无重复试验双因素方差分析

设因素A，B作用于试验指标．因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，因素B有s个水平B1，B2，…，Bs．对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj）（i＝1，2，…，r，j＝1，2，…，s）只进行一次实验，得到rs个试验结果Xij，列于下表中

表10－2－1

1．假设前提

与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设：

（1）Xij～N（μij，σ2），μij，σ2未知，i＝1，…，r；j＝1，…，s；

（2）每个总体的方差相同；

（3）各Xij相互独立，i＝1，…，r；j＝1，…，s．

那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：

H0A：μ1j＝μ2j＝…＝μrj＝μ·j j＝1，…，s，

H0B：μi1＝μi2＝…＝μis＝μi·i＝1，…，r．

备择假设为

H1 A：μ1j，μ2j，…，μrj不全相等．

H1B：μi1，μi2，…，μis不全相等．

由假设有Xij～N（μij，σ2）（μij和σ2未知），记Xij－μi＝εij，即有εij＝Xij－μij～N（0，σ2），故Xij－μij可视为随机误差．从而得到如下数学模型

引入记号：　

易见．称μ为总平均，称αi为水平Ai的效应，称βj为水平Bj的效应．且μij＝μ＋αi＋βj．

于是上述模型进一步可写成

若H0A（或H0B）成立，则认为因素A（或B）的影响不显著，否则影响显著．

2．偏差平方和及其分解

类似于单因素方差分析，需要将总偏差平方和进行分解．记

将总偏差平方和进行分解：

由于在ST的展式中三个交叉项的乘积都等于零，故有

ST＝SA＋SB＋SE，

其中，

我们称SE为误差平方和；分别称SA，SB为因素A、因素B的偏差平方和．

类似地，可以证明当H0A、H0B成立时，有

1）ST／σ2，SA／σ2，SB／σ2，SE／σ2分别服从自由度依次为rs－1，r－1，s－1，（r－1）（s－1）的χ2分布；

2）ST，SA，SB，SE相互独立．

3．检验方法

当H0A为真时，可以证明

取显著性水平为α，得假设H0A的拒绝域为

类似地，当H0B为真时，可以证明

取显著性水平为α，得假设H0B的拒绝域为

实际分析中，常采用如下简便算法和记号：

可得如下方差分析表：

表10－2－2 无重复试验双因素方差分析表

例10．2．1 设四名工人操作机器A1，A2，A3各一天，其日产量如表10－2－3所示，问不同机器或不同工人对日产量是否有显著影响（α＝0．05）？

表10－2－3

解 由题意知r＝3，s＝4，按计算公式计算得

T1·＝197，T2·＝222，T3·＝183，

T·1＝155，T·2＝143，T·3＝145，T·4＝159，

T＝602，

ST＝＝317．67，

SA＝＝195．17，

SB＝＝59．67，＝59．67，＝ST－SA－SB＝62．83，

FA＝＝9．32，FB＝＝1．90．

当α＝0．05时，查表得

Fα（r－1，（r－1））＝F0．05（2，6）＝5．14，

Fα（s－1，（r－1）（s－1））＝F0．05（3，6）＝4．76．

列出方差分析表

表10－2－4

由此表知，FA＞F0．05（2，6），FB＜F0．05（3，6），说明机器的差异对日产量有显著影响，而不同工人对日产量无显著影响．

例10．2．2 下面给出了在某5个不同地点，不同时间空气中的颗粒状物（以mg／m3计）的含量的数据：

表10－2－5

试在水平α＝0．05下检验．在不同时间的颗粒状物含量的均值有无显著差异．

解 按题意，Ti·、T·j的值已算出载于表，现在r＝4，s＝5．按计算公式得到：

ST＝

SA＝＝1182．95，

SB＝＝1947．50，

SE＝357．75－（1182．95＋1947．50）＝441．30．

得方差分析如下表10－2－6：

表10－2－6

由于F0．05（3，12）＝3．49＜10．72，F0．05（4，12）＝3．26＜13．24，故拒绝H01及H02，即认为不同时间下颗粒状物含量的均值有显著差异，即认为在本题中，时间和地点对颗粒物的含量的影响均为显著．