本章§3．3中讨论的是只有一种质量力——重力作用下的液体平衡问题，本节将要讨论在多种质量力的作用下液体的平衡问题。这时液体的平衡属于相对平衡的范畴。即液体相对于地球有运动，而液体质点之间没有相对运动。生活中这类相对平衡的例子还是很多的。最常见的有，液体与容器一道作直线等加速运动，液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转运动，等等。对这类问题，液体所受的质量力除重力外内部还受有惯性力的作用。根据理论力学中的达朗贝尔原理可以将内部的惯性力视为作用在液体上的一种外力，而液体将在所有外力的作用下保持平衡。这样可以使用§3．2中给出的流体平衡微分方程(3-10)来分析处于相对平衡下液体内部的压强分布规律和等压面的形式。
3．5．1 液体与容器一道作直线等加速运动的情况
如图3-16所示，一装有部分液体的运料车，以等加速度a沿水平方向运动。现将坐标系设在作等加速度运动的容器——运料车上，分析这种情况下液体的自由表面和液体内部压强分布。
根据达朗贝尔原理，液体上作用的单位质量力为
X=－a，Y=0，Z=－g
代入流体平衡微分方程(3-10)得
在自由液面上有dp=0，则
adx+gdz=0
积分得
ax+gz=C
在自由液面上，M点处，x=0，z=H，代入上式，得C=gH，故自由液面的方程为
式中，x和zs为自由液面上任一点的坐标。
为求液体内部压强分布，对式(3-39)积分，得
p=－ρ(ax+gz)+C'
图3-16
在自由液面上，p=p0，对于M点x=0，z=H，则有C'=p0+ρgH，从而
p=p0+ρg(H－z)－ρax
考虑式(3-40)，得
p=p0+ρg(H－z)－ρg(H－zs)=p0+ρg(zs－z)
如图3-16可见，h=zs－z，为自由液面下某点的水深。这样可得
p=p0+ρgh。
可见在受重力和水平惯性力作用的相对平衡情况下，液体压强的分布规律与静止液体的分布规律也完全相似。所不同的是，此处h以及p不仅是z的函数，也是x的函数。
3．5．2 液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转运动的情况
设想在一个半径为R的圆柱形容器内装有密度为ρ的液体，若容器以等角速度ω绕中心铅垂轴Oz轴旋转，这时容器内液体随容器作等角速度旋转运动。建立如图3-17所示的坐标系。原点O置于容器底部中心。现观察液体中任一质点N，该点坐标为x、y、z，该点离Oz轴的径向距离为r。质点N上所受的质量力为铅垂向下的重力(－mg)和水平径向的离心力(mω2r)。其单位质量力在各坐标轴上的分力为
将单位质量力式(3-41)代入流体平衡微分方程(3-10)得
下面分别讨论等压面和静水压强的分布规律。
1．等压面
在等压面上，有dp=0。代入式(3-42)，得
ω2xdx+ω2ydy－gdz=0
对上式积分并化简得
图3-17 液体随容器作等角速度旋转
式(3-43)说明，在液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转运动的情况下，包括自由液面在内的各等压面是旋转抛物面。当C取不同的数值时，就代表着不同的等压面。
如在自由液面上，当x=y=0，即r=0时，有z=z0，代入式(3-43)得C=z0，则可得自由液面的方程式
式中:zs——自由液面上半径为r处的任一点M的高度，并且Δh=zs－z0。
2．静水压强分布规律
对式(3-42)积分，得
由于r2=x2+y2，故上式又可以写成
式中C为积分常数。当r=0时，z=z0，此处自由面上p=p0，有C=p0+ρgz0，代入式(3-46)，可得
考虑式(3-44)，有
若令h=z0－z+Δh，为液体内任一质点N在抛物面形自由液面下的水深(如图3-17所示)，则式(3-48)可以写成
式(3-49)为液体受重力和离心惯性力作用处于相对平衡情况下，液体内部静水压强分布的表达式。与式(3-27)相比较可见，处于这一种相对平衡情况下的静水压强的分布规律与仅仅只受重力作用处于绝对平衡情况下的分布规律相似。所不同的是此处h以及p不仅是z的函数，而且也是x和y(或r)的函数。
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