油液流经缝隙时产生压降和摩擦并伴随着发热温升。选择流体微元作为控制体，在单位时间内，控制体流过缝隙时能量有如下变化：①油液的压降使油膜产生能量损失；②油液流动时黏性力产生的液体摩擦引起能量损失；③通过缸体和柱塞传导到周围环境中的能量；④压降和液体摩擦损失的能量与传导到环境中的能量共同决定了油液能量变化，而油液的能量变化量由油液温度的变化ΔT表现出来。考虑以上能量关系式以及能量守恒定律，可以建立柱塞副温度场分布的数学模型。
1）压降能量损失
由于摩擦，压力能部分将转换为热能进入控制体，沿程损失和局部损失导致油液压力下降。由油膜压力分布可知，柱塞泵正常工作压力p与油膜任意z坐标位置控制体压力p（z）之间的压差Δp为
单位时间内压降损失的能量为
2）液体摩擦能量损失
油液在缝隙中流动时的摩擦损失将转换为进入控制体的热能。由于油膜厚度h很小，可近似认为油膜在厚度方向速度梯度为油膜上下两表面的速度差。根据牛顿内摩擦定律可得油膜任意z坐标位置切应力为
单位时间内控制体液体摩擦损失的能量为
3）热传导能量损失
油液在柱塞副中的流动，属于流体与壁面之间的接触，热量交换包括热传导、热对流和热辐射。但其热传导和热辐射传导的热量与热对流传导的热量相比非常小，可以忽略两者的影响且不引起较大的误差。单位时间内控制体由热传导损失的能量可表示为
式中，T为流体温度；Tw为壁面平均温度；d z为控制体微元长度；α为放热系数。
4）油膜温度模型
压降和液体摩擦损失的能量转换成热能进入柱塞副油膜，而同时热传导损失的部分能量流出柱塞副油膜，油膜中的能量变化表示为
微元体温度变化反映其热量变化量，微元体温度为
式中，T0为油液初始温度；c为油液比热容。
假设忽略流体微元间的热量传递，则每一个流体微元的温度变化是相互独立的，将柱塞副油膜分割为有限多个流体微元，即可得出柱塞副油膜的温度场特性曲线。
5）模型求解
假设柱塞泵工作时环境温度为20℃，液压系统回油换热充分，忽略油液流动损失，认为泵入口油温保持在20℃。取柱塞速度最大处进行研究，确定研究时刻为柱塞经过下死点时，忽略瞬时柱塞副长度变化和压力波动。由于此时柱塞处于压油区，并且柱塞完全进入缸体，此处柱塞副长度最长且两端压差最大，柱塞副油膜的温度变化也最为明显。
液压油的黏度、比热容和流体放热系数随温度变化。计算时给定常温时黏度的初始值和允许精度范围，根据计算过程中得到的油液温度值选取黏温特性曲线上的黏度值，并与初始黏度值比较，若超出允许精度范围，则用该黏度值取代初始黏度值重新进行计算，直至误差小于精度允许范围为止。计算流程如图5.1所示，计算出一个点的温度值以后，改变坐标值多次循环可得轴向坐标方向油膜的温度分布。
本章中计算例的具体参数如下：某型轴向柱塞泵工作压力为21 MPa，排量为28 cm3/r，其转速范围0～4 000 r/min。柱塞泵的结构参数为：斜盘倾角γ=16°，柱塞倾斜角β=20°，柱塞长度72.5 mm，柱塞直径d=22 mm，柱塞与缸体间的间隙h=15μm，柱塞中心在斜盘上的分布圆半径R=35.5 mm，其他几何尺寸和材料由该型号柱塞液压泵图纸确定。工作介质为12号航空液压油。
图5.1 温度分布计算流程图
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