克服这个困难的尝试

克服这个困难的尝试

§40．现在我们考察几种解释，这些解释表现出人们试图克服这个困难，尽管人们在进行这些解释时并没有始终清楚地意识到这一目的。

人们可以首先借助时间和空间的性质。就其自身考虑，一个空间点与另一个空间点，一条直线与另一条直线，或者一个平面与另一个平面，是根本不能区别的，全等的立体、面积或线段相互之间是根本不能区别的。它们只有作为一种总体直觉的组成部分共同存在时，才能得到区别。因此在这里，似乎相等与可区别性结合起来，类似的情况也适合于时间。霍布斯^[21]大概是由此认为，几乎不能想象，单位的相等竟不是通过连续统的划分而形成的。托迈^[22]说：“如果人们想象空间中个体或单位的一个集合，并且连续数这些个体或单位，对此时间又是必要的，那么在抽象过程中，依然要留下这些单位在空间中的不同位置及在时间中不同的相继次序作为单位的区别标志。”

对于这样一种理解方式首先产生了以下异议：如果这样，可计数的东西就会仅限于空间的东西和时间的东西。莱布尼兹^[23]就已经批驳了经院学家下面这种观点：数是由仅仅对连续统的划分而形成的，不能用于非物体的东西。鲍曼^[24]强调不依赖于数和时间的性质。即使没有时间，单位这个概念也是可以想象的。杰芬斯^[25]说：“三枚硬币就是三枚硬币，无论我们是一个接一个地数它们，还是同时考虑它们。在许多情况下，时间和空间都不是差异的理由，而只有质是差异的理由。我们可以把金子的重量、惯性和硬度理解为三种性质，尽管它们在时间和空间中任何一个也不在另一个之前，任何一个也不在另一个之后。进行区别的各种方法都能成为多的来源。”我要补充说：如果被计数的对象不是实际上一个跟着一个，而仅仅是一个跟着一个被计数，那么时间就不能是进行区别的理由。因为，为了能够一个接一个地计数它们，我们必须已经有用以区别的记号。时间只是计数的一种心理要求，与数这个概念却没有任何关系。如果人们允许以空间或时间点来表现非空间和非时间的对象，那么这对计数的解释也许能够有好处；但是从根本上说，这里预先假设了数概念可以应用于非空间和非时间的东西。

§41．但是，如果除了空间和时间记号以外，我们不考虑任何用以区别的记号，那么确实将达到把可区别性和相等结合起来的目的吗？不！我们一步也没有接近这个问题的解决。如果对象最终必须保持相互分离，那么对象之间或多或少的相似与问题就毫无关系。正像我在考虑几何学问题时不能把个别的点、线等等都称为A，我在这里同样不能都用1来表示它们；因为同在那里一样，这里也必须区别它们。只有就空间点自身而言，不考虑它们的空间关系，空间点彼此才是相等的。但是如果我把它们结合起来，我就必须依据它们在空间中的共同存在考虑它们，否则它们就会无可挽回地融合为一。点在整体上也许表现为任何一个星座式的形象或者以任何一种方式排列为一条直线，一些相等的线段也许以端点相接构成一个单一的线段，或者它们保持相互分离。以这种方式形成的图像对于同一个数可能是完全不同的。因此我们在这里可能也会有不同的五、六等等。时间点由或长或短、或同或异的间隔分离开。所有这些都是一些与数本身根本无关的关系。到处都混入了某种特殊的东西，数则因其普遍性而远远超越这些特殊的东西。甚至一个单一的时刻也有某种独特的东西，这个时刻以这种独特性譬如与另一个空间点区别开来，而在数概念中却不出现任何与此有关的东西。

§42．以一个普遍的序列概念替代空间和时间次序来寻求出路，也不能实现目的；因为序列中的位置不成为区别对象的根据，这是由于这些对象必然已经根据某些标准得到区别，才能在一个序列中依次排列。这样一种次序总是以对象之间的关系为前提，无论是空间关系、时间关系、逻辑关系或音程关系，还是其它这样一些关系，它们可以引导人们从一个对象到另一个对象，并必然与这些对象的区别联系在一起。

当汉克尔^[26]要求1次、2次、3次考虑或提出一个物体时，似乎也是企图在被计数对象上将可区别性与相等结合起来。但是人们也立即看出，这并不是成功的尝试。因为同一个对象的这些表象或直觉若是不融合为一，必然有这样或那样的不同。我也认为，人们有理由谈论4500万德国人，而不用先4500万次考虑或提出普通的德国人；这可能是很麻烦的事情。

§43．也许是为了避免当人们随杰芬斯一起使每个符号1都意谓被计数对象中的一个时产生的这些困难，E.施罗德要以1仅描述一个对象。结果，他只解释了数符号，而没有解释数。他是这样说的^[27]：“现在为了得到一个能够表达存在多少那样的单位^[28]的符号，人们按顺序一次注意它们之中的一个，并且用一划“1”（一个一）来描述它；人们把这个一一个接一个地排一行，通过＋（加）这个符号把它们相互联结起来，因为若不这样，根据数的习惯标记方式会把譬如111读作一百一十一。人们以这种方式得到

1＋1＋1＋1＋1

这样的符号，人们可以通过以下说法描述这个复合构成：

“一个自然数是诸一之和”。

由此看出，对于施罗德来说，数是一个符号。他以“存在多少那样的单位”这几个字把符号表达的东西、即我至此一直称为数的东西，假设为已知的。他甚至把“一”这个词理解为1这个符号，而不是它的意谓。＋这个符号对他来说首先只起没有自己的内涵的外在联结手段的作用；直到后来加法才得到解释。他本来也许可以更简要地说：人们有多少被计数的对象，就并列地写多少符号1，并且用＋这个符号把它们结合起来。不写下任何东西，将会表示零。

§44．为了不把事物的区别记号一并收入到数中来，杰芬斯^[29]说：

“关于数的抽象，现在将不难形成一种清晰的表象。它就在于抽象掉产生多的差异特征，同时只保留差异的存在。当我谈论三个男人时，我不必立即逐个说明能够使其中每个人与其他两个人区别开来的标记。如果他们真是三个男人而不是同一个男人，这些特征就必然存在，而且当我把它们作为多个人谈论时，我以此也陈述了必要差异的存在。因此，无名数是差异的空的形式。”

应该如何理解这一点？要么可以在把区别事物的性质结合成为一个整体之前抽象掉它们；要么可以先构造一个整体，然后抽象掉这种差异。以第一种方式我们根本不会达到对事物的区别，因而也不能确定差异的存在；杰芬斯想的似乎是第二种方式。但是我不相信，我们以这种方式会获得10000这个数，因为我们没有能力同时把握这么多差异并且确定它们的存在；因为，如果它们会相继出现，那么数就会变得没完没了。尽管我们在时间中计数；但是通过时间我们却得不到数，我们只能确定它。此外，对抽象方式进行说明并不是定义。

应该把“差异的空的形式”理解为什么呢？譬如是理解为

“a是与b不同的”

（这里a和b依然是不确定的）这样一个句子吗？这个句子会是譬如2这个数吗？

“地球有两极”

这个句子与

“北极与南极是不同的”

这个句子具有相同的意谓吗？显然不是。第二个句子可以没有第一个句子而存在，第一个句子也可以没有第二个句子而存在。因此对于1000这个数，我们就会有

这样的表达差异的句子。

杰芬斯的论述尤其不适合0和1。例如，为了从月亮达到1这个数，人们实际上应该抽象掉什么呢？通过抽象人们也许会得到下面这些概念：地球的伴星、一颗行星的伴星、自己不发光的天体、天体、物体、对象；但是在这个序列中不能出现1；因为它不是月亮可以处其之下的概念。在0的情况，人们根本就不能有抽象过程可由之出发的对象。0和1不是在2和3那种意义上的数，对此人们并不反对！数回答“多少？”这个问题。例如当人们问这颗行星有多少颗卫星时，人们可能回答说2或3，同样也可能回答说0或1，而这个问题的意义却不会变成其它样子。尽管0这个数有某种特殊的东西，1这个数也有某种特殊的东西，但是每个整数基本上都是如此；只不过数越大，越注意不到罢了。这里做出种类的区别，完全是任意的。不适合0或1的，对于数这个概念就不能是本质的。

最后，通过假定数的这种形成方式根本没有消除我们在考虑以

表示5时所遇到的困难。这种写法与杰芬斯关于构造数的抽象所说的完全一致；即上方的小撇表示存在一种差异，却没有说明它们的种类。但是正像我们看到的那样，依据杰芬斯的观点，仅这种差异的存在就足以产生不同的一、二、三，而这与算术的存在是完全不相容的。