算术定律是先验综合的还是分析的

算术定律是先验综合的还是分析的？

§12．如果人们补充说明分析和综合的对立，就得到四种组合，然而可以取消其中的一种，即

后验分析的。

如果人们随着密尔赞同后验的，那么就没有选择，因而对我们来说，只还有

先验综合的

和

分析的

这两种可能性需要考虑。康德赞同前者。在这种情况下，大概只能乞求一种纯粹的直觉作为最终的认识基础，尽管这里很难说这是空间的还是时间的，或者可能还是其它什么。鲍曼^[15]同意康德的观点，尽管理由不同。利普希兹^[16]也认为，表明数不依赖于计数方法以及加数可以交换也可以结合的那些定律，是从内在直觉产生出来的。汉克尔（Hamkel）^[17]基于三条原理建立了实数理论，他认为这些原理具有notiones communes（普通概念）的特征：“它们经过解释成为完全显然的，根据对量的纯粹直觉对一切量的领域都是有效的，并且能够在不丧失自身特征的情况下变为定义，这时人们说：量的相加是一种满足这些原理的运算。”最后这句陈述有一点不清楚的地方。也许人们可以做出这个定义；但是它绝不能替代那些原理。因为在应用定义时总会涉及这样的问题：数是量吗？人们通常称为数的加法的东西是这种定义意义上的加法吗？而且为了回答这些问题，人们必须已经知道关于数的那些原理。此外，“对量的纯粹直觉”这个表达引起反感。如果人们考虑所有被称为量的东西：数、长度、面积、容积、角度、曲率、质量、速度、力、光强度、电流强度等等，那么大概可以理解，人们如何能够把这置于一个量概念之下；但是绝不能承认“对量的直觉”这个表达是合适的，更不能承认“对量的纯粹直觉”这个表达是合适的。我甚至不能承认对100000的直觉，更不能承认对普遍的数的直觉或甚至对普遍的量的直觉。但是这时人们不应该完全无视“直觉”这个词的意义。

康德在《逻辑》这本著作中（Hartenstein编，ⅤⅢ，S.88）定义如下：

“直觉是一种个别的表象（repraesentatio singularis），概念是一种普遍的表象（repraesentatio per notas communes）或反思的表象（repraesentatio discursiva）。”

这里根本没有表达与感性的关系，而在《超验美学》中却考虑了这种关系。没有这种关系，直觉就不能用作先验综合判断的认识原则。他在《纯粹理性批判》中（Hartenstein编，Ⅲ，S.55）写道：

“因而借助感性，对象被给予我们，而且只有感性为我们提供直觉。”

由此看来，直觉这个词的意义在《逻辑》中比在《超验美学》中更广。在逻辑的意义上100000也许可以被称为一种直觉；因为这不是一个普遍概念。但是在这种意义上理解，就不能用直觉作为算术规律的根据。

§13．一般来说，最好不要过高估计与几何学的亲缘关系。针对这一点，我已经引用了莱布尼兹的一段话。仅考察几何学上的一个点本身，根本不能把它与其它任何一个点相区别；对于直线和平面也是如此。只有在直觉中同时把握了许多点、直线和平面时，人们才能区别它们。如果在几何学中从直觉获得普遍的句子，那么由此也就说明，直接看到的点、直线、平面其实根本不是特殊的东西，因而可以被看作是它们整个属的代表。在数的情况中则不同：每个数都有自己的独特性。人们无法立即说出，一个确定的数在什么程度上可以代表所有其它的数，数的特殊性在什么地方起作用。

§14．联系由真命题支配的领域来比较真命题，也表明不利于算术定律的经验的和综合的性质。

经验句子对于物理的或心理的现实是有效的。几何学的真命题支配着空间直观东西的领域，尽管现在它是想象力的实现或产物。传说和诗歌中有一些最放纵狂热的想象，最大胆不羁的创作，它们使动物说话，使日月星辰静止不动，使石头变成人，并且使人变成树，它们还告诉人们，人如何抓住自己的头发把自己拽出泥沼。然而只要它们是直观的，就依然受到几何学公理的约束。只有概念思维能够以某种方式摆脱这些公理，譬如在假定一种四维空间或正曲率量的空间的时候。这样的考虑不是完全无用的；但是它们完全抛弃直觉基础。如果在这里也借助直觉，那么这依然始终是欧几里得空间的直觉，即那唯一的、我们有某种关于它的形象的空间的直觉。然而在这种情况下，这种直觉不是被当作像它实际的那样，而是被当作象征其它某种东西；例如，人们把直观上看到的弯曲的东西叫作直的或平的。对于概念思维而言，人们可以总是假定与这条或那条几何公理相对立的东西，而在根据这些与直觉相悖的假定进行推理时又不陷入自相矛盾。这种可能性表明，几何公理相互独立，并且不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的。对于有关数的科学的原理可以这样说吗？如果人们要否认这些原理中的一条，一切岂不会乱套了吗？这样一来，还能进行思维吗？算术基础不是比所有经验科学的基础，甚至比几何学基础更深吗？算术的真支配着可计数的领域。这一领域是最广博的；因为它不仅包括现实的东西，不仅包括直观的东西，而且还包括一切可被思考的东西。那么，数的规律与思维规律难道不应该联系得最密切吗？

§15．应该预料到，莱布尼兹的陈述只能表明有利于数规律的分析性质，因为在他看来，先验的与分析的是重合的。比如他说^[18]，代数的优点得自一门高级得多的艺术，即真正的逻辑。在另一个地方^[19]，他把必然真命题和偶然真命题与可公约量和不可公约量进行比较，认为在必然真的情况，证明或化归为同一是可能的。但是这些说法失去说服力，因为莱布尼兹喜欢把所有真命题都看作是可证明的^[20]：“每个真命题都有其从术语概念得出的先验的证明，即使我们并非总能够达到这种分析”。当然，与可公约性和不可公约性的比较在偶然真命题和必然真命题之间又建立了一种至少对于我们来说是不可逾越的限制。

W.S.杰芬斯^[21]坚定不移地表明赞同数规律的分析性：“数不过是逻辑的区别，而代数是一种高度发展的逻辑。”

§16．但是这种观点也有自己的困难。这株高大挺拔、分枝广远而且仍然还在增长的数的科学之树，难道能够植根于纯粹的同一性之中吗？而且如何能够最终从逻辑的空洞形式获得这样的内容呢？

密尔^[22]认为：“通过对语言的熟练驾驭，我们就能够发现事实，揭示隐蔽的自然过程，这样一种信条是违反常识的，也许只有在哲学方面取得很大进步才能相信它。”

当然，只有在熟练驾驭语言的过程中什么也没有想时才会如此。这里密尔在反对一种几乎没有任何人主张的形式主义。任何使用词或数学符号的人都要求它们意谓一些东西，谁也不会期待从空洞的符号产生某种有意义的东西。但是一位数学家却不用把他的符号理解为感官上可感觉的、可直观感受的东西，就能进行很长的计算。因此，这些符号还不是没有意义的；人们仍然要把它们的内容和它们本身区别开，尽管也许只有通过符号才可以把握内容。人们认识到，可以规定不同的符号表示相同的东西。只要知道以下两点就足够了：应该如何以逻辑方法处理从符号感受到的内容；在打算应用于物理学时，必须如何实现向现象过渡。但是在这样一种应用中，不应该注意句子的实际意义。在这种应用中总是失去大部分普遍性，并且加入一些特殊的东西，而在其它应用中，这些东西将被其它东西取而代之。

§17．尽管人们非常贬低演绎，但是依然不能否认，由归纳建立的规律是不够的。从这些规律必然推导出一些新句子，而其中任何一条规律本身却不包含这些句子。这些句子已经以某种方式隐藏在所有规律的整体之中，但这并没有免除人们由此揭示它们和确立它们自身性质的工作。这样就呈现出下面的可能性。人们可以不把一个推理串与一个事实直接联系起来，而是对事实不予考虑，把其内容作为条件加以接纳。当人们以这种方式把一个思想序列中的所有事实代之以条件时，就得到这样一种形式的结果：一种结果依赖于一系列条件。这种真就会只通过思维，或者用密尔的话说，通过对语言的熟练驾驭而建立起来。数的规律具有这种性质，这不是不可能的。在这样的条件下，它们就会是分析判断，尽管它们不必是仅仅被思维发现的。因为这里考虑的不是发现的方式，而是论据的种类；或者正像莱布尼兹所说：^[23]“这里不是探讨在不同人那里表现为不同的我们人类所发现的历史，而是探讨有关永远相同的真命题的联系和自然次序。”观察最终本应该判定，以这种方式建立的规律所包含的那些条件是不是得到满足。这样人们最终恰恰会达到由于把推理串与观察的事实直接联系起来而实际上达到的地方。但是在许多情况下人们都更喜欢这里提示的这种过程，因为它导致一种普遍的句子，而这句子不必只适用于眼前存在的事实。这样，算术的真命题与逻辑的真命题的关系就类似于几何学的定理与公理的关系。它们各自都会有一整系列未来使用的推理串，其用途将在于：人们不必再进行个别的推理，而是能够立即说出这整个系列的结果。^[24]由于算术学说的巨大发展及其多方面的应用，广为流行的对分析判断的蔑视和关于纯逻辑毫无成果的无稽之谈将再也没有立足之地。

这种观点并不是本文这里首先提出来的。在我看来，如果人们能够十分严格地、具体地坚持这种观点，从而不留有丝毫怀疑，那么结果就不会是完全不重要的。

【注释】

[1]霍布斯、洛克、牛顿。参见鲍曼的《论时间、空间和数学》（Baumann，Die Lehren von Zeit，Raum und Mathematik， ［Band I］S.241u.242，S.366ff.，S.475）。

[2]《纯粹理性批判》（Kritik der reien Vernunft，Hartenstein.Ⅲ．S.57）。

[3]《复数及其函数讲义》（Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen，S.53）。

[4]《新论》（Nouveaux Essais，［Liv.］Ⅳ．［Ch.Ⅷ．］，§10．Erdm.S.363）。

[5]抽象证明的优雅范例（Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis）（Erdm.S.94）。

[6]《中学数学课本》第一部分：算术（Lehrbuch der Mathematik fü r hö here Lehranstalten，I．Theil：Arithmetik，Stettin 1860，S.4.）。

[7]《演绎和归纳逻辑系统》（System der deductiven und indudiven Logik，J.Schiel译．Ⅲ．Buch，ⅩⅩⅣ．Cap.，§5）。

[8]同上书，第2卷，第6章；§2。

[9]同上书，第3卷，第24章§5。

[10]同上书，第3卷，第24章，§5。

[11]同上书，第2卷，第6章，§3。

[12]鲍曼：《论时间、空间和数学》，第2卷，39页（Erdm.，第243页）。

[13]鲍曼，同上书，第2卷13—14页（Erdm.195、208—209页）。

[14]鲍曼，同上书，第2卷，第38页（Erdm.第212页）。

[15]同上书，第2卷，第669页。

[16]《数学分析教程》（Lehrbuvh der Analysis，Bd. I. ，S.1）

[17]汉克尔：《复数系统理论》（Theorie der complexen Zahlensysteme，S.54u.55）。

[18]鲍曼，同上书，第2卷，第56页（Erdm.，第424页）。

[19]鲍曼，同上书，第2卷，第57页（Erdm.，第83页）。

[20]鲍曼，同上书，第2卷，第107页（Pertz，Ⅱ，［1］，第55页）。

[21]《科学原理》（The Principles of Science，London 1879［3.Auflage］，S.156）。

[22]同上书，第2卷，vi，§2。

[23]《新论》（Nouveau Essais，Ⅳ，§9，（Erdm.S.362）

[24]引人注意的是，密尔（同上书，第2卷，第6章，§4）似乎也表达了这种观点。他那清醒的意识正好常常打破他赞同经验的偏见。但是这种偏见总是又把一切搞乱，因为这使他把算术的物理应用与算术本身混淆起来。他似乎不知道，即使条件不真，一个假言判断也可以是真的。