典型检测系统的动态特性

（1）一阶系统的动态特性

1）一阶系统的描述

常见的一阶系统有质量为零的弹簧-阻尼机械系统、RC电路、RL电路、液柱式温度计、热电偶测温系统等，如图3．7所示。

图3．7 典型一阶系统

一阶系统可用如下微分方程描述：

令，则

解得

式中 ——时间常数；

K——静态灵敏度。

图3．8为一阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。

图3．8 一阶系统的幅频特性和相频特性曲线

2）一阶系统的特性

①一阶系统是一个低通环节，当ω＝0时，幅值比A（ω）＝1为最大，相位差φ（ω）＝0，其幅值误差与相位误差为零，即输出信号与输入信号的幅值、相位相同，测试系统输出信号并不衰减。随着ω增大，A（ω）逐渐减小，相位差逐渐增大，当ω→∞时，A（ω）几乎与频率成反比，φ（ω）＝，这表明测试系统输出信号的幅值衰减加大，相位误差增大，因此一阶系统适用于测量缓变或低频信号。

②时间常数决定着一阶系统适用的频率范围。当ω较小时，幅值和相位的失真都较小；当ω＝1时，A（ω）＝1/≈0．707，即20lgA（ω）＝－3dB。通常把ω＝1处的频率（即输出幅值下降至输入幅值的0．707倍处的频率）称为系统的“转折频率”（对滤波器来讲，就是截止频率），在该处相位滞后45°。

可知越小转折频率就越大，测试系统的动态范围越宽；反之，越大则系统的动态范围就越小。因此是反映一阶系统动态特性的重要参数。

因此，为了减小一阶系统的稳态响应动态误差，增大工作频率范围，应尽可能采用时间常数小的测试系统。

例3．4 用一个一阶检测装置测量频率fn＝100Hz的正弦信号，若要求其幅值相对误差限制在5%以内，则该检测装置的时间常数应取多少？

解

例3．5 设一阶系统的时间常数＝0．1s，问输入信号频率ω为多大时其输出信号的幅值误差不超过6%？

解

将＝0．1代入A（ω）中得到

结论：一阶系统确定后，若规定一个允许的幅值误差ε，则可确定其测试的最高信号频率ωh，该系统的可用频率范围为0～ωh。

反之，若要选择一阶系统，必须了解被测信号的幅值变化范围和频率范围，根据其最高频率ωh和允许的幅值误差去选择或设计一阶系统。

（2）二阶系统的动态特性

1）二阶系统的描述

图3．9的弹簧-质量-阻尼系统和RLC电路均为典型的二阶系统。

图3．9 典型二阶系统

不论热力学、电学、力学等二阶系统，均可用二阶微分方程的通式描述，即

其中　

式中 K——静态灵敏度；

ωn——固有频率；

ξ——阻尼比。

相应的幅频、相频特性曲线如图3．10所示。

图3．10 二阶系统的频率响应

2）二阶系统的特性

①二阶系统也是一个低通环节。当≪1时，A（ω）≈1，φ（ω）≈0，表明该频率段的输出信号幅值误差和相位误差都很小；当≫1时，A（ω）≈0，φ（ω）→180°，即输出信号几乎与输入信号反相，表明测试系统有较大的幅值衰减和相位误差。因此，二阶系统也是一个低通环节。

②二阶系统频率响应特性的好坏主要取决于测试系统的固有频率ωn和阻尼比ξ。阻尼比ξ不同，系统的频率响应也不同。0＜ξ＜1，为欠阻尼；ξ＝1，为临界阻尼；ξ＞1，为过阻尼。一般系统都工作于欠阻尼状态。当ξ＜1，ω≪ωn时，A（ω）约等于1，即幅频特性曲线平直，输入输出为线性关系；φ（ω）很小，φ（ω）与频率ω呈线性关系。此时，系统的输出y（t）能真实准确地复现输入x（t）的波形。当ξ≥1时，A（ω）＜1；当阻尼比ξ趋于零时，在ω／ωn＝1附近，系统将出现谐振，此时，输出与输入信号的相位差φ（ω）由0°突变为180°。为了避免这种情况，可增大ξ值，当ξ＞0，而ω／ωn＝1时，输出与输入信号的相位差φ（ω）均为90°，利用这一特点可测定系统的固有频率ωn。

显然，系统的频率响应随固有频率ωn的大小而不同。ωn越大，保持动态误差在一定范围内的工作频率范围越宽；反之，工作频率范围越窄。

综上所述，对二阶测试系统推荐采用ξ值为0．7左右，ω≤0．4ωn，这样可使测试系统的频率特性工作在平直段、相频特性工作在直线段，从而使测量的失真最小。

例3．6 有两个结构相同的二阶系统，其固有频率相同，但两者阻尼比不同，一个是0．1，另一个是0．65，若允许的幅值误差10%，问它们的可用频率范围是多少？

解 求二阶系统的可用频率范围，实际上就是求幅频特性曲线与A（ω）＝1±ε两根直线的交点的横坐标。

图3．11 例3．6图

①将A（ω）＝1．1和ξ＝0．1代入幅频特性公式，可得

②将A（ω）＝1．1和ξ＝0．65代入幅频特性公式，方程无实数解，即两者无交点。

③将A（ω）＝0．9和ξ＝0．1代入公式，得

④将A（ω）＝0．9和ξ＝0．65代入公式，得

对ξ＝0．1的二阶系统，其可用频率范围为0～0．304ωn和1．366～1．44ωn；对ξ＝0．65的二阶系统，可用频率范围为0～0．815ωn；可见阻尼比ξ影响二阶系统的可用频率范围。

例3．7 一测力系统具有二阶动态特性，其传递函数为

已知该系统的固有频率fn＝1200Hz，阻尼比ξ＝0．5。试问用该系统测量频率为600Hz的正弦交变力时，相对幅值误差和相位差是多少？

解 相对幅值误差为

相对相位误差为