数是外在事物的性质吗

数是外在事物的性质吗？

§21．让我们尝试至少在我们的概念中为数指定一个位置！在语言中，数一般总以与硬的、重的、红的这些指外在事物性质的词相似的形容词形式或在相似的定语联系中出现。人们自然会问，是不是对个别的数也必须这样理解，是不是因此也能够把数这个概念与譬如颜色这个概念排列在一起。

这似乎是康托尔（M.Cantor）的看法^[3]，他称数学是一门经验科学，因为数学最初是考虑外在世界的事物。只是通过从对象的抽象，才形成了数。

施罗德认为，由于可以通过一来摹写单位，因此就可以按照现实构造数，从现实得出数。他把这称为数的抽象。在这种摹写过程中，描述单位只着眼于其频繁性，而不考虑对事物所有其它性质的规定，譬如颜色、形状。这里频繁性只是数的另一个表达。因此施罗德把频繁性或数与颜色和形状并列起来，把它看作事物的一种性质。

§22．鲍曼^[4]拒绝数是从外在事物得出的概念这种思想，“这是因为外在事物不向我们表现出任何严格的单位；它们向我们表现出一些分离的群或可感觉的点，但是我们可以任意把这些群或点本身又看作许多东西。”实际上，虽然我以纯粹的理解方式不能丝毫改变一事物的颜色或硬度，我却能够把伊利亚特理解为一首诗，理解为24章或理解为许多行诗。谈论一棵树有1000片叶子与谈论一棵树有绿叶子难道涵义不是完全不同的吗？我们赋予每片叶子绿色，而不是赋予每片叶子1000这个数。我们可以把这棵树的所有叶子都概括到它的树叶的名下。即使这树叶是绿的，1000也不是绿的。那么1000这种性质究竟属于谁呢？看上去，这几乎既不属于个别的叶子，也不属于叶子整体；也许它实际上根本就不属于外界事物？如果我给某个人一块石头并说：确定它的重量，那么我以此就把他要研究的全部对象给予他了。但是如果我把一叠牌放到他手里并说：确定它们的数，那么他就不知道，我想知道的是这些牌的张数，还是一副完整的牌的数，还是譬如玩斯卡特的牌点数。我把这叠牌放到他手里，以此还没有把他研究的对象全给他；我必须补充一个词：张、副或牌点。人们也不能说，这里不同的数就像不同的颜色一样并列存在。我可以指着一个个别的有颜色的平面而不说一句话，却不能这样指着个别的数。如果我能够有同样的理由称一个对象为绿的和红的，这就标志着，这个对象不是绿色的真正的承载者。只有在纯绿色的平面上，我才有这个对象。因此，一个我能够有同样理由赋予不同数的对象也不是数的真正的承载者。

因此，颜色和数之间的一种本质区别在于，一个平面上的蓝颜色不依赖于我们的任意理解。它是一种反射某种光线，或多或少吸收其它一些光线的能力，我们的理解丝毫无法改变它。相反，我不能说，1或100或其他任何一个数本身属于这叠牌，至多只能说，它们根据我们任意的理解方式属于这叠牌；这样我也就不能说，我们可以简单地将数作为谓词赋予它。我们要称为完整一副牌的，显然是一种任意的规定，这叠牌与此无关。但是当我们由此出发考察这叠牌时，我们也许发现，我们可以称它为两副完整的牌。谁若是不知道什么叫作一副完整的牌，谁大概就会从这叠牌发现任何一个别的数，却恰恰不是二。

§23．对于数作为性质属于谁这个问题，密尔是这样回答的^[5]：

“一个数的名字表示一种性质，这种性质属于我们用这个名字称谓的事物的聚集；而且这种性质是这种能够形成聚集或分解为部分的独特方式。”

在这段话中，首先“这种……独特方式”（die charakteristische Weise）这个表达式中的定冠词是错误的；因为分解一种聚集可以有极其不同的方式，人们不能说仅一种方式就会是独特的。例如，一捆稻草可以这样分解——把每一根稻草切断，或这样分解——分成一根根稻草，或这样分解——分成两捆稻草。那么一堆一百粒的沙子是像一捆100根的稻草那样构成的吗？然而人们这里仍然有相同的数。在“一捆稻草”这个表达中，数词“一”确实没有表达出稻草是如何由细胞或由分子构成的。0这个数还要造成更大的困难。难道必须由一根根稻草形成一捆之后才能够数一数吗？难道必须使全德国的盲人聚集在一起“德国盲人数”这个表达才有意义吗？一千颗麦粒在播种下之后就不再是一千颗麦粒了吗？确实有定理的证明的聚集或事件的聚集吗？然而这些也是可以数的。在这里，这些事件是同时发生的还是相隔了一千年，都是无关紧要的。

§24．这样我们就达到另一种不把数与颜色和强度并列在一起的理由：数适用于更大的范围。

密尔^[6]认为，由部分构成的东西，是由这些部分的部分构成的，这个真命题对所有自然现象都是有效的，因为所有自然现象都是可数的。但是难道不能有更多可数的吗？洛克^[7]说：“数适用于人、天使、行为、思想——一切确实存在或能够被想象的东西。”莱布尼兹^[8]拒斥了经院哲学家关于数不适用于非物质东西的看法，称数在一定程度上是一种非物质形象，这种形象是由任何一些种类东西统一形成的，这些东西总共为四，如上帝、天使、人、运动。因此他认为，数是十分普遍的东西并且属于形而上学。在另一处^[9]他说：“没有力量和能力的，不会得到重视；没有部分的，也就没有质量；但是没有任何不容纳数的东西。因此数仿佛是一种形而上学形象。”

如果一种从外在的东西抽象出来的性质能够转变为事件、表象、概念，而不发生意义变化，这实际上是不可思议的，就好像人们想谈论一个可融解的事件，一种蓝色表象，一个咸概念，一个坚韧的判断一样。

在没有感觉的东西身上出现按其本性是有感觉的东西，这是荒唐的事情。当我们看到一块蓝色平面时，我们有一种相应于“蓝色的”这个词的独特印象；而当另一块蓝色平面映入我们眼帘时，我们重新认出这种印象。如果我们要假定，在看到一个三角形时，某种有感觉的东西会以同样的方式相应于“三”这个词，那么我们必然会在三个概念上也重新发现这种情况；在某种没有感觉的东西身上就会有某种有感觉的东西。也许可以承认，相应于“三角形的”这个词有一种可感觉的印象，但是这里必须把这个词看作一个整体。其中的三，我们不是直接看到的；相反，我们看到某种能够与精神活动联系在一起的东西，这种精神活动导致一个其中出现了这个数的判断。那么我们凭什么感觉譬如亚里士多德建立的三段论的格的数呢？譬如以眼睛吗？我们至多看到表达这些三段论的格的符号，而没看到这些三段论的格本身。如果它们本身依然是无法看到的，那么我们如何能够看到它们的数呢？但是也许人们认为看到符号就足够了；符号的数与三段论的格的数是相等的。那么这是从哪里知道的呢？为此人们必须已经以其它方式真正确定了三段论的格的数。或者，“三段论的格的数是四”这个句子仅仅是“三段论的格的符号数是四”的另一种表达吗？不！假如符号的性质没有同样表现出符号表达之物的性质，就不会表达出任何有关符号的东西，谁也就别想知道有关符号的任何东西。由于相同的东西可以没有逻辑错误地以不同的符号表示，因此符号的数与符号表达之物的数甚至不必吻合。

§25．对密尔而言，数是某种物理的东西，而对洛克和莱布尼兹来说，数却只存在于观念之中。实际上，正像密尔^[10]所说，两个苹果与三个苹果是物理上不同的，两匹马与一匹马是物理上不同的，它们是可看见的和可触摸的不同的现象。^[11]但是由此能够推论出二性、三性是物理东西吗？一双靴子可以是与两只靴子相同的可看见和可触摸的现象。这里我们有一种数的区别，没有物理的区别与它相对应；因为两只和一双绝不是相同的东西，正像密尔似乎有些古怪地相信的那样。那么最终如何能够对两个概念与三个概念做出物理上的区别呢？

贝克莱是这样说的^[12]：“应该看到，数绝不是在事物本身实际存在的固定和确定的东西。当心灵考虑一个观念本身或一些观念的组合，而心灵想要为之命名，从而使之适合一个单位时，数完全是心灵的创造。随着心灵以不同方式组合其观念，单位发生变化，而且正像单位发生变化一样，仅仅是单位聚合的数也发生变化。一个窗户＝1；一间有许多窗户的房屋＝1；许多房屋构成一个城市。”