流体微团运动的分析

4．3．1　流体微团的基本运动形式

流体的流动非常复杂，要讨论流体的流动，还需要分析和研究流体微团的运动过程。在理论力学中，刚体的一般运动可以分解为平动和转动两部分。流体具有易流动性、极易变形的特点，使得流体微团在运动过程中不但与刚体一样可能有平动和转动，而且还可能发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为平动、转动和变形运动三部分，其中变形运动还可以进一步分为线变形运动和角变形运动。

下面针对如图4-8所示的平行六面体流体微团，分析微团运动中这四种运动的表现形式，并给出这四种运动的表达式。

现设在某瞬时t流场中有一边长为dx、dy、dz的平行六面体的流体微团，如图4-8所示。已知其形心M0处的流速为u0，这时八个顶点的流速分量可以利用泰勒级数求得。例如，其中点A、点G两点的流速可以分别为

图4-8　平行六面体流体微团的运动分析示意图

从上式可见该微团上各点速度不同。在经过微小时段dt之后，该微团将运动到新位置，一般来说，其形状和大小都将发生变化，即该正交的平行六面体流体微团将变成任意斜六面体微团，如图4-8所示。为叙述方便，以图4-9所示的二维流体微团即流体平面ABCD为例，描述和分析这几种运动，然后再将表达式推演到三维立体中。

1．平移运动

由图4-9可知，形心点M0的流速分量u0x、u0y是流体微团中各点流速分量的组成部分，即整个微团每个点的流速中都含有u0x、u0y项。若对A、B、C、D等各点，只考虑这些点流速分量中的u0x、u0y两项，则在经过时间dt后，矩形平面体ABCD向右移动u0xdt距离，向上移动u0ydt距离，平移到新的位置，矩形平面体形状不变，如图4-10(a)所示。

也就是说平行六面体微团作为一个整体，其中各质点以同一速度矢量u0做平移运动。平移运动不改变平行六面体流体微团的形状、大小和方向。

2．线变形运动

由图4-9中可知，点D和点C在Ox轴方向上的流速分量分别比点A和点B快(或慢)(如为正或为负)，故边长AD和BC在dt时间内沿x方向都将相应地伸长(或缩短)，即流体微团在Ox轴方向产生了线变形，或者说存在线变形运动，如图4-10(b)所示。线变形的大小可以用线变形速率即单位时间内单位长度的伸长(或缩短)量来计量。按照线变形速率的定义，在Ox轴方向有

图4-9　二维流体微团及各点速度示意图

图4-10　流体微团的平移运动和线变形运动示意图

即得Ox轴方向的线变形速率为

同理，可得Oy轴、Oz轴方向的线变形速率为

总的来说运动过程中平行六面体三条正交的棱边dx、dy、dz的伸长或缩短，以及与之相应的平行六面体流体微团的体积膨胀和压缩，就是流体微团线变形运动的反映。

3．角变形运动和旋转运动

首先考虑边线偏转，如图4-11(a)所示，仅考虑AD边和BC边。已知，A点在Oy轴向的流速为，D点在Oy轴向的流速为。在dt时段后，A点移至A'点，D点移至D'点，由于A点和D点在Oy轴向的流速不同，则D点较A点在y方向上多移动的距离，即发生了边线偏转，其转角量dα为

同理对于AB边和DC边，由于A点和B点在Ox轴向的流速不同，在dt时段后，A点移至A'点，B点移至B'点，从图4-11(b)可见，B点较A点在x方向上多移动的距离=，即发生了边线偏转，其转角量dβ为

如果两条边线的转角量dα与dβ数值相等而方向相同，则原矩形形状保持不变，整个矩形将发生转动，如图4-11(c)所示。

如果两条边线的转角量dα与dβ数值相等而方向相反，则原矩形变为菱形，但原对角线方位不变，即只有单纯的角变形而无转动，如图4-11(d)所示。

如果两条边线的转角量dα与dβ数值不等，则微团除了有角变形外还有转动，微团将由矩形变为任意四边形。如图4-11(e)所示，矩形ABCD变为任意四边形AB″C″D″的过程，可以分成以下两步完成。首先，矩形ABCD旋转到AB'C'D'的位置，旋转角量为dA;然后再发生角变形，由矩形AB'C'D'变为任意四边形AB″C″D″，角变形量为dB。转角dA及角变形量dB与边线转角dα、dβ之间有如下关系

解得:

角变形量

旋转角量

如图4-11(e)所示，角变形的大小可以用角变形速率即单位时间的角变形量来计量。按照角变形速率的定义，有

图4-11　流体微团角变形运动和旋转运动示意图

由于转动的过程是在dt时段内完成的，转动的大小可以用旋转角速度即单位时间的旋转角量来计量。旋转角速度为矢量，其方向为右手螺旋规则所指向的旋转平面法线方向，旋转方向以逆时针方向为正，顺时针方向为负。由图4-11(e)可见，矩形ABCD是顺时针旋转到AB'C'D'，旋转角量dA则为负，按照旋转角速度的定义，则为负，若要变为正的，需在前面加上负号，即

旋转角速度可以写成下列矢量形式

总的来说运动过程中平行六面体的六个正交流体面，任意两个相邻正交流体面之间的夹角发生了变化，与之相对应的是流体微团的形状发生了变化，就是流体微团角变形运动的反映;在运动过程中，平行六面体各个正交流体面的旋转，与之相对应的是流体微团也像刚体一样转动，就是流体微团转动的反映。