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音速与马赫数

时间:2023-02-12 理论教育 版权反馈
【摘要】:流体的音速可以作为判别气体的压缩性标准。在气体流动中,音速是气体动力学中一个重要的界限参数。Ma称为马赫数,其定义是气体在某点的流速与当地音速之比。马赫数Ma小,则气体的内能大而气体的宏观动能小,流速的变化不会引起温度等状态参数的显著变化;马赫数Ma大,则气体的宏观动能大而气体的内能小,流速的变化将会引起温度等状态参数的显著变化。

一般情况下,影响可压缩流体流动的因素是很多的。例如管道内可压缩气体的流动,就有诸如管道截面的变化、与外界的热能交换(包括换热、燃烧等)、流量的变化以及压强的变化等因素都会对流动产生影响。这些影响并不是同时作用到整个流场,而是逐步向其他区域传播,进而影响整个流场(如亚音速流动)和整个流动过程。这个影响因素就是一个微弱扰动,这个过程就是一个微弱扰动波的传播过程。在微弱扰动波的传播过程中,微弱扰动波所到之处的流速、压强、密度和温度等物理量都将发生变化。

下面通过一个实验,了解微弱扰动的一维传播过程,以及反映微弱传播特性的音速(微弱扰动波波速)、马赫数等相关物理量。

在一截面积为A,足够长的直圆管中充满了压强为p、密度为ρ、温度为T的静止气体,如图9-1所示。将圆管左端的活塞以微小速度dv向右轻微推一下,然后活塞保持dv速度向右运动。由于活塞的运动,使紧贴活塞右侧的一层气体获得大小为dv的速度,同时气体的体积受到压缩,气体的压强、温度相应升高,也就是活塞的运动给这一层的气体一个微弱扰动。已受到扰动的第一层气体,紧接着对与此相邻的第二层气体产生扰动,使该层的气体获得大小为dv的速度,气体的体积受到压缩,气体的压强、温度相应升高。以此类推,每一层受到扰动的气体,都将所受到的扰动传至下一层,也就是一层一层地将活塞产生的微弱扰动向右作用而传播。

图9-1 微弱扰动的一维传播示意图

这样一层一层地传播,使直圆管中形成一个不连续的微弱的压强突跃,即微弱扰动波mn。这个微弱扰动波mn以速度c向右推进。微弱扰动波面mn是受活塞运动的影响而被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面。需要指出的是,微弱扰动波的传播,是波面一层一层以速度c向前推进,而质点只在波面附近以速度dv作微小移动。这是两种不同的运动形态,前者为波动,其速度是扰动信号(或能量)在流体介质中的传播速度;后者为质点的机械运动,其速度是质点本身的运动速度。

我们把微弱扰动波在流体介质中的传播速度c称为音速。从物理学中可知,音速就是声音传播的速度,而声音是由微弱压缩波和微弱膨胀波交替组成的。在上述微弱扰动的实验中,当活塞向右运动使气体体积有微小压缩,压强等有微小升高,这时产生的微弱扰动波为压缩波,如图9-1(a)所示;当活塞向左运动使气体体积有微小膨胀,压强等有微小降低,这时产生的微弱扰动波为膨胀波,如图9-1(b)所示。

为推求微弱扰动波在直圆管中的传播速度即音速c,现分析移动的微弱扰动波面mn以及波面mn前后的气体状况。由于微弱扰动波面mn以速度c向前传播,波前未被扰动的气体为静止气体,波后已被扰动过的气体以与活塞作微小运动时同样的微小速度dv向右运动,若以静坐标系观察,则为一非定常流动。为方便分析,选用与微弱扰动波面mn一起运动的动坐标系来观察,这时波面mn静止不动,波前未被扰动的气体以速度c向左运动,波后已被扰动过的气体以速度c-dv向左运动,为一定常流动,如图9-2所示。

图9-2 音速推导示意图

如图9-2,设在波面mn前未被扰动过的气体的压强为p,密度为ρ,温度为T;波面mn后已被扰动过的气体的压强、密度、温度相应增加到p+dp,ρ+dρ,T+dT。现在波面mn前后相邻区域各取一控制面,组成包围波面mn的控制体,参见图9-2。根据连续方程,即在dt时间内流入、流出该控制体的气体质量应该相等,即

cρAdt=(c-dv)(ρ+dρ)Adt

化简,并略去高阶微量

又在该控制体上取动量方程,即沿气流的方向,质量为cρAdt的气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和

由于微弱扰动波很薄,式中还忽略了作用在气体上的摩擦力。对上式化简得

由式(9-1)和式(9-2)得

式(9-3)与物理学中声音在弹性介质中传播速度(即音速)的计算公式完全一致。

由于微弱扰动波的传播过程进行得非常快,与外界来不及进行热交换,气体的压强、密度、温度的变化也很微小,因此这个传播过程可以近似地认为是一个可逆的绝热过程,即等熵过程。

现假定气体为完全气体,有等熵过程关系式

对式(9-4)微分,并考虑完全气体状态方程p=ρRT,可得

代入式(9-3)得音速计算公式

其中,R为气体常数,γ为比热容比或绝热指数。对于空气(20℃),R=287J/kg·K,γ=1.4,得

当T=288.2K时,音速为c=340.3m/s。

分析音速表达式式(9-3)和式(9-5),可见:

流体的音速随气体的状态参数而变化。在同一流体介质中,各个点的瞬时状态参数是不同的,因而各个点的音速是不同的。对非定常流,音速随点的坐标和时间的变化而变化;对定常流,音速则随点的坐标的变化而变化。因此在一般情况下,所提到的音速都是指当地音速。

流体的音速可以作为判别气体的压缩性标准。在相同的温度下,不同的介质有不同的音速。流体可压缩性大的,微弱扰动波传得慢,音速低;流体可压缩性小的,微弱扰动波传得快,音速高。

在同一流体介质中,音速随着介质温度的升高而加快,并与温度的平方根成正比。

在气体流动中,音速是气体动力学中一个重要的界限参数。当流速低于音速时,为亚音速流动;当流速等于音速时,为音速流动;当流速高于音速时,为超音速流动。

一般情况下可以用无量纲数Ma作为具体流动判别标准。Ma称为马赫数,其定义是气体在某点的流速与当地音速之比。即

以当地音速为标准,可以将气流的流动分为:

v<c或Ma<1,亚音速流动;

v=c或Ma=1,音速流动;

v>c或Ma>1,超音速流动。

对于完全气体,将式(9-5)代入式(9-7),得

从式(9-8)可见马赫数Ma的物理意义:分子中的v2表示气体宏观运动的动能大小;分母中的气体温度T表示气体的内能大小;马赫数Ma则表示气体的宏观运动的动能与气体的内能之比。马赫数Ma小,则气体的内能大而气体的宏观动能小,流速的变化不会引起温度等状态参数的显著变化;马赫数Ma大,则气体的宏观动能大而气体的内能小,流速的变化将会引起温度等状态参数的显著变化。

例9-1有一喷气发动机,其尾部喷管出口处,气流的速度为v=556m/s,气流的温度为T=860K,气流的绝热指数γ=1.33,气体常数R=287J/(kg·K),试求喷管出口处气流的音速和马赫数。

解由式(9-5)得气流的音速c

马赫数为

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