非周期信号与连续频谱

（1）傅里叶变换

实际工程中所遇到的信号大都是非周期信号，如二阶系统的过渡过程，爆炸产生的冲击波信号等。非周期信号又可分为准周期信号和瞬变信号，如图2．17所示。

图2．17 非周期信号的频谱

对于非周期信号x（t），可以假设其周期T→∞，则该非周期信号可以演变成周期信号，且在区间（－∞，∞）内x（t）只有一个周期，由式（2．52）和式（2．54）可知，对周期信号进行傅里叶级数展开，只需要了解其一个周期内的变化。因此，对于定义于区间（－∞，＋∞）上的非周期信号x（t），在满足狄里赫利条件下也能分解成许多谐波分量的叠加。

在前面研究周期信号的频谱时，发现若信号的周期越大，则相邻谱线间的间隔越小，极限情况下，当周期T→∞，式（2．54）中的ω0趋于无穷小量dω，离散频率nω0变成连续频率ω，展开式的叠加关系变成积分关系，而频谱图中离散的谱线变成一条连续的频谱，此时傅里叶级数的式（2．54）变为

式（2．57）中方括号内对时间进行积分后，仅仅是角频率ω的函数，记为X（ω），则有

式（2．58）中的X（ω）称为非周期信号x（t）的傅里叶变换，而式（2．59）中的x（t）称为X（ω）的傅里叶逆变换，两者互为傅里叶变换对。

（2）非周期信号与周期信号频谱分析的比较

其相同点在于两者都可以分解为许多不同频率的谐波分量之和。不同点在于周期信号的频谱为离散谱，而非周期信号由于其周期T→∞，基频ω0→dω，它包含了从零到无穷大的所有频率分量（连续谱），各频率分量的幅值为X（ω）dω—是无穷小量，故非周期信号的频谱不能再用幅值表示，而必须用频谱密度函数X（ω）描述，X（ω）表示角频率ω处单位频带宽度内频率分量的幅值与相位，即

其中　

（3）非周期信号频谱的特点

如前所述，非周期信号的频谱是连续的，它包含了从0→∞的所有频率分量。如图2．18所示为时域脉冲信号及其频谱图。

由图2．18可知：

①脉冲宽度增大时，信号的能量将大部分集中在低频区；→∞时，脉冲信号变成直流信号，频谱函数只集中在ω＝0处。

②脉冲宽度减小时，频谱的高频成分增加（频带宽度增大）；→0时，脉冲信号变成单位冲击信号，频谱函数扩展为均匀谱，频带宽度无限大。

③对于一个矩形脉冲信号，其能量主要集中在频谱中零频率到第一个过零点之间，其所含能量达到信号全部能量的90%以上，故可将频谱中第一个过零点对应的频率定义为矩形脉冲信号的有效带宽。

（4）频谱分析的应用

频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。例如，在齿轮箱故障诊断中，通过对齿轮箱振动信号进行频谱分析以确定最大频率分量，然后根据机床和传动链的转速，即可找出故障齿轮。又如，在进行螺旋桨设计时，可以通过频谱分析确定螺旋桨的固有频率和临界转速，从而确定螺旋桨转速的工作范围。

图2．18 时域脉冲宽度与频域频带宽度的关系