研究流体运动的两种基本方法

流体可以看做是由无限多个质点组成的连续介质，而流体流动就是这些众多的流体质点随时间和空间的运动过程。因此，在研究流体运动时就存在一个如何描述其运动规律的问题。有两类描述流体运动的方法，即拉格朗日法和欧拉法。

4．1．1　拉格朗日法

拉格朗日法是以流体质点为研究对象，通过观察每一个流体质点的运动规律，以得到整个流体运动的规律。这种方法类似于理论力学中研究质点系运动的方法，也称为质点系法。

一般以质点在初始时刻所处位置的空间坐标a，b，c作为流体质点的标识。不同的流体质点有不同的a，b，c值。这样，对于一流体质点在t时刻所处某位置的空间坐标为

式中a，b，c和t统称为拉格朗日变数，或拉格朗日变量。式(4-1)给出了流体质点的运动规律。当固定a，b，c时，式(4-1)则表示某指定质点的运动轨迹;当固定t时，式(4-1)则表示t时刻各流体质点所处的位置。

根据拉格朗日变数的定义，任一流体质点在任意时刻的速度u、加速度a，可以从式(4-1)分别对时间取一阶偏导数、二阶偏导数得到

式中ux、uy、uz和ax、ay、az分别为速度u和加速度a在x、y、z坐标方向的分量。

拉格朗日法以流体质点为中心，描述流体的运动，其物理概念明确。但由于每一个流体质点的运动轨迹是复杂的，要全面跟踪众多的流体质点来描述整个流体的运动状态，在数学上是困难的。因而在流体力学的数学表述中，除个别运动状态(如波浪运动)外，一般不采用拉格朗日法，而是采用下面所述的欧拉法来描述流体的运动。但拉格朗日法作为描述流体运动的方法，将体现在流体力学方程的叙述和推导中。

4．1．2　欧拉法

欧拉法是以观察不同的流体质点经过各固定的空间点时的运动情况，来了解流体在整个空间的运动规律。流体的运动是在一定的空间中进行的，这个被流体质点所占据的空间称为流场。欧拉法关注的是流场中流体质点的运动状况和有关运动要素的分布状况，所以也称为空间点法。

用欧拉法观测分析流场，首先观测的是在某具体空间点x，y，z处流体的流速、压强等运动要素，以及这些运动要素随时间、空间的连续变化。这时，流速、压强等运动要素可以表述为

式中x，y，z和t统称为欧拉变数，或欧拉变量。在上式中，若令x，y，z不变，t变化，则为某一固定空间点处流体质点所表现的流速等运动要素随时间的变化;若令t不变，x，y，z变化，则为同一时刻，流体质点所表现的流速等运动要素在不同空间点处的分布情况，也称为流速场、压强场等。

对于流场中某空间点的流体质点加速度a，按照定义加速度a应是流体质点沿其运动轨迹在Δt时间内流速产生的增量Δu，即。然而按欧拉法，对于某空间点A，在时刻t0时恰好有一流体质点运动到该空间点，又在Δt时段内离开该空间点A沿其轨迹运动着，同时另有其他流体质点沿运动轨迹运动到空间点A。上述分析有两点启示，Δt时段内空间点A处的流速随时间t在变化;经过A点运动着的质点本身所处的坐标是随着时间t在变化的。也就是说，流速u=u(x，y，z，t)在随时间t变化时，坐标x，y，z并不是常数，是时间t的函数，即流速u=u(x，y，z，t)是一个复合函数。那么在求加速度a时，应按复合函数的求导法则进行，即

式中dx，dy，dz为流体质点在Δt时段内沿其运动轨迹的微小位移在x、y、z坐标轴上的投影，有

故由欧拉法表述的加速度表达式为

沿x、y、z坐标轴的分量为

由式(4-7)、式(4-8)可见，欧拉法表述的加速度是由两部分组成的，一部分为反映同一空间点上流体质点速度随时间变化率的当地加速度(或称时变加速度)，即右边的第一项∂u及∂t其对应投影项;另一部分为同一时刻由于相邻空间点上流速差所引起的迁移加速度(或称位变加速度)，即右边的后三项及其对应投影项。

同理对于如压强、温度、密度等物理量，用欧拉法表述的对时间的变化率为

综合式(4-7)～式(4-11)，可见均为流速u、压强p等运动要素对时间t的全导数，其中

或

类似于数学中的算子。在流体力学中，一般将某运动要素受算子作用的导数式称为这一运动要素的随体导数。如式(4-11)就是密度的随体导数。