为了获得数这个概念，必须确定数相等的意义

为了获得数这个概念，必须确定数相等的意义

§62．如果我们不能有关于数的表象或直觉，我们怎么才能得到一个数呢？语词只有在句子联系中才意谓某种东西。因此重要的是说明含有一个数词的句子的意义。暂时这仍然有很大的任意性。但是我们已经确定，应该把数词理解为独立的对象。以此我们得到一类必然有意义的句子，即表达出重认的句子。如果我们认为a这个符号应该表示一个对象，那么我们必须有一个记号；它使我们到处都可以判定，b是不是与a相同，即使我们并非总能应用这个记号。在目前的情况下，我们必须解释

“属于F这个概念的这个数，与属于G这个概念的那个数相同”

这个句子的意义；就是说，我们必须以另一种方式复述这个句子的内容，同时不使用

“属于F这个概念的这个数”

这个表达式。以此我们给出一种表示数相等的普遍记号。在我们这样获得一种把握一个确定的数和重新认出它是相同的数的手段之后，我们就能够把一个数词给予这个数作为它的专名。

§63．休谟就已经提到这样一种手段：^[4]“如果两个数以某种方式结合起来，使得一个数总有一个单位，这个单位相应于另一个数的每个单位，我们就说它们是相等的。”数的相等必须借助一一对应来定义，这种观点近年来似乎普遍为数学家们所接受。^[5]但是这首先产生一些逻辑方面的疑问和困难，我们不能不加检验地放过这些疑问和困难。

相等关系不仅仅在数中出现。由此似乎得出，不应该把它解释为专属于数的情况。人们可能认为，相等这个概念先已确定，这样不需要再加上一个专门的定义，就能从相等和数概念必然得出：什么时候数是彼此相等的。

针对这一点应该注意，对我们来说，数这个概念尚不确定，只有经过我们的解释才能成为确定的。我们的目的是构造一种判断的内容，这种判断可以被看作这样一个等式，它的每一边都是一个数。因此我们不想专为这种情况解释相等，而想用已知的这个相等概念获得被看作是相等的东西。当然，看上去这是一种非常奇特的定义，大概还没有得到逻辑学家足够的重视；但是一些例子可以说明，这不是前所未闻的。

§64.“线a与线b平行”这个判断用符号表示：

a//b，

可以被看作等式。如果我们这样做，我们就得到方向的概念，我们说：“线a的方向与线b的方向相等。”因此，我们把第一个判断的特殊的内容分派到a和b上，由此用“＝”这个更普遍的符号取代了“//”这个符号。我们以与原初方式不同的方式分解了内容，并且由此得到一个新概念。当然，人们对这个问题的看法常常与此相反，许多教师定义说：平行线是具有相同方向的线。在这种情况下，“如果两条直线与第三条直线平行，它们就相互平行”这个句子就能够诉诸类似表达的相等句子轻易得到证明。只可惜，这样做歪曲了事实真相！因为所有几何的东西最初必然是直观的。现在我问，某人是否有关于一条直线的方向的直觉。一定是关于直线的！但是在关于这条直线的直觉中还要区别出直线的方向吗？很难！只有通过一种紧接着直觉发生的心灵活动才会发现这个概念。另一方面，人们有关于平行线的表象。只有以一种不正当的方式，即通过使用“方向”这个词来假设欲证的东西，才能形成上述那种证明；因为如果“如果两条直线与第三条直线平行，它们就相互平行”这个句子是不正确的，就不能把a//b转变为一个等式。

以这种方式从平面的平行可以得到一个与直线情况中方向的概念相应的概念。我见过用“位置”这个名字表示它。形状这个概念来自几何相似性，譬如，人们不说“这两个三角形是相似的”，而说：“这两个三角形具有相同形状”或“其中一个三角形的形状与另一个三角形的形状是相等的。”以这种方式人们也可以从几何图形的共线关系得到一个大概还没有名字的概念。

§65．现在，为了譬如从平行^[6]达到方向这一概念，我们尝试下面的定义：

“线a与线b平行”

这个句子与

“线a的方向与线b的方向相等”的意谓相同。

这一解释偏离了人们习惯的情况，因为它表面上是确定了这种已知的相等关系，而实际上却是要引入“线a的方向”这个只是附带出现的表达。由此产生了第二种疑问，我们由于这样一条规定会不会与著名的同一律发生矛盾。哪些是同一律呢？作为分析的真命题，它们能够从概念本身产生出来。而莱布尼兹^[7]是这样定义的：

“Eedem sunt，quorum unum potest substitui alteri salva veritate”.（“能够用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的”。）

我借用这一解释表示相等。人们是否像莱布尼兹那样说“相同的”或说“相等的”，这无关紧要。尽管“相同的”似乎表达一种完全的一致，而“相等的”只表达在这方面或那方面的一致；但是人们可以采取一种消除这种区别的谈论方式，例如，人们不说“这些线段在长度上相等”，而说“这些线段的长度是相等的”或“相同的”，不说“这些平面在颜色上相等”，而说“这些平面的颜色是相等的”。而且我们在上面那些例子中就是这样使用这个词的。现在，在普遍可替代性中实际上包含着所有同一律。

为了证明我们尝试的直线方向的定义是正确的，我们就必须表明，如果直线a与直线b是平行的，就能够处处以

b的方向

替代

a的方向。

这可以简化，因为关于一条直线的方向，人们最初只知道这样一个命题：它与另一条直线的方向一致。因此我们只需要在这样一种相等的情况下，或在将会含有这样的相等作为构成因素^[8]的内容的情况下证明可替代性。关于方向的所有其它命题都必须首先得到解释，而且对于这些定义我们可以规定：必须保证可以用一条直线的平行线的方向替代这条直线的方向。

§66．但是，针对我们尝试的定义还产生第三种疑问。在

“a的这个方向与b的这个方向相同”

这个句子中，a的方向作为对象^[9]出现：而且我们以我们的定义获得重认这一对象的一种手段，譬如当它可能以另一种面貌作为b的方向出现的时候。但是对于所有情况来说，这种手段还不够用。例如，人们根据它不能判定英国与地轴的方向是不是相同的。请原谅用这个看上去荒唐的例子！当然不会有人把英国与地轴的方向混淆起来；但这不是我们解释的功劳。这丝毫也不说明，如果没有以“b的这个方向”这种形式给定q本身，那么应该肯定还是否定

“a的这个方向与q相等”

这个句子。我们缺少方向这个概念；因为如果我们有这个概念，我们就能够规定：如果q不是方向，就应该否定这个句子；如果q是一个方向，那么前面的解释就要做出判定。这使人们很容易解释说：

如果存在一条直线b，它的方向是q，那么q就是一个方向。

但是现在很清楚，我们在兜圈子。为了能够应用这种解释，我们必须在任何情况下已经知道，应该肯定还是应该否定

“q与b的这个方向相等”

这个句子。

§67．如果人们要说：如果q是通过上述定义引入的，q就是一个方向，那么人们就会把引入q这个对象的方式作为它的性质来看待，而这种方式却不是它的性质。一个对象的这样一个定义实际上没有对这个对象做出任何说明，而是规定了一个符号的意谓。在做到这一点之后，定义转变为一个关于这个对象的判断，但是现在判断再也不引入这个对象，而且与关于它的其它命题处于相等的位置。如果人们选择这种出路，人们就会假定，只能以一种唯一的方式给定一个对象；因为若不这样，从q不是通过我们的定义引入的就得不出：不能以这种方式引入它。这样，所有算式就会产生这样的结果：以同一种方式给予我们的东西会被看作相同的。但这是十分自明的和毫无结果的，因而是不足道的。实际上人们由此得不出任何有别于各个前提的结论。算式可以有多方面的十分重要的应用，这主要是因为人们能够重认某种东西，尽管它们是以不同方式给出的。

§68．由于我们以这样的方式无法得到明确限定的方向概念，并且由于相同的原因无法得到这样的数概念，因而我们尝试另一种方法。如果a这条线与b这条线相等，那么“与a这条线平行的线”这个概念的外延就与“与b这条线平行的线”这个概念的外延相等；反之：如果所述这两个概念的外延相等，那么a与b平行。

因而让我们尝试着解释如下：

a这条线的这个方向是“与a这条线平行”这个概念的外延；

d这个三角形的这种形状是“与d这个三角形相似”这个概念的外延！

如果我们想把这应用到我们说的情况，我们就必须以概念替代线或三角形，并且以处于一个概念之下的对象与处于另一个概念之下的对象之间一一对应的可能性替代平行或相似性。如果存在这种可能性，那么为了简便，我将称F这个概念与G这个概念是等数的（gleichzahlig），但是我必须要求人们把这个词看作一个任意选择的标记方式，不应该从语言构成、而应从这种规定中得出它的意谓。

因此我定义如下：

适合F这个概念的数是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。^[10]

§69．这种解释是合适的，最初也许不太明显。难道人们在一个概念的外延下不会想到某种不同的东西吗？从最初关于概念外延可以形成的命题可以说明人们在这里想到的是什么。这些命题如下：

1．相等，

2．一个比另一个更宽泛。

现在，

“与F这个概念等数的”这个概念的外延与“与G这个概念等数的”这个概念的外延相等

这个句子是真的，当且仅当：

“同一个数既属于F这个概念，又属于G这个概念”这个句子也是真的。因而这里是完全一致的。

尽管人们不在一个概念的外延比另一个概念的外延更宽的意义上说一个数比另一个数更宽，但是也绝不会出现

“与F这个概念等数的”这个概念的外延

比

“与G这个概念等数的”这个概念的外延

更宽的情况；相反，如果所有与G这个概念等数的概念也是与F这个概念等数的，那么反之，所有与F这个概念等数的概念也是与G这个概念等数的。这种“更宽的”，自然不能与在数的情况出现的“大于”混淆起来。

当然以下这种情况也是可以想象的：“与F这个概念等数的”这个概念的外延比另一个概念的外延更宽或更窄，这样，根据我们的解释，后一个概念的外延就不能是数；而且人们很少说一个数比一个概念的外延更宽或更窄；但是如果真出现这样的情况，对采纳这样一种谈论方式也不会有任何妨碍。