每个个别的数都是一个独立的对象

每个个别的数都是一个独立的对象

§55．在我们认识到数的给出包含着对一个概念的陈述之后，我们可以尝试以0的定义和1的定义来补充莱布尼兹对个别数的定义。

人们很容易解释说：如果没有对象处于一个概念之下，那么0这个数就属于这个概念。但是这里似乎是具有相同意谓的“没有”替代了0；因此下面的说法更好一些：无论a是什么，如果a不处于一个概念之下这个句子是普遍有效的，那么0这个数就属于这个概念。

人们能够以类似的方式说：无论a是什么，如果a不处于一个概念之下这个句子不是普遍有效的，并且如果从

“a处于F之下”和“b处于F之下”

这两个句子普遍地得出a和b相同，那么1这个数就属于F这个概念。

现在还需要普遍地解释从一个数到后继数的过渡。我们试图作如下表述：如果存在一个对象a，它处于概念F之下并且具有这样的性质，使得n这个数属于“处于F之下，但不是a”这个概念，那么（n＋1）这个数就属于F这个概念。

§56．根据我们至此得出的结果，这些解释显得极其随意，因而需要说明为什么它们不能令我们满意。

最后一个定义最容易引起怀疑，因为严格地说，在我们看来，“n这个数属于G这个概念”这个表达式的意义就像“（n＋1）这个数属于F这个概念”这个表达式的意义一样是未知的。尽管我们能够借助这两个解释说明

“1＋1这个数属于F这个概念”

意谓什么，然后我们利用这一点说明

“1＋1＋1这个数属于F这个概念”

这个表达式的意义，等等；但是我们绝不能——为了给出一个极端的例子——通过我们的定义来判定，凯撒大帝这个数是否属于一个概念，这位著名的高卢征服者是不是一个数。此外，借助我们尝试的解释我们不能证明，如果a这个数属于F这个概念，而且如果b这个数也属于这个概念，那么必然a＝b。因此，“属于F这个概念的这个数”这个表达式不会被证明是正确的，由此也根本不能证明数的相等，因为我们根本不能把握一个确定的数。我们已经解释了0、1，这只是假象；实际上我们只确定了

“0这个数属于”

“1这个数属于”

这些谈论方式的意义；但是不允许在这里把0、1作为独立的、可重认的对象进行区别。

§57．现在应该更清楚地考虑“数的给出包含着对一个概念的表述”这个表达式的涵义。在“0这个数属于F这个概念”这个句子中，如果我们把F这个概念看作实实在在的主词，那么0只是谓词的一部分。因此我避免把像0、1、2这样的数叫作概念的性质。恰恰由于个别的数只构成表述的一部分，因而它们表现为独立的对象。我在上文已提请人们注意，人们说“1这个数”并由定冠词把1表达成对象。这种独立性在算术中比比皆是，例如在1＋1＝2这个算式中。在我们看来，这里重要的是应该像在科学中可以应用的那样把握数概念，因此，我们不应受到数在日常语言使用中也表现为定语这一现象的妨碍。这总是可以避免的。例如，人们可以把“木星有四颗卫星”这个句子转化为“木星的卫星数是四”。这里不能把“是”看作像“天是蓝的”这个句子中那样的纯粹连词。这是因为人们可以说：“木星的卫星数是四”或“是4这个数”。这里，“是”具有“是与……相等的”、“是与……同一的”的意义。因此我们有一个算式，它断定“木星的卫星数”这一表达式与“四”这个词表示相同的对象。而且这种等式形式是算术中的主要形式。“四”这个词不包含任何关于木星或卫星的东西，这一点与上面的观点并不相悖。甚至“哥伦布”这个名字中也没有任何关于发现或美洲的东西，尽管如此，这同一个人仍被叫作哥伦布和美洲的发现者。

§58．人们可能会反对说，我们根本不能像形成某种独立事物的表象一样形成关于我们称之为四或木星的卫星数这样的对象的表象。^[1]但是这不应归咎于我们给予数的这种独立性。尽管人们很容易相信，在一个骰子的四点这一表象中出现某种与“四”这个词相应的东西；但这是一种假象。人们考虑一片绿色的草坪（eine grüne Wiese），并尝试用“一”（Ein）这个数词替代这个不定冠词，看表象是否发生变化。这并不增加任何东西，而表象中确实有某种与“绿色的”这个词相应的东西。当人们想象“Gold”（“金子”）这个印刷出来的词时，人们首先想到的并不是数。如果人们现在考虑这个词由几个字母组成，那么就产生4这个数；但是这个表象由此并没有变得更明确，而是可以完全没有变化。“‘Gold’（金子）这个词的字母”这个附加概念正是我们发现数的地方。在一个骰子的四点这种情况，问题有些隐蔽，因为这个概念通过点的相似性直接强加给我们，以致我们几乎注意不到它在这中间出现。数既不能被想象为独立的对象，也不能被想象为外在事物的性质，因为数既不是某种可感觉的东西，也不是外在事物的性质。也许在0这个数上问题最清楚。企图想象0个可见的星星，将是徒劳的。尽管人们可以考虑布满云层的天空，但是这里没有任何与“星星”这个词或0相应的东西。人们仅仅想象了一种事态，它能够引起下面这个判断：现在任何星星也看不见。

§59．也许每个词都能唤起我们的某一种表象，甚至像“仅仅”这样一个词也能唤起我们的某种表象；但是这种表象不必相应于这个词的内涵；它在别人那里可以是完全不同的。因此人们大概会想象这样一种事态，它要求一个含有这个词的句子；或者可能出现这样的情况，说出的词使人们记忆起写下的词。

这不仅发生在冠词的情况。我们没有关于我们与太阳距离的表象，大概是毫无疑问的。因为，即使我们知道必须把一把量尺复制多少次的规则，依据这一规则为我们勾画一副蓝图的任何努力依然是徒劳的，哪怕这蓝图只是有些接近我们企望的东西。但是，这并没有理由令人怀疑发现这一距离所依据的计算的正确性，也绝不会阻碍我们基于这一距离的存在做出进一步推论。

§60．甚至像地球这样一个十分具体的东西，我们也不能形成一种如同我们已经知道的实际那样的表象；相反，我们满足于一个大小适中的球体，我们把它看作是地球的标志；但是我们知道，这个球体与地球极不相同。这样，尽管常常根本不出现我们关于我们企望的东西的表象，可是我们仍然极其肯定地对一个像地球这样的对象做出判断，即使所考虑的是地球体积。

通过思维我们甚至常常超出可以形成表象的东西之外，而不因此失去我们推论的基础。对于我们人类来说，没有表象，思维似乎就是不可能的，即使如此，表象和被思考的东西的联系可以是完全表面的，任意的和习惯的。

因此，对一个词的内涵无法形成表象，并不是否定一个词的意谓或排除这个词的使用的理由。这种对立的现象大概是这样形成的：我们个别地考虑语词，询问它们的意谓，然后我们把一个表象看作它们的意谓。因此对于一个词我们内心若是没有一个相应的图像，这个词似乎就没有内涵。但是人们必须总是考虑完整的句子。实际上只有在完整的句子中词才有意谓。这时我们的头脑中可能出现的一些内在图像不必相应于判断中的逻辑成份。如果句子作为整体有一个意义，就足够了；这样句子的诸部分也就得到它们的内涵。

我觉得，这一认识有益于揭示许多困难的概念，譬如无穷小这个概念，^[2]它的影响可能不限于数学领域。

我要求的数的那种独立性不应该意谓数词脱离句子联系而表示某种东西。相反，我仅仅是要以此排除把数词用作谓词或定语，因为这样的用法会多少改变它的意谓。

§61．但是，人们也许会反对说，即使地球实际上是不可想象的，它依然是一个外在事物，有一个确定的位置；但是4这个数在哪里呢？它既不在我们之外，也不在我们之内。这在空间的意义上理解是正确的。确定4这个数的空间规定是没有意义的；但是由此只得出它不是一个空间对象，却得不出它根本就不是一个对象。并非每个对象都存在于某个地方。即使我们的表象^[3]在这种意义上也不在我们的内在部分（皮下）。我们的内在部分是神经节细胞、血细胞等诸如此类之物，而不是表象。空间谓词不能应用于表象：一个表象既不在另一个表象的左边，也不在它的右边；表象相互之间没有可以用毫米标出的距离。如果尽管如此我们仍然要说表象在我们的内在部分，那么我们是想以此把它们表示成主观的东西。

但是即使主观的东西没有位置，可4这个客观的数怎么会不在任何地方呢？现在我要说，这里根本没有矛盾。对于每个和4这个数打交道的人来说，4实际都是完全一样的；但是这与空间性没有任何关系。并非每个客观的对象都有一个空间位置。