单位是否彼此相等

单位是否彼此相等？

§34．因此各种解释“一”这种性质的企图都没有成功，而且我们大概必须放弃这样的观点：在把事物表示为单位时，必须有进一步的规定。我们又回到我们的问题：如果“单位”只是事物的另一个名字，如果所有事物都是单位或者可以被理解为单位，那么为什么称事物为单位呢？施罗德^[9]提出归于计数物体的相等作为理由。首先看不出为什么“事物”和“对象”不能同样清楚地表示这一点。然后还有这样的问题，为什么把相等归于计数对象？是只把相等归于计数对象，还是对象真是相等的？无论如何绝没有两个对象是完全相等的。另一方面，人们也许几乎总能找出两个对象一致的方面。因此，如果我们不愿违背真而把超出适合事物的相等归于事物，我们就又回到任意的理解。实际上，许多著作家毫无保留地把单位称为相等的。霍布斯^[10]说：“绝对地说，在数学中，数自身假设了那些它们借以形成的相等的单位。”休谟^[11]认为量和数的组成部分是完全类似的。托迈^[12]称一个集合的个体为单位，他说：“单位彼此是相等的。”人们可以同样有理由或者更正确地说：“集合的个体彼此是不同的。那么这种所谓的相等对于数来说应该意谓什么呢？借以区别事物的性质，对于事物的数来说是某种无关紧要和陌生的东西。因此人们要避开它们。但是以这种方式无法做到这一点。如果人们像托迈要求的那样，“从一个实物集的个体的独特性进行抽象”，或者“在考虑分离的事物时不看借以区别事物的标志”，那么正像利普希兹认为的那样，没有留下“被考虑事物的数这个概念”，相反，人们得到一个普遍概念，考虑的那些事物就处于这个概念之下。这些事物并不因此丧失任何具有特殊性的东西。例如，如果我在考虑一只白猫和一只黑猫时不看它们借以相互区别的性质，那么我就可能得到“猫”这个概念。即使我现在把这两只猫置于这个概念之下，譬如把它们称为单位，这只白猫依然还是白的，这只黑猫依然还是黑的。即便是我不考虑颜色或决心不从颜色差异进行任何推论，这两只猫也不会变得没有颜色，它们依然像以前那样是不同的。通过抽象得到的“猫”这个概念，尽管不再含有那些特殊性，但是正因为如此它才仅仅是一。

§35．以纯概念的处理方式不能使不同的事物相等；但是如果能够做到这一点，人们就不会再有一些事物，而是只有一个事物；因为正像笛卡尔^[13]所说，事物的数——或更恰当地说，复数——是由事物的区别产生的。E.施罗德^[14]正确地断言：“只有在存在着相互间可以得到清晰的区别（譬如在空间和时间上分离开并且相互间界限分明）的对象的地方，才能以理性的方式提出计数事物的要求。”实际上，过于相似，譬如一个栅栏的栏杆的过于相似，有时使计数变得很难。在这种意义上，W.S.杰芬斯^[15]特别尖锐地指出：“数只是表示差异的另一个名字。严格的同一就是单位，随着差异产生多。”他还说（S.157）：“人们常说，单位就是单位，只要它们彼此是完全相等的；但是，尽管它们在一些方面可能是完全相等的，它们至少在一点上必然是不同的；否则多这个概念就不能应用于它们。如果三枚硬币完全相等，以致它们在相同的时间占据相同的空间，那么它们就不会是三枚硬币，而是一枚硬币。”

§36．但是不久就表明，关于单位是不同的这样一种观点遇到了新的困难。杰芬斯解释说：“一个单位（unit）是思维的任何一个对象，这个对象能够与在同一个问题中被看作是单位的其它每一个对象区别开。”这里，单位通过自身被解释，“能够与……其它每一个对象区别开”这个补充说明不含有任何进一步的规定，因为它是自明的。我们称这个对象为另一个对象，恰恰只是因为我们从一开始就能够区别它。杰芬斯继续说^[16]：“当我写下5这个符号时，我实际是意谓

1＋1＋1＋1＋1，

而且完全清楚，这些单位各个相互不同。如果需要，我可以如下标志它们：

如果它们是不同的，那么肯定需要以不同的方式表示它们；否则就会产生最严重的混淆。如果出现一的这个不同的位置其实应该意谓一种差异，那么一定会把这当作没有例外的规则，因为否则人们就会无法知道，1＋1应该意谓2还是意谓1。在这种情况下，人们一定会抛弃1＋1这个等式并且会陷入绝不能第二次表示相同事物的窘境。这显然不行。但是如果人们想给予不同事物以不同的符号，那么就看不出人们为什么在这些符号中还留有一种共同的成分，人们为什么不愿意抛弃

而写

a＋b＋c＋d＋e。

现在确实已经失去相等，而且对一定的相似性的说明也毫无用处。就这样，一在我们手中化为乌有；我们得到带有其一切特殊性的对象。

这些符号生动地表达了下面这种窘境：我们必须有相等；因此必须有1；我们必须有差异；因此必须有小撇，不过遗憾的是，这些小撇又扬弃了相等。

§37．在其他著作家那里，我们遇到相同的困难。洛克^[17]说：“通过重复一个单位这个观念并且把这个观念加到另一个单位上，这样我们就构成一个以‘二’这个词表示的集合观念。而且，谁能这样做并能继续做下去，在他关于一个数的最后一个集合观念上总是再加一，并且能给它一个名字，谁就能够计数。”莱布尼兹^[18]把数定义为1加1加1，或定义为单位。黑塞（Hesse）^[19]说：“如果人们关于代数中以符号1表达的这个单位能够形成一个表象，……那么人们也能考虑第二个有同等权利的单位以及其他这一类单位。第二个单位与第一个单位结合成为一个整体，产生了2这个数。”

这里应该注意“单位”和“一”这两个词的意谓的相互关系。莱布尼兹把单位理解为一个概念，一加一加一加一处于这个概念之下，正像他还说的那样：“一的抽象是单位。”洛克和黑塞似乎用单位和一意谓相同的东西。其实莱布尼兹也正是这样做的；因为当他把处于单位这个概念之下的个别对象都称为一时，他用这个词表示的不是个别对象，而是个别对象处其之下的概念。

§38．然而为了不使混乱蔓延，最好在单位和一之间保持严格的区别。人们说“一这个数”（“die Zahl Eins”）并且以这里的定冠词意谓科学研究的一个确定的唯一的对象。没有不同的数一，而是只有一个。我们以1得到一个专名，作为一个专名，它不能有复数，就像“腓特烈大帝”或“金这个化学元素”一样。人们写1没有笔划区别，这不是偶然的，也不是一种不精确的标记方式。对于

3－2＝1

这个等式，St.杰芬斯会重写为譬如：

但是，

的结果会是什么呢？无论如何不是1′。由此可见，根据他的观点，不仅会有不同的一，而且会有不同的二，如此等等；因为不能由替代。人们由此清晰地看出，数不是事物的累积。如果想用不同的事物取代总是相同的一，那么即使是用十分相似的符号，也会取消算术；这些符号甚至不可能是毫无错误地相同的。然而人们不能假定，算术最根本需要的是一种有错误的书写。因此不可能把1看作是表示不同对象譬如冰岛、毕宿五、梭伦等等的符号。当人们考虑一个方程式有三个根，即2、5和4这种情况时，这种荒谬就变得最为明显。如果现在按照杰芬斯写出

表示3，在这种情况下，如果把理解为单位，因而按照杰芬斯把它们理解为这里出现的思维的对象，那么在这里就会是1′意谓2，1″意谓意谓4。那么写下

2＋5＋4

表示难道不是更明白吗？

复数仅对于概念词才是可能的。因此，如果人们谈到“（一些）单位（Einheiten）”，那么使用这个词就不能与“一”这个专名有相同的意谓，而是用它作为概念词。如果“单位”意谓“被计数的对象”，那么就不能把数定义为（一些）单位。如果人们把“单位”理解为包含一并且只包含一的概念，那么复数就没有意义，而且也不可能随莱布尼兹把数定义为单位或定义为1加1加1。如果像在《本生和教堂墓地》中那样使用“加”^[20]，那么1加1加1就不是3，而是1，就像金子加金子加金子绝不是不同于金子的东西。因此，必须把

1＋1＋1＝3

中的加法符号理解为与“加”不同的东西，“加”帮助人们表达一种汇集，一种“集合的观念”。

§39．因此我们面临着下面的困难：

如果我们想通过不同对象的结合而形成数，我们就得到一种包含着这样一些对象的聚集，这些对象恰恰带有使它们相互区别的性质；而且这并不是数。另一方面，如果我们想通过把相同的东西结合在一起而建立数，那么这总是汇合成为一，我们绝达不到多。

如果我们用1表示每个被计数对象，这就是错误的，因为不同的东西得到了相同的符号。如果我们为1加上区别的笔划，它对于算术就成了无法应用的。

“单位”这个词非常适合于掩盖这个困难；而且这是人们不喜欢“对象”和“事物”这些词而更喜欢它的——甚至还是无意识的——原因。人们首先把被计数事物称为单位，这里差异保持其合法地位；然后，联结、汇集、结合、添加或像人们愿意使用的其他说法，转变为算术加法这个概念，而“单位”这个概念词不知不觉地变成“一”这个专名。这样人们就有了相等。如果我在u这个字母后面添加一个n，并在n后面添加一个d，那么谁都很容易看出，这不是3这个数。但是如果我把u、n和d置于“单位”这个概念之下，然后不说“u和n和d”，而说“一个单位和一个单位再和一个单位”或“1和1和1”，那么人们以此很容易相信得到了3。困难通过“单位”这个词十分巧妙地隐蔽起来，以致知道这困难存在的人确实寥寥无几。

这里，密尔其实有权批评对语言的一种高超运用；因为这里的语言运用不是一种思维过程的外在现象，而只是这样一种过程的假象。这里人们实际上有一种印象，好像如果不同的东西仅仅由于被称为单位就变成相等的，那么毫无思想的词就被赋予了某种神秘的力量。