两个正态总体均值差μ－μ的假设检验

1．方差已知时，两个正态总体均值差μ1－μ2的假设检验

当已知时，考虑如下的假设检验问题：

（1）H0：μ1＝μ2↔H1：μ1≠μ2（双侧检验）

由抽样分布中的定理知：

又与独立，从而有

当原假设H0成立时，统计量

否则 U 有增大的趋势，故对给定的显著性水平α，为使犯第二类错误的概率最小，取拒绝域W＝｛U ＞zα／2｝，其中zα／2是标准正态分布的上分位数zα／2．

（2）若H0：μ1＝μ2↔H1：μ1＜μ2（单侧检验），此时，U不能过小，U过小是小概率事件．由P｛U＜－zα｝≤α，得H0的拒绝域为W＝｛U＜－zα｝．

（3）若H0：μ1＝μ2↔H1：μ1＞μ2，此时，U不能过大，U过大是小概率事件．由P｛U＞zα｝≤α，得H0的拒绝域为W＝｛U＞zα｝．

例8．3．1 两种工艺下纺的细纱的强力X与Y分别服从正态分布X～N（μ1，142）和Y～N（μ2，152），各抽取容量为50的样本，算得＝286．问两种工艺下纺的细纱的强力有无明显差异？（取显著性水平α＝0．05）

解 这里为已知．

由题意提出假设设H0：μ1＝μ2↔H1：μ1≠μ2．

由已知，选统计量

对显著性水平α＝0．05，查表得

从而拒绝H0，接受H1，即两种工艺下纺的细纱的强力有明显差异．

2．方差未知时，两个正态总体均值差μ1－μ2的假设检验

当未知时，考虑如下假设检验问题：

（1）H0：μ1＝μ2↔H1：μ1≠μ2（双侧检验）

由于未知，考虑用分别近似替代，为使分布已知，应选统计量

在H0成立及时，T服从自由度为n1＋n2－2的t分布，即t～t（n1＋n2－2）．与前面相同的道理，此时，T不能过大，T过大是小概率事件．由P（T＞a）＝α，查表得于是，H0的拒绝域为

（2）H0：μ1＝μ2↔H1：μ1＜μ2（单侧检验），类似地，T不能过小，T过小是小概率事件．

由P｛T＜－tα（n1＋n2－2）｝≤α，得H0的拒绝域为W＝｛T＜－tα（n1＋n2－2）｝．

（3）H0：μ1＝μ2↔H1：μ1＞μ2，此时，T不能过大，T过大是小概率事件．

由P｛T＞tα（n1＋n2－2）｝≤α，得H0的拒绝域为W＝｛T＞tα（n1＋n2－2）｝．

例8．3．2 某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命试验．计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460（h），样本标准差为56（h）；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550（h），样本标准差为48（h）．设灯泡的寿命服从正态分布，问由此是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性水平α＝0．01，假定采用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变）

解 设采用新工艺前灯泡寿命为X，X～N，采用新工艺后灯泡寿命为Y，Y～未知．

由题意提出假设设H0：μ1＝μ2↔H1：μ1＜μ2

由于未知，在H0成立的条件下，选取假设检验统计量

对显著性水平α＝0．01，查表得tα（n1＋n2－2）＝t0．01（18）＝2．55．由n1＝n2＝10，x＝2460，＝2550，s1＝56，s2＝48，计算得

从而拒绝H0，即采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高．