一些著作家关于数概念的看法

Ⅱ． 一些著作家关于数概念的看法

§18．当我们现在转而考虑算术的原初对象时，我们把3、4等等这些个别的数与数这个普遍概念区别开。现在我们已经决定同意这样的观点：最好以莱布尼兹、密尔、H.格拉斯曼和其他一些人的方式从一和加一得出个别的数，但是只要还没有解释一和加一，这些解释就还是不完整的。我们已经看到，人们需要普遍的句子，以便从这些定义推导出数公式。这样的规律恰恰由于其普遍性而不能从个别数的定义得出，而只能从数这个普遍概念得出。现在我们更精确地考虑这个概念。这里大概还必须讨论一和加一，因此还必须期待着补充对个别的数的定义。

§19．这里我要立即反对这样一种企图，即在几何学中把数理解为长度或平面的关系数。人们显然相信，通过一开始就确立算术和几何学的最密切的联系，有助于把算术应用于几何学。

牛顿^[1]认为，把数与其理解为一个单位集，不如理解为每一个量与另一个被看作单位的同类量之间的抽象关系。可以承认，这样就恰当地描述了广义的数，甚至也可以包括分数和无理数；但是在这种情况下就预先假设了量和量的关系的概念。由此看来，对狭义的数的解释，即对数的解释就不是多余的；因为欧几里得为了定义两个长度关系的相等，需要使用等倍这个概念；而等倍又回到数的相等。但是可能有这种情况：可以独立于数概念来定义长度关系的相等。然而在这种情况下，人们依然不清楚以这种几何学方式定义的数与日常生活中的数会是什么关系。后者与科学是完全脱离的。然而也许人们能够要求算术必须为数的每次应用提供出发点，即使这种应用本身不是算术的事情。甚至在日常计算中也一定会发现算术方法的科学根据。而且，如果人们考虑一个方程式的根这个数、素数和比素数更小的数以及类似情况，那么就会产生一个问题：算术本身以一个几何学的数概念够不够用。而对“多少”这个问题做出回答的数也能够确定一个长度包含多少单位。带有负数、分数、无理数的计算也能化归为带有自然数的计算。但是在数被定义为量的关系时，牛顿也许愿意把量不仅理解为几何学的量，而且理解为集合。然而在这种情况下，这种解释对于我们的目的是不适用的，因为在“借以确定一个集合的数”和“一个集合和集合单位的关系”这两个表达中，后一个并没有提供比前一个更多的信息。

§20．因此，第一个问题将是：数是否可以定义。汉克尔^[2]持反对意见，他说：“把一个实物考虑或放置1次、2次、3次……是什么意思，这是不能定义的，因为放置这一概念原则上很简单。”然而这里重要的是1次、2次、3次，而放置则不太重要。如果这可以定义，放置的不可定义性就不会令我们担心。莱布尼兹倾向于把数至少接近于看作是适当的理念，即看作是这样一个理念：它十分清晰，因而其中出现的所有东西也是清晰的。

如果总的来说人们更倾向于认为数是不可定义的，那么原因与其说在于从事物的存在本身得出相反的理由，不如说在于定义尝试的失败。