

固体火箭发动机的喷管与燃烧室一般是直接相连的， 燃烧室中生成的燃气直接流进喷管。 但在有些情况下， 为了安装尾翼或由于空间限制， 在燃烧室与喷管之间还有相当一段距离， 必须用一根等截面管道将它们连接起来。 对于导弹发动机而言， 为了使导弹在飞行中获得稳定的气动性能， 以有利于机动飞行， 要求导弹在飞行过程中尽量减小弹体质心位置的变化量。 固体火箭发动机在工作过程中由于推进剂的不断消耗导致其质量发生较大的改变， 为了减小这种变化对导弹质心位置的影响， 需要将火箭发动机放置在弹体质心附近， 而喷管则仍位于弹尾处， 燃烧室与喷管之间也需要连接燃气通道。 基于上述目的所采用的连接燃烧室与喷管的长管道称为长尾管， 通常是一个等截面的直管道。 根据长尾管位于喷管喉部之前还是之后， 可以分为亚声速长尾管和超声速长尾管两种， 如图6-23所示。

图6－23 固体火箭发动机的长尾管

（a） 亚声速长尾管； （b） 超声速长尾管

当长尾管长度较长时， 管壁的摩擦作用不能忽略， 燃气总压沿流动方向降低。 为了防止长尾管烧穿或严重的散热损失， 其内壁通常有隔热效果良好的绝热层， 所以可将长尾管内的流动近似为简单摩擦管流， 即一维定常等截面有摩擦绝热流动， 这种流动的求解方法可参见一般气体动力学书籍。 超声速长尾管的总压损失远大于亚声速长尾管， 在工程上很少采用，这里仅讨论亚声速长尾管的流动损失修正。

将长尾管内的流动近似为简单摩擦管流，入口截面1—1的流动参数λ1、ρ1、T1、p1、T01和p01可通过等熵流动假设从燃烧室末端i截面的参数求出，而出口截面2—2的参数λ2、ρ2、T2、p2、T02和p02则是喷管进口截面的流动参数。

在等熵假设下，p01是装药通道末端的总压，近似等于燃烧室的平均压强（即工作压强），一般是已知的设计参数，喷管进口压强p02则是需要计算的。为了保持燃烧室的压强p01，假设长尾管入口有一虚拟喉部t′—t′，面积为A′t，燃气流动在此截面达到声速。根据临界状态的定义， 虚拟喉部实际是长尾管进口流动条件通过收敛管道所能达到的临界截面。 由固体火箭发动机内弹道平衡压强公式（9-22） 知，燃烧室工作压强p01与喉部面积的关系为

式中，ρp和c∗分别为固体推进剂的密度和特征速度；φ（ ）为平均侵蚀函数；φ m为质量流率修正系数；a和n分别为推进剂燃速系数和燃速压强指数；Ab是推进剂装药燃烧面积。因此，给定燃烧室工作压强p01，可以从式（6-92） 计算出虚拟喉部面积A′t。根据连续方程， 质量流率相等， 即

假设流动是绝热的，总温不变，T01＝T02，可得长尾管的总压恢复系数σL为

由于长尾管存在摩擦，流动不等熵，造成总压损失，σL＜1，因此虚拟喉部面积A′t小于实际喉部面积At。将式（6-92） 代入式（6-93），可得总压恢复系数

式中，KN为发动机的面喉比。

由式（6-94） 确定总压恢复系数σL后，可以计算出喷管入口的总压p02。

由于总压的改变， 必然导致推力的改变， 从而使推力系数也发生变化。 根据推力公式 （6-15）， 有

F＝CFLp02At＝σLCFLp01At（6-95）

式中，CFL为相应于长尾管发动机中喷管入口总压p02的推力系数。

由推力系数公式（6-20） 可知，推力系数主要受压强比pe／p0和pa／p0的影响，在长尾管中则成为pe／（σLp01） 和pa／（σLp01），因此，长尾管发动机的推力系数为

由于pe／（σLp01）＞pe／p01，所以CFL＜CF，即长尾管使总压降低，同时也使得推力系数减小。当σL＝1，即无损失时，推力系数公式与式（6-20）相同。

引入长尾管对推力系数的修正系数φL，则有

显然，当σL＝1时，φL＝1，即没有长尾管损失修正。实际上，用式（6-96）所作的计算表明， 长尾管对推力系数的影响程度很小， 基本上可以忽略不计， 所以长尾管对推力的影响主要是取决于总压恢复系数σL。

由于假设长尾管内为绝热流动， 故特征速度在长尾管中没有损失。 长尾管引起的发动机比冲损失主要是体现在推力系数上，质量流率损失是总压损失引起的，总压恢复系数σL即为质量流率修正系数。 因此， 关于长尾管可以得出的主要结论是， 在其他条件 （工作压强、喷管和装药结构尺寸、 推进剂性能等） 不变的情况下， 长尾管增加了固体火箭发动机的长度， 对质量流率和推力产生的影响较大， 而对推力系数、 比冲的影响较小。

例题［6－5］ 已知燃气比热容比γ＝1.25，喷管扩张比ζe＝2.0，喉部面积At＝0.01m2。取大气压强pa＝0.1MPa，燃烧室压强p0＝10.0MPa。试计算发动机的推力系数和推力： （1） 在原始条件下； （2） 加装长尾管， 其余条件相同， 并已知总压恢复系数为σL＝0.95。

解：由已知条件可得πa＝0.01和Γ＝0.6581，计算或查附表2有πe＝0.0395。

（1） 原始发动机。

由推力系数式 （6-20）， 得

或直接查附表5得CFvac＝ΓFv＋ζ2eπe＝1.5937，故推力系数和推力分别为

CF＝CFvac-ζ2eπa＝1.5937-22×0.01＝1.5537

F＝CFp01At＝1.5537×10×106×0.01＝155.37（k N）

（2） 长尾管发动机。

由式 （6-96） 和式 （6-95） 计算推力系数和推力， 分别为

可见， 长尾管使推力系数下降约0.12％， 而推力下降达到5.11％， 与总压损失5％很接近， 表明推力损失主要是由总压损失引起的。