二维正态随机变量xy互不相关

对于二维随机变量（X，Y），E（X），E（Y）只反映了X和Y各自的平均值，而D（X）， D（Y）只反映了X和Y各自离开平均值的偏离程度，它们对X和Y之间的相互联系没有提供任何信息．在实际问题中，每对随机变量往往相互影响、相互联系．例如，人的年龄与身高、某种产品的产量与价格等．随机变量的这种相互联系称为相关关系，它们也是一类重要的数字特征，本节讨论这方面的数字特征——协方差与相关系数．

定义4．3．1 设（X，Y）是二维随机变量，若

E｛［X－E（X）］［Y－E（Y）］｝

存在，则称它为随机变量X与Y的协方差（covariance），记为cov（X，Y），即

cov（X，Y）＝E｛［X－E（X）］［Y－E（Y）］｝ 　（4－9）

协方差具有下列性质：

（1）cov（X，Y）＝cov（Y，X），cov（X，X）＝D（X）；

（2）cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）；

证 cov（X，Y）＝E［XY－XE（Y）－YE（X）＋E（X）E（Y）］

＝E（XY）－E（X）E（Y）－E（X）E（Y）＋E（X）E（Y）

＝E（XY）－E（X）E（Y）．

这是求协方差比较实用的公式．

（3）D（X±Y）＝D（X）＋D（Y）±2cov（X，Y）；

证 D（X±Y）＝E［（X±Y）－E（X±Y）］2＝E［（X－E（X））±（Y－E（Y））］2＝D（X）＋D（Y）±2cov（X，Y）．

（推广）

（4）cov（a X，b Y）＝abcov（X，Y），a，b是常数；

（5）cov（X1＋X2，Y）＝cov（X1，Y）＋cov（X2，Y）；

（6）若X与Y相互独立，则cov（X，Y）＝0．

例4．3．1 （X，Y）的分布律为：

（X′，Y′）的分布律为：

试比较（X，Y）与（X′，Y′）之间的联系程度．

解 计算可得E（X）＝E（Y）＝E（X′）＝E（Y′）＝0，

而cov（X，Y）＝E（XY）＝1·1·＋（－1）·（－1）·＝1，

cov（X′，Y′）＝E（X′·Y′）＝10·10·＋（－10）·（－10）·＝100．

由此并不能说出（X′，Y′）比（X，Y）间的联系紧密．

事实上10X＝X′，10Y＝Y′，他们之间的联系是一样的，之所以出现这种情况，是因为协方差的大小还受随机变量本身所取数值的影响．为了清除这种影响，我们引进一个无量纲的量——相关系数的概念，来衡量随机变量间的联系的密切程度．

定义4．3．2 设cov（X，Y）存在，且D（X），D（Y）不为零，则称为随机变量X与Y的相关系数（correlationcoefficient）或标准协方差（standardcovariance），记为ρXY（或ρ），即

令X＊＝即X＊，Y＊分别是X与Y的标准化随机变量．由协方差的定义，可知

ρXY＝cov（X＊，Y＊）．

下面讨论相关系数ρXY到底表示X与Y之间的什么联系．为此，给出下面定理．

定理4．3．1 设ρ是X与Y的相关系数，则

（1）ρ≤1；（ρ＞0称正相关，ρ＜0称负相关）

（2）ρ＝1的充要条件是：存在常数a，b，使

P｛Y＝a X＋b｝＝1．

即X与Y以概率1存在线性关系．

该定理的证明略去，有兴趣的读者可以参考有关文献．

由定理4．3．1告诉我们，相关系数ρXY描述了随机变量X、Y的线性相关程度，ρ愈接近1，则X与Y之间愈接近线性关系．当ρ＝1时，X与Y存在线性关系．特别，如果ρXY＝0，则X与Y不相关，说明X与Y没有线性关系．

我们应当注意，两个随机变量X与Y之间的不相关性和相互独立性一般是不同的．诚然，由相关系数的定义可以推得当变量X，Y相互独立时，必有ρXY＝0，即X，Y不相关；但反之不然．独立性是比不相关更为严格的条件．独立性反映X与Y之间不存在任何关系，而不相关只是就线性关系而言的，即使X与Y不相关，它们之间也还是可能存在函数关系的．

例4．3．2 设随机变量Z服从［－π，π］上的均匀分布，又X＝sin Z，Y＝cos Z，试求相关系数ρXY．

此题相关系数ρXY＝0，即随机变量X与Y不相关，但却有X2＋Y2＝1，从而X与Y不相互独立．

例4．3．3 设（X，Y）服从二维正态分布，它的概率密度为

这说明二维正态随机变量（X，Y）的概率密度中的参数ρ就是X和Y的相关系数，从而二维正态随机变量的分布完全可由X，Y的各自数学期望、方差以及它们的相关系数所确定．

由上一章讨论可知，若（X，Y）服从二维正态随机变量时，那么X，Y相互独立的充要条件是ρ＝0，即X，Y不相关．因此，对于二维正态随机变量（X，Y）来说，X，Y不相关与X，Y相互独立是等价的．

例4．3．4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为

试证明随机变量X与Y不相关，也不相互独立．

因而cov（X，Y）＝0，ρXY＝0，即X与Y不相关．

又由于

所以X与Y不相互独立．

例4．3．5 设随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求cov（X，Y），ρXY．

解 （X，Y）的概率密度为