【摘要】：，Xn相互独立，则
方差具有下面性质：
1．设c为常数，D（c）＝0；
2．设c为常数，则D（c X）＝c2D（X）；
3．D（X±Y）＝D（X）＋D（Y）±2E｛［X－E（X）］［Y－E（Y｝）］；
4．若X与Y相互独立时，有D（X±Y）＝D（X）＋D（Y）；
5．若随机变量X的方差存在，对任意的常数c≠E（X），则
D（X）＝E［（X－E（X））2］＜E［（X－c）2］．
证明 （仅证性质4、性质5）．
（1）由数学期望的性质及求方差的公式得
D（X±Y）＝E［（X＋Y）2］－［E（X＋Y）］2
＝E［X2＋Y2＋2XY］－［E（X）＋E（Y）］2
＝E（X2）＋E（Y2）＋2E（X）E（Y）－［E（X）］2－［E（Y）］2－2E（X）E（Y）
＝｛E（X2）－［E（X）］2｝＋｛E（Y2）－［E（Y）］2
＝D（X）＋D（Y）．
（2）对任意常数c，有
E（X－c）2＝E［（X－E（X）＋E（X）－c）2］
＝E［（X－E（X））2＋2［（X－E（X）］（E（X）－c）＋（E（X）－c）2］
＝E［（X－E（X））2］＋2（E（X）－c）E［X－E（X）］＋（E（X）－c）2
＝D（X）＋（E（X）－c）2＞D（X）．（对任意常数c≠E（X））
推论：D（c1X＋c2）＝c21D（X），（c1，c2为常数）；
若X1，X2，…，Xn相互独立，则
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