无穷小量与无穷大量

1　函数的极限与连续

法国数学家笛卡儿(Rene Descartes)在17世纪把变量引入数学,由此运动进入了数学,辩证法进入了数学,在此基础上才创立了微积分,它是人类思维的伟大成果之一,是现代科学技术的重要基础理论之一.高等数学的基本内容是微积分,它以函数为研究对象,利用极限来研究函数的各种形态.本章主要介绍函数、极限和连续这些重要的基本概念及有关性质,并着重介绍极限与连续的基本思想与方法,为学好微积分打下基础.

1.1　函数

1.1.1　变量与常用数集

我们在观察某个自然现象或变化过程时,会遇到许多数量,这些数量一般可分为两类:有一类如面积、体积、长度等在该过程中保持不变的量,称之为常量；另一类在该过程中不断变化的量,称之为变量.例如在观察圆的面积大小变化时,直径与周长都是变量,而圆的周长与直径的比值(圆周率)π是一个常量；在自由落体运动中,物体的下降速度、下降时间及下降距离都是变量,而物体的质量在该过程中可以看作常量.一般地,用字母a,b,c,…表示常量,用字母x,y,z,t,…表示变量.一个量是变量还是常量,要在具体问题中作具体分析.例如就小范围地区来说,重力加速度g是不变的常量,但就广大地区来说,重力加速度g就是一个变化的量.

讨论变量间的数量关系时,需要确定变量的取值范围,单个变量的取值范围常用数集来表示.本书讨论的变量在没有特别说明的情况下都是指在实数范围内变化的量.常用的数集除了有自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R外,还常用区间和邻域来表示.

区间是用得较多的一类数集,它表示介于两个实数之间的一切数构成的实数集,在数轴上对应位于a到b之间的一条线段,设a,b∈R,且a<b,则数集

{x|a<x<b,x∈R}

称为开区间,记作(a,b),即

(a,b)={x|a<x<b,x∈R}

数集

{x|a≤x≤b,x∈R}

称为闭区间,记作[a,b],即

[a,b]={x|a≤x≤b,x∈R}

类似地,数集

{x|a<x≤b,x∈R}　与　{x|a≤x<b,x∈R}

均称为半开半闭区间,分别记作(a,b]与[a,b),即

(a,b]={x|a<x≤b,x∈R}，　[a,b)={x|a≤x<b,x∈R}

其中a与b称为这些区间的端点,b-a称为这些区间的区间长度.以上四种区间均为有限区间,区间长度b-a是有限的数值.此外还有下列五种无限区间,引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大),则有

(a,+∞)={x|x>a,x∈R}，　[a,+∞)={x|x≥a,x∈R}

(-∞,b)={x|x<b,x∈R}，　(-∞,b]={x|x≤b,x∈R}

(-∞,+∞)=R

这些区间的区间长度都为无穷大.

为了描述函数在一点邻近的某些性态,还会经常用到邻域的概念,下面引入邻域的概念.

定义1　设a,δ∈R,δ>0,数集{x|x-a|<δ,x∈R}称为点a的δ邻域,记作U(a,δ).其中点a与数δ分别称为该邻域的中心与半径.

在几何上,邻域U(a,δ)表示数轴上与点a的距离小于δ的点集,因此该点集是以点a为中心,半径为δ的一个开区间(图1-1(a)),即

图1-1

U(a,δ)=(a-δ,a+δ)

当不强调邻域的半径时,常用U(a)表示以点a为中心的任意邻域.如果将邻域U(a,δ)的中心点a去掉,得到的数集{x|0<|x-a|<δ}称为以点a为中心,半径为δ的去心邻域,记作(a,δ)(图1-1(b)),即

应当指出,对于邻域的半径虽然没有明确规定其大小,但一般总是取很小的正数.

1.1.2　函数的基本概念

先介绍一些数学上常用的符号.

符号“∀” 表示“任意(确定)的”或者“任意一个”的意思；符号“∃” 表示“存在” 或者“有”的意思.例如“∀x” 表示“任意(确定)的x”,而“∃x” 表示“存在x”的意思.

函数研究的就是变量之间的对应关系,在同一自然现象或变化过程中,往往同时有两个或更多个变量变化着,这些变化互相联系并遵循一定的规律,函数就是描述这种联系的一个法则.例如,在初速度为0的自由落体运动中,路程s与时间t是两个变量,当时间变化时,对应的路程也随之改变,它们之间有关系

(1-1)

又例如在电阻两端加直流电压V,电阻中有电流I通过,电流I随电压V改变而改变,其变化规律为

若电阻R=20,则

(1-2)

(1-1)、(1-2)两式均表达了两个变量之间相互联系的变化规律,当取定其中一个变量的数值时,另一变量的值就随之确定,数学上把这种对应关系称为函数关系.

定义2　设同一变化过程中的两个变量为x,y,当x在给定的范围D内任意取定一个值时,另一个变量y按某一给定的法则f有一个确定的值与之相对应,就称y是x的函数,x称为自变量,y称为因变量,记作

y=f(x)　(x∈D)

其中数集D称为f(x)的定义域.

一般地,在函数y=f(x)中,函数的定义域是使得式子f(x)有意义的x的集合,这时也称其为该函数的自然定义域.但在实际问题中,函数y=f(x)的定义域还要根据问题中的实际意义来确定.

由定义2可知,f(x)也表示与x对应的函数值,因此对应于x0的函数值记为f(x0)或x=x0,全体函数值构成的集合称为函数y=f(x)的值域,记作f(D),即

f(D)={y|y=f(x),x∈D}

符号f(x)中的f表示y与x之间的对应关系,故f仅仅是一个函数对应法则的记号,也可用其他符号如φ,F等表示,这时,函数y=f(x)就可写成y=φ(x)或y=F(x).但一个函数在同一个问题中只能取定一种记号,当同一问题中涉及多个函数时,则应取不同的符号分别表示它们各自的对应法则,以免混淆.

例1　求函数的定义域.

解　由题意可知函数中x满足不等式组:

解得

-1<x<0,0<x<1　即　x∈(-1,0)∪(0,1)

则该函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).

例2　设f(x)=x2+x,求.

解　将f(x)中的变量x分别用代替,解得

f(h+1)=(h+1)2+(h+1)=h2+3h+2

f(a)=a2+a

一般地,若两个函数的定义域相同,对应法则也相同,则称这两个函数相等.因此函数的定义域及其对应法则称为函数的二要素.

例如函数f(x)=lnx2与f(x)=2lnx,它们的对应法则虽相同,但定义域不同,所以它们不是相同的函数.又如函数y=x(当x≥0时)与)2,它们的对应法则相同,定义域也相同,因此它们是相同的函数.

一般地,如果函数y=f(x)的自变量x在定义域内任取一值时,对应的函数值y都是唯一的,则称y为x的单值函数.如果自变量x都有两个或两个以上的值y与之相对应,则称y为x的多值函数.本书中凡是没有特别说明的函数都是指单值函数.若遇到多值函数时,我们就把它化为若干个单值函数分别来讨论就可以了.

由于函数对应法则是多种多样的,因而函数的表示方法有多种形式,常见的主要有:表格法、图示法、解析(公式)法.

表格法就是把自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出,实际应用中常用此法.例如火车时刻表就是用列表的方法列出出站和进站对应的车次与时间的函数关系.其优点是从表上可直接看出y随x的变化而变化的情况,使用上较方便,缺点是只能表达有限个对应数据.

图示法是把变量x与y对应的有序数组(x,y)看作直角坐标平面内点的坐标,y与x的函数关系就可用坐标平面内的曲线来表示.例如气象站中的温度记录器,它记录了空气中温度与时间的函数关系.这种关系是通过仪器自动描绘在纸带上的一条连续不断的曲线来表达的.其优点是直观性强,缺点是没有给出函数关系的表达式,不便于作理论上的推导与演算.

解析法(也称公式法)是把两个变量之间的关系直接用公式或解析式表示,高等数学中所涉及的函数大多用解析法来表示.例如n次多项式函数

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

这里ai(i=0,1,2,…,n)均为常数,n为自然数,x为自变量,x∈R.以及有理函数

这里P(x)与Q(x)均为多项式函数,它们都是用解析式表示的函数.

有时在函数定义域的不同范围内的x所对应的函数关系并不相同,这时就要用几个不同的解析式来表示一个函数,例如函数(图1-2(a))

与符号函数(图1-2(b))

图1-2

在不同的范围内用不同的解析式分段表示的函数称为分段函数.上面两个例子就是分段函数,在自然科学与工程技术中也经常用到分段函数.

应当指出,分段函数是用不同的解析式表示一个(而不是几个)函数.因此对分段函数求函数值时,要注意自变量所在的范围,自变量在哪个范围就应代入相应范围对应的解析式中去求.

例如常用记号[x]表示“小于或等于x的最大整数”,显然[x]是由x唯一确定的,如

[-1.5]=-2,　[1.3]=1,　[2.43]=2,　[0]=0

函数y=[x]的定义域是实数集R,值域是整数集Z,它表示y是不超过x的最大的整数.故称函数y=[x]为取整函数.该函数是分段函数,其图形如图1-3所示.

图1-3

上述用解析式或公式所表示的函数,都是直接用一个或几个关于自变量的式子来表示的,这样的函数也称为显函数.除此以外,在很多实际问题中,变量之间的函数关系也可用一个方程来表示,例如在直线方程x+2y=1中,给定实数x,就有一个确定的y值与之相对应,因此在方程x+2y=1中隐含了一个函数关系(1-x).又如椭圆的方程=1确定了两个单值函数　(当y≥0时)　与　　(当y≤0时).在xOy平面上,函数表示上半椭圆,函数表示下半椭圆,这两个单值函数称为原来函数的单值分支,它们都是由方程=1确定的.但也有一些方程确定的函数关系不那么容易甚至不可能直接用自变量的解析式表示出来.例如开普勒(Kepler)方程

y-x-εsiny=0　(ε为常数,0<ε<1)

在这个方程中不可能将y用x的解析式表示出来,尽管如此,它仍能确定y是x的函数.

若能由一个二元方程F(x,y)=0确定y是x的函数(满足函数的定义),则称函数y=y(x)是由方程F(x,y)=0确定的隐函数.有时直接通过对方程恒等变形,可以将这个隐函数求出,例如由方程2x+5y=2可以解得函数,这个过程称为隐函数的显化.例如方程x2+y2=a2当y≥0时可显化为函数,它的图形为以原点为中心、半径为a的上半圆周.但不是每个隐函数都可以显化,如方程exy+x-siny=1确定的隐函数是无法显化的,因此隐函数是表达函数的一种必不可少的形式.需要注意的是:任意一个方程并不一定就能确定一个隐函数.究竟在什么条件下能够由一个方程来确定一个隐函数呢?这将在第9章中给出相关结论.

有时变量x,y之间的函数关系还可以通过参数方程

表示,这样的函数是由参数方程确定的函数,简称为参数式函数,t称为参数.

如物体作斜抛运动时,运动的路径(图1-4)对应的函数就常用参数方程

表示,其中α为初速度v0与水平方向的夹角,v0=|v0|.

图1-4

1.1.3　函数的几种基本性态

初等数学中已经简单介绍了函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性,下面分别对它们作简要概括.

1) 有界性

定义3　设函数f(x)在区间I上有定义,若存在数M1,使得当∀x∈I时,恒有

f(x)≤M1

则称函数f(x)在数集I上有上界,M1为f(x)在I上的一个上界；若存在数M2,使得当∀x∈I时,恒有

f(x)≥M2

则称函数f(x)在数集I上有下界,M2为f(x)在I上的一个下界；若f(x)在数集I上既有上界,又有下界,则称f(x)在I上有界，否则就称函数f(x)在I上无界.

显然,若f(x)在I上有界,则必存在数M1，M2,使得对∀x∈I,恒有

M1≤f(x)≤M2

取M=max{|M1|,|M2|},则上式等价于

|f(x)|≤M

因此函数f(x)在数集I上有界的充要条件为存在正数M,使得对∀x∈I,恒有|f(x)|≤M.

若函数f(x)在数集I上有上界M1,在几何上表示函数y=f(x)在数集I上的图形均位于直线y=M1的下方；若函数f(x)在数集I上有下界M2,则表示函数f(x)在数集I上的图形均位于直线y=M2的上方；若函数f(x)在数集I上有界,则表示必存在一个正数M,函数y=f(x)在I上的图形位于直线y=M与y=-M之间.

例如,函数在(-∞,+∞)内有界,数1是它的一个上界,数0是它的一个下界；函数y=x3在任一有限区间[a,b]上有界,a3与b3分别为它的一个下界与上界,但它在(-∞,+∞)内无界.

2) 单调性

定义4　设函数f(x)在区间I上有定义,如果∀x1,x2∈I,x1<x2时,恒有f(x1)≤f(x2)(f(x1)≥f(x2)),则称函数f(x)在I上单调增加(减少)；若x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在I上严格单调增加(减少).

例如,y=x2在(-∞,0)内严格单调减少,在(0,+∞)内严格单调增加,但在(-∞,+∞)内不是单调函数.

又如函数在(-∞,+∞)内单调增加，而函数在任何区间上都不单调.

3) 奇偶性

定义5　设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即∀x∈D,必有-x∈D),对∀x∈D,若恒有

f(-x)=-f(x)

则称f(x)为奇函数；若恒有

f(-x)=f(x)

则称f(x)为偶函数.

例如,y=|x|与都是偶函数；是奇函数；y=sinx+cosx是非奇非偶函数；y=0既是奇函数也是偶函数.

奇函数y=f(x)的图形关于原点中心对称(图1-5(a)),偶函数的图形关于y轴对称(图1-5(b)).

图1-5

4) 周期性

设y=f(x)的定义域为D,若存在非零定值T(T≠0),使得对∀x∈D,都有x+T∈D,且等式f(x+T)=f(x)恒成立,则称f(x)是周期函数,T是它的一个周期.易知T的整数倍也一定是f(x)的周期.在f(x)的所有周期中,若存在最小的正数,则称这个数为f(x)的最小正周期.通常我们说周期函数的周期是指其最小正周期,例如三角函数中sinx、cosx是以2π为周期的周期函数,tanx、cotx是以π为周期的周期函数.

1.1.4　初等函数

1) 反函数

设函数y=f(x)的定义域为D,值域为f(D),在函数y=f(x)中,x为自变量,y为因变量,x可以独立取值,而y却按确定的法则随x而定,即函数y=f(x)反映的是y怎样随x而定的法则；反过来,对于∀y∈f(D),若D内总有确定的x与之对应,使得f(x)=y成立,这样得到一个以y为自变量,x为因变量的函数,称该函数为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),其定义域为f(D),值域为D.即反函数x=f-1(y)反映的是x怎样随y而定的法则.

一般地,若y=f(x)是单值函数,其反函数x=f-1(y)不一定是单值函数.例如单值函数y=x2有两个单值反函数,当x≥0时对应的反函数为,当x≤0时对应的反函数为.

可以证明若y=f(x)是单值、单调的函数,则其反函数x=f-1(y)也是单值、单调的.

习惯上,常用x表示自变量,y表示因变量,所以反函数x=f-1(y)常记作y=f-1(x).

反函数的实质体现在它所表示的对应规律上，与原来的函数相比,自变量与因变量的地位对调了,对应法则也变了，至于用什么字母来表示反函数中的自变量与因变量并不重要.即反函数中自变量与因变量的记号可以变,但对应规律与定义域不能变，例如表1-1所示.

表1-1

设函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,如果将它们的图形画在同一个坐标平面上时,则它们的图形关于直线y=x对称,利用这一性质,由函数y=f(x)的图形很容易画出其反函数y=f-1(x)的图形.

2) 复合函数

在实际问题中,有时需要把两个或更多个函数组合成另一个新的函数.

例如,我们知道,一个质量为m的沿直线运动的物体,速度为v时,其动能为mv2,当物体作自由落体时,速度为v=gt,则这时其动能为.抽象出数学模型,即已知函数与v=gt,将v=gt代入E中,得.这样,E通过变量v成为t的函数,数学上称这种形式的函数为复合函数.又如，y=lgu,u=sinx复合成y=lgsinx，这里0<sinx≤1,即x∈(2kπ,(2k+1)π),k∈Z.

定义6　设函数y=f(u)的定义域为U,函数u=φ(x)在D上有定义,对应的值域φ(D)⊂U,则∀x∈D,经过中间变量u,相应地得到确定的值y,于是y通过u而成为x的函数,记作

y=f[φ(x)]　(x∈D)

称y=f[φ(x)]是由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的函数,其中u称为中间变量.

例如简谐振动f(t)=Asin(ωt+φ)是由简单函数g(u)=Asinu与u=ωt+φ复合而成.

复合函数也可以由两个以上的函数复合而成,例如y=lntanx2是由函数y=lnu,u=tanV,V=x2三个函数复合而成.

需要注意的是函数u=φ(x)的值域φ(D)不能超出函数f(u)的定义域U,否则就不能复合成一个函数.因此复合函数y=f[φ(x)]的定义域是使得函数u=φ(x)的值包含在函数y=f(u)的定义域U内的一切x的集合X.即

X={x|φ(x)∈U}

今后,为了研究的方便,常需要将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合.

例3　设f(x)的定义域是开区间(1,2),求f(x2+1)的定义域.

解　令u=x2+1,由于f(u)的定义域为(1,2),则

1<x2+1<2

解得

-1<x<0　或　0<x<1

因此函数f(x2+1)的定义域为(-1,0)∪(0,1).

例4　设,求f[g(x)].

解

故有：当x≠0时,g(x)=x2>0,则f[g(x)]=[g(x)]2=x4；当x=0时,g(x)=0,则f[g(x)]=g(x)-1=-1.

综上得

3) 基本初等函数

在初等数学中,已详细地讨论过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的概念及其性质.下面对它们作简要概括.

(1) 幂函数

形如y=xμ(μ为常数)的函数称为幂函数.对于幂函数y=xμ的定义域,则要根据μ来确定,如当μ=1时,y=x,其定义域是(-∞,+∞)；当时,,其定义域是[0,+∞)；当时,,其定义域是(0,+∞).但不论μ取什么值,幂函数在(0,+∞)内总有定义.取时对应的幂函数最常见,它们的图形如图1-6所示.

图1-6

(2) 指数函数

形如y=ax(a是常数且a>0,a≠1)的函数称为指数函数,其定义域为(-∞,+∞).且对∀x∈(-∞,+∞),总有ax>0,又a0=1,所以指数函数的图形总在x轴的上方,且都通过点(0,1).

图1-7

当a>1时,指数函数y=ax单调增加；当0<a<1时,指数函数y=ax单调减少.由于,所以y=ax的图形与的图形关于y轴对称(图1-7).

(3) 对数函数

将指数函数y=ax的反函数称为对数函数,其定义域为(0,+∞)，记作

y=logax　(a>0,a≠1)

图1-8

由反函数的性质可知,上述对数函数的图形与指数函数y=ax的图形关于直线y=x对称.因此由曲线y=ax的图形,就可得y=logax的图形(图1-8).

由图1-8可知,函数y=logax的图形总在y轴右方,且通过点(1,0).

当a>1时,对数函数y=logax单调增加,在区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞)内函数值为正.当0<a<1时,对数函数y=logax单调减少,在(0,1)内函数值为正,而在区间(1,+∞)内函数值为负.

以常数e为底的对数函数称为自然对数,记作y=lnx,自然对数常用于工程技术中.

(4) 三角函数

常用的三角函数有:正弦函数y=sinx(图1-9),余弦函数y=cosx(图1-10),正切函数y=tanx(图1-11),余切函数y=cotx(图1-12).

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数,它们的定义域都为(-∞,+∞),值域都为闭区间[-1,1].正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.由于,所以把正弦曲线y=sinx沿x轴向左移动距离,就得到余弦曲线y=cosx.

正切函数y=tanx的定义域,余切函数y=cotx的定义域D={x|x∈R,x≠nπ,n∈Z},这两个函数的值域都是(-∞,+∞).正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数,它们都是奇函数.

这四个函数的图形如图1-9至图1-12所示.

图1-9

图1-10

图1-11

图1-12

另外还有两个常用的以2π为周期的三角函数,它们分别是正割函数y=secx与余割函数y=cscx,其中正割是余弦的倒数,余割是正弦的倒数,即

(5) 反三角函数

下面简单介绍反三角函数的概念及其性质.

反三角函数是指三角函数的反函数,反三角数都是多值函数,为此限制正弦函数y=sinx的定义域为,余弦函数y=cosx的定义域为[0,π],则正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx在指定的区间上单值、单调,因此在相应的值域[-1,1]上存在单值、单调的反函数,分别称为反正弦函数y=arcsinx与反余弦函数y=arccosx.由此反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1,1],值域为,是单调增加的函数；反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1,1],值域为[0,π],是单调减少的函数.其图形分别如图1-13(a)、(b)所示.

图1-13

与上面的反正弦、反余弦函数类似,我们限制正切函数y=tanx的定义域为,余切函数y=cotx的定义域为(0,π),则正切函数y=tanx与余切函数y=cotx在指定的区间上单值、单调,因此它们在相应的值域(-∞,+∞)内存在单值、单调的反函数,分别称为反正切函数y=arctanx与反余切函数y=arccotx.由此反正切函数y=arctanx的定义域为(-∞,+∞),值域为,是单调增加的函数；反余切函数y=arccotx的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,π),是单调减少的函数.其图形分别如图1-14(a)、(b)所示.

图1-14

上述幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五种函数统称为基本初等函数.它们是最简单最基本的函数,有关它们的知识也是微积分的基础知识.

4) 初等函数

在实际问题中所遇到的函数形式尽管有时比较复杂,但经过仔细观察与分类后,可发现它们总是由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)构成的所谓“初等函数”,其定义如下.

定义7　由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合构成的并可用一个解析式表示的函数称为初等函数.

如函数

与

都是初等函数.

初等函数是微积分的主要研究对象.

5) 双曲函数

应用上常遇到以e为底的指数函数y=ex与y=e-x所构成的双曲函数，其定义如下:

双曲正弦:

双曲余弦:

双曲正切:

它们的图形分别如图1-15至图1-17所示.

图1-15

图1-16

图1-17

它们对于一切实数x都有意义,这些函数的性质与相应的三角函数非常相似,因此而得名.例如根据双曲函数的定义,易证它们具有如下的关系:

ch2x-sh2x=1

sh2x=2shxchx

ch2x=ch2x+sh2x

sh(x±y)=shxchy±chxshy

ch(x±y)=chxchy±shxshy

请读者自证.

习题1.1

1.试问:下列函数是否具有奇偶性?为什么?

(1) y=ax-a-x　(a≠0).　　　　　　).

2.试问:下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?

(1) y=(sinx)3..

3.设,求f(0),f[f(-1)].

4.求下列函数的定义域:

5.设f(x)的定义域是x∈[0,1],求下列函数的定义域:

(1) f(x2). (2) f(x+a)(a>0).

6.举例说明:两个奇函数之积为偶函数,两个偶函数之积仍为偶函数.

7.设,求f[g(x)].

8.设f(x+1)=2x2+12x+17,求f(x).

9.设f(sinx)=cos2x+1,求f(cosx).

10.在一个半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并确定此函数的定义域.

1.2　数列的极限

极限概念源于人类的生产和生活实践活动.公元前3世纪,《庄子·天下篇》中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的记载,反映了两千多年前我国古人就已经有了初步的极限观念.魏末晋初我国数学家刘徽(公元263年)利用一系列边数不断增加的圆内接正多边形面积的极限解决了圆的面积问题(即割圆术),割圆术反映了我国古代数学家已经利用极限思想来解决问题了,充分反映出他的数学思想的先进性.极限是微积分中解决问题的主要方法,因此极限的概念是微积分的基石.下面我们先讨论数列极限的概念及基本性质.

1.2.1　数列定义

所谓数列,是指按一定顺序排列起来的一列数,例如:

1,3,5,…,2n-1,…

2,0,2,0,…,1-(-1)n,…

都是数列.一般地,数列写为

x1,x2,x3,…,xn,…

记作{xn}或xn(n=1,2,…).其中n表示数列的项数,第n项xn称为数列的通项.

1.2.2　数列的极限

对于给定的数列{xn},我们讨论当项数n无限增大时(记作n→∞),对应项的变化趋势.观察上面的四个数列,容易看出,当n→∞时,

数列趋于1；

数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化,且越来越接近1；

数列{2n-1}越来越大,无限增大；

数列{1-(-1)n}各项的值永远在0与2之间交互取得,而不与某一数接近.

如果当n→∞时,数列的项xn能无限接近于某个常数A,则称这个数列为收敛数列,常数A称为当n→∞时数列{xn}的极限,记作xn=A或xn→A(n→∞).

上面极限概念的表述中项xn能与某个常数A无限接近的意思可以理解为当n→∞时,|xn-A|可以任意小,即该距离可以小于任意给定的小正数,但必须以n→∞为条件,即距离|xn-A|小于任意给定的小正数的条件是要项数n足够大,大到足够保证|xn-A|小于预先任意给定的(无论怎样小的)正数.

下面我们以数列为例来讨论极限xn=A的数学含义及精确表达.

由观察可知:当n→∞时,数列的项能与常数1无限接近,即的极限为1.

比如对于数列,若给定小正数,由于，可知,要使,只要n>100就行了；又若给定小正数,要使,就需要n>10 000才行；若再给定小正数10-10,要使<10-10,就要n>1010了.尽管小正数10-10已经很小了,但是否对于无论怎样小的正数ε,不等式总能成立呢?

事实上,对于预先任意给定的无论怎样小的正数ε,要使不等式<ε成立,只要n>就行了.我们利用取整函数的意义,取项数,则由取整函数的性质可知,当n>N时,就有,这时<ε成立.其中n>N的意思是n=N+1,N+2,N+3,…,即当项数n从第N+1项开始时,不等式<ε就成立了.

综上分析,利用ε -N的数量关系,可得数列极限xn=A的精确定义.

定义1　设{xn}是一个数列,A是某常数,如果对∀ε>0,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|xn-A|<ε都成立,那么就称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限,记作

　或　xn→A　(n→∞)

这时我们也称数列{xn}收敛于A.如果数列{xn}没有极限,就称数列{xn}是发散的.

定义1中的正整数N与预先给定的小正数ε是有关的,它随着ε的给定而选定,一般地,当ε越小时,N将会相应地越大.

由于|xn-A|<ε ⟺ A-ε<xn<A+ε,所以的等价意义为:对∀ε>0,∃N,使得当n>N时,恒有A-ε<xn<A+ε成立.

因此对数列极限xn=A作如下的几何解释:当n→∞时,数列的项xn能与某个常数A无限接近,即随着项数n越来越大,由xn表示的点几乎全部密集在点A的ε邻域中,而在邻域外的点只有有限个(N个),将常数A及数列x1,x2,x3,…,xn,…在数轴上一一表示出来,任取一个小正数ε(无论它多么小),在数轴上作点A的ε邻域即开区间(A-ε,A+ε),则对上面的ε,必存在N,使数列中除了开始的N项外,自第N+1项起,后面所有的项

xN+1,xN+2,xN+3,…

都落在开区间(A-ε,A+ε)内(图1-18).

图1-18

例1　证明.

证　对∀ε>0,考察

为了使|xn-A|<ε,只须,即成立.可取,则当n>N时,就有成立,即有

即有

.

例2　证明,这里|q|<1.

证　∀ε>0(不妨设ε<1),考察

|xn-A|=|qn|=|q|n<ε

在不等式两边取自然对数,得

nln|q|<lnε

由于ln|q|<0,故有

因此,要想使|xn-A|<ε成立,只要n>成立即可.取,当n>N时,有,则|xn-A|<ε成立,即

例3　证明:(a≥0).

证　(1) 当a>1时,令,则h>0,且

a=(1+h)n>1+nh

所以

对∀ε>0,要使,只要,即只要,故取,则

(2) 当a=1时,显然有；

(3) 当0<a<1时,.

说明:上式用到的极限的运算法则将在本章1.5节中给出证明.

综上得

习题1.2

1.根据数列极限的定义证明:

.

.

2.设数列{xn}有界,且,证明.

1.3　函数的极限

上一节,我们讨论了数列极限,由于数列xn是函数在自变量x取自然数n时对应的函数值xn=f(n),所以数列极限就是函数y=f(x)当自变量x取自然数n而无限增大时的函数极限.本节我们详细讨论函数极限的概念及基本性质.根据自变量的变化趋势,函数极限问题有两种:

① 自变量x无限增大时的函数极限;

② 自变量x趋于有限值时的函数极限.

先讨论第一种情形.

1.3.1　自变量x无限增大时的函数极限

观察函数,当x趋近于∞时发现:当x趋近于∞时,对应的函数值无限地与数值0接近,即当x→∞时,→0,因此数值0为函数当x→∞时的极限.

设a为某常数,如果当|x|无限增大时,函数f(x)与a可无限地接近,则称a是函数f(x)当x→∞时的极限,记作(x)=a或f(x)→a(当x→∞时).

式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程,在数轴上看,“x→∞”表示x沿着数轴向两边(或分别向右、左)移动,并离原点的距离越来越远,直至无限远,这种变化过程称为x趋于无穷大,记作x→∞.用|x|表示x与原点的距离,则x→∞就是|x|越来越大,若用X表示一个很大的正数,则不等式|x|>X表示x是那些与原点的距离比X还远的点.

式“f(x)→a”表示函数f(x)与常数a可无限接近的变化趋势.如果任取小正数ε,则式|f(x)-a|<ε就表示函数f(x)与a的距离之小,可以小于预先任意给定的小正数ε.

极限“f(x)=a”表达了一个因果关系:若条件“x→∞”成立,就有结论“f(x)→a”成立.因此也可理解成:当x离原点的距离充分远,即|x|充分大时,函数f(x)与a可充分地接近；当x离原点的距离无限远,即|x|无限大时,则函数f(x)与a就无限地接近.

因此极限f(x)=a的意思是:对于预先任意给定的小正数ε,式子|f(x)-a|<ε成立的条件是|x|要充分大.这个“充分大”,我们用式子|x|>X表示(这时|x|比X还大).这里X表示足够大的正数,因此如果相应于前面给定的ε,存在一个足够大的数X,当满足条件|x|>X时(x充分大时),对应的函数值就满足不等式|f(x)-a|<ε(函数f(x)与a就充分地接近),由于ε可以无限小,函数f(x)与a就能无限地接近,因此就有极限f(x)=a.

由此,我们得到自变量x无限增大时的函数极限的概念与精确定义.

定义1　设函数f(x)在|x|大于某一正数时有定义,a为某常数,如果对任意给定的小正数ε,总存在一个正数X,使得当|x|>X时,不等式|f(x)-a|<ε都成立,则称a是函数f(x)当x→∞时的极限,记作

(x)=a　或　f(x)→a　(x→∞)

(若定义1中的常数a不存在，就称极限f(x)不存在，或称f(x)当x→∞时发散.)

定义1可用ε -X定义简单地表述为

(x)=a ⟺ ∀ε>0,　∃X>0

使得当|x|>X时,|f(x)-a|<ε成立.

图1-19

从几何上看,(x)=a的意义是:对于∀ε>0,必∃X>0,使得当x满足|x|>X时,曲线y=f(x)上对应的点一定落在两条直线y=a+ε和y=a-ε之间(图1-19).

例1　证明.

证　∀ε>0,由不等式

解得

因此只要取,即有

∀ε>0,当|x|>X时,不等式恒成立.即

例2　证明.

证　∀ε>0,由不等式

解得

因此只要取,即有

∀ε>0,当|x|>X时,不等式恒成立.即

1.3.2　自变量x趋于有限值时的函数极限

先看几个例子.

例3　曲线的切线问题.

在初等数学中,已经讨论过圆、椭圆、抛物线等特殊曲线的切线的求法,显然这些方法不具有一般性,不适合推广到一般曲线的情形.下面利用极限思想来给出曲线切线的定义及其求法.

图1-20

设P(x0,f(x0))为曲线C:y=f(x)上的某定点,Q(x,f(x))为该曲线上的动点,则线段PQ为该曲线C的一条割线,让点Q沿着曲线C向点P无限趋近,在这一变化过程中,如果存在一条定直线PT,使得割线PQ无限接近定直线PT,则定直线PT就是割线PQ的极限位置,这时称直线PT为曲线C在点P处的切线(图1-20).

由于割线的PQ的斜率为

K割

因此有

K切

例4　观察下列函数当x趋近于1时的变化趋势:

(1) f(x)=x+1；

；

.

解　通过观察这些函数的图形(图1-21(a)、(b)与(c))发现,函数f(x)与是三个不同的函数,但由于它们在x=1的去心邻域内有相同的表达式:

f(x)=g(x)=h(x)=x+1　(x≠1)

因此当x→1时,它们都沿着直线y=x+1向定值2无限逼近,即

.

图1-21

由例4可知,讨论函数极限f(x)时,不需要考虑函数f(x)在x0处的情况,即极限f(x)存在与否仅与函数f(x)在x0的两侧邻近的情形有关而与它在x0处有无定义无关.

例5　观察取整函数函数y=[x],当x→1及x→1.2时函数y的变化趋势.

解　y=[x],当自变量x在数轴上从右侧向1无限接近时,其函数值[x]无限接近于1,而当自变量x在数轴上从左侧向1无限接近时,[x]无限接近于0,因此当x在数轴上从左、右侧向1无限接近时,取整函数y=[x]不能向某一个数无限趋近,由观察可知,极限[x]不存在；

当自变量x在数轴上的某半径较小的邻域U(1.2)内,从左、右两侧向1.2无限接近时,其函数值[x]都无限接近于1,由观察可知,极限[x]=1.

例6　观察狄立克雷函数当x趋近于x0时的变化趋势.

解　对任意的点x0,由于在x0的任意邻域内既分布了无穷多个有理数,又分布了无穷多个无理数,因此对应于该函数的值总在0与1之间不断地变化,因此它不能向某一个数值无限趋近.

将自变量x无限接近定值x0(或说x趋于x0)时,记作x→x0.从上面的例子可以看出,当函数的自变量向某定值无限趋近时,一般函数有两类变化趋势:一类为函数总是向某一个常数无限趋近(如例4中的情形),这时若自变量x沿着数轴从x0的左、右两侧邻近向x0无限接近,对应的函数值f(x)都逐渐趋近于某一个常数a,并且函数的这个变化趋势与函数f(x)在x0处是否有定义无关,这样的数a称为函数f(x)当x→x0时的极限,记作f(x)=a；另一类为函数不能向某一个常数无限趋近(如例5中当x趋近于1时的情形与例6中的情形),这时称函数f(x)当x→x0时的极限不存在.

数学上常用字母δ与ε表示可以任意小的正数,则不等式0<|x-x0|<δ表示x与x0的接近程度小于δ且它与x0不重合,δ越小,表示x与x0越接近；不等式|f(x)-a|<ε表示f(x)与a的接近程度小于ε.如果当ε任意给定时,不等式|f(x)-a|<ε总成立,则表示f(x)与a可以无限地接近.

极限中“x→x0”与“f(x)→a”这两个变化过程不是孤立的,x→x0是因,f(x)→a是果,即并非对一切x都会有|f(x)-a|<ε成立,只有当x与x0接近到一定程度时,才能使|f(x)-a|小于预先给定的小正数ε.

综上分析,得出极限f(x)=a的精确定义.

定义2　设函数f(x)在(x0)内有定义,a是某常数,若对任意给定的一个小正数ε(无论它多么小),相应地总存在小正数δ,使得当x满足0<|x-x0|<δ时,不等式

|f(x)-a|<ε

都成立,则称a为f(x)当x→x0时的极限,记作

或

f(x)→a　(x→x0)

若定义2中的常数a不存在,就称极限f(x)不存在,或称f(x)当x→x0时发散.运用“∀”、“∃”、邻域等数学符号,f(x)=a的定义可简单地表述为:

(x)=a ⟺ ∀ε>0,∃δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时,不等式|f(x)-a|<ε恒成立.

极限的这一定义也称为ε -δ定义.

定义2中,字母δ表示x与x0接近的程度;不等式0<|x-x0|<δ表示x在x0的δ的去心邻域内变化,且x≠x0；ε表示f(x)与a接近的程度.δ与ε有关,当ε确定后,δ也就随之确定,一般地,ε越小,δ越小,但两者之间不是函数关系.

由于

0<|x-x0|<δ ⟺ x0-δ<x<x0+δ　且　x≠x0

|f(x)-a|<ε ⟺ a-ε<f(x)<a+ε

图1-22

因此,极限的几何意义为:对∀ε>0,必∃δ>0,使得当x在区间(x0-δ,x0+δ)(但x≠x0)内取值时,对应曲线y=f(x)上的点一定介于两条直线y=a+ε和y=a-ε之间(即均位于矩形ABCD内)(图1-22).

例7　证明.

解　∀ε>0,由于

|x2-2x+5-4|=|x-1|2

由|x2-2x+5-4|=|x-1|2<ε,可得,因此对于∀ε>0,选取,只要当|x-1|<δ,就有|x2-2x+5-4|<ε成立,所以

例8　证明sinx=sinx0.

证　∀ε>0,由于该极限只需要在x0的邻近考察就行了,故设在|x-x0|<π内,即内考察,由于

从上式可知,要使|f(x)-a|=|sinx-sinx0|<ε成立,只要|x-x0|<ε即可.

取δ=min{ε,π},则当x满足0<|x-x0|<δ时,就有 |sinx-sinx0|<ε成立,即

sinx=sinx0

(1-3)

同理可证

cosx=cosx0

(1-4)

例9　证明.

证　∀ε>0,由于该极限存在与否与函数在x=2处有无定义无关,故求该极限时可设x≠2,因此,由

可知,只要取δ=ε,则当0<|x-2|<δ时,就恒有不等式,因此

1.3.3　子极限

上面我们讨论了x→x0与x→∞时函数极限的定义及性质,其中自变量的变化过程x→x0是指自变量x沿x轴从x0的左、右两侧趋于x0,x→∞是指自变量x沿x轴左、右两侧离原点越来越远,趋于无穷远.但有时所讨论的极限中,其自变量的变化过程只须沿某一侧(左侧或右侧)变化,例如考察极限时,由于受函数的定义域限制,自变量在x→0的变化过程中,x只能从0的右侧趋近于0,该变化过程相当于在变化过程“x→0”中增加了附加条件“x>0”.又如考察极限ex时,由于自变量x沿x轴的左、右两侧趋于无穷远时,对应的函数ex有不同的变化趋势,所以要将变化过程x→∞分成左、右两侧分别趋于无穷远的两种情况来讨论,自变量x沿x轴向右(或向左)离原点越来越远,趋于无穷远,则相当于在变化过程“x→∞”中增加了附加条件“x>0(或x<0)”.

定义3　在自变量的某变化过程的基础上,增加了附加条件的变化过程称为原变化过程的子过程.子过程对应的极限称为原极限的子极限.

常见的x→x0的子过程有如下两个:

① 用“”表示“x→x0且x<x0”,即x从x0的左侧趋于x0,例如；

② 用“”表示“x→x0且x>x0”,即x从x0的右侧趋于x0,例如.

常见的x→∞的子过程有如下三个:

① 用“x→+∞”表示“x→∞且x>0”,即x沿x轴的正方向趋于无穷远,例如；

② 用“x→-∞”表示“x→∞且x<0”,即x沿x轴的负方向趋于无穷远,例如

③ 用“n→∞”表示“x→+∞且x=n,n∈N+”,例如.

特别地,若当(或)时,f(x)向某一定值a逼近,则称a为f(x)在点x0的左极限(或右极限).下面给出它们的ε -δ定义.

定义4　设f(x)在区间(x0-δ,x0)(或(x0,x0+δ))内有定义,a为某常数,若对∀ε>0,∃δ>0,使得当x满足0<x0-x<δ(或0<x-x0<δ)时,恒有

|f(x)-a|<ε

则称a为函数f(x)在x→x0时的左(或右)极限.

左极限记作

　或　

右极限记作

　或　

类似地,可得函数极限f(x)(或的ε -X定义.

定义5　设f(x)在大于某正数(或小于某负数)时有定义,a为某常数,若对∀ε>0,∃X>0,使得当x满足x>X(或x<-X)时,恒有

|f(x)-a|<ε

则称a为函数f(x)在x→+∞(或x→-∞)时的极限,记作

(或

极限与(x) 也称为函数f(x)的单侧极限.

由函数极限的定义,有

定理的充要条件为a.

的充要条件为a.

请读者自证.

利用定理1,考察下列函数的单侧极限与极限,易知:

由于,因此；

由于,因此不存在.

需要指出的是函数极限的子极限的种类还有很多,例如取+2nπ且n→∞及x=(2n+1)π且n→∞,它们都是变化过程x→∞的子过程.因此任何一个极限可以有无数个子极限,如果仅仅有两个子极限存在并相等,不一定能推出原来极限的存在性；反之,若原来的极限存在,则其所有子极限必存在且相等.常利用定理1和这些结论来考察某个极限的存在性.

把变化过程n→∞看作在变化过程x→+∞中附加条件x=n(n∈N+)后的子过程,因此数列极限f(n)=A显然是函数极限f(x)的一个子极限.

1.3.4　极限不存在的情形

若在自变量的某个变化过程中,函数f(x)不能与某个确定的值无限接近,则f(x)在此变化过程中的极限不存在.极限不存在的具体情况可能很复杂,下面举出几种常见的类型.

1) 当x→x0或x→∞时,函数的绝对值无限增大

如果在x的某一变化过程中,对应函数f(x)的绝对值|f(x)|无限增大,那么f(x)就不可能向某一定值逼近,因此f(x)在此变化过程中的极限就不存在.

这时,虽然极限不存在,但由于|f(x)|是随着x的变化而无限增大,有一定的变化趋势,这个变化趋势就是对应函数f(x)的绝对值无限增大,因此称函数f(x)为在这个变化过程中的无穷大,记作

这里x→□表示x→x0或x→∞等某个自变量的变化过程,后文中x→□表示同样的意义,不再一一说明.

因此f(x)=∞中的 “∞”不是某一定值,它表示f(x)的绝对值无限增大的变化趋势.这时极限f(x)是不存在的.

例如,当x→0时,函数的绝对值无限增大,因此∞.

2) 当x→x0或x→∞时,函数没有确定的变化趋势

如果在x的某一变化过程中,对应函数f(x)趋向于不同的常数,或在几个不同的常数间变化,那么在x的该变化过程中,极限f(x)不存在.

例如f(x)=sinx,当x→∞时,f(x)的值在-1与1之间不断地来回振荡变化,没有确定的趋向.当取x=kπ(k∈N),且k→∞,则有x→∞,这时

sinx=sinkπ=0

当取,且k→∞,则有x→∞,这时

等等.因此当x→∞时sinx的值在-1与1之间变化、振荡,故sinx不存在.

类似地可知极限与也同样是不存在的.

3) 当x→x0或x→∞时两侧极限中有一个不存在或它们不相等

例10　设,讨论的存在性.

解　由于

故不存在.

1.3.5　极限的性质

利用函数极限的定义,可得下列极限的性质.

1) 唯一性

定理2　若f(x)存在,则极限唯一.

证　(反证法)假设极限不唯一,则存在两个不相等的常数a,b,使得f(x)=a与f(x)=b均成立.不妨设b>a,由于

取,则∃δ1>0,当x满足0<|x-x0|<δ1时,恒有

即

(1-5)

又由于

仍取,则∃δ2>0,当x满足0<|x-x0|<δ2时,恒有

即

(1-6)

取δ=min{δ1,δ2},则当x满足0<|x-x0|<δ时,上面(1-5)、(1-6)两式均成立,但这是不可能的.

所以极限唯一.证毕.

2) 局部有界性

定理3　若(x)存在,则∃δ>0,当时,f(x)有界.

证　设(x)=a,由极限定义,取ε=1,则∃δ>0,当x满足0<|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<1,即

a-1<f(x)<a+1

所以当时,f(x)有界.证毕.

3) 局部保号性

定理4　若(x)=a,且a>0(或a<0),则∃δ>0,当时,f(x)>0(或f(x)<0).

证　由

(x)=a且a>0

取,则∃δ>0,当时,恒有

即

故

对于a<0的情形,同理可证结论成立.证毕.

推论1　若(x)=a,且∃δ>0,当时,f(x)≥0(或f(x)≤0),则a≥0(或a≤0).

证　因为推论1是定理4的逆否命题，故推论1成立.证毕.

以上结论对于极限的其他极限过程也在相应的情形下成立.

习题1.3

1.用ε -δ定义证明下列极限:

.

2.用ε -X定义证明下列极限:

.

3.求x→0时,φ的左右极限,并说明与φ(x)是否存在.

4.设,求(x).

5.设,则,但f(x)是无界函数,问上述情况与极限的有界性是否矛盾?

6.举例说明:命题“若f(x)=a,则”的逆命题不成立.

1.4　无穷小量与无穷大量

前面我们已经阐明了数列与函数极限,接下来再研究一类比较简单但又非常重要的函数即无穷小量.无穷小量在极限理论与极限计算中都具有非常重要的意义.本节简单介绍无穷小与无穷大的有关概念和一些常用的基本性质.为了讨论的简便,以“x→□”表示自变量x的某一变化过程,在证明时,仅按x→x0的情况来给出.其他变化过程的证明由读者自证.

1.4.1　无穷小量

定义1　若(x)=0,则称函数f(x)为当x→□时的无穷小量,简称无穷小.

特别地,若,则称数列{xn}是n→∞时的无穷小.

例如,由于=0,所以函数是x→∞时的无穷小；由于0=0,所以常数0可以看作任意变化过程时的无穷小；由于=0,所以数列是n→∞时的无穷小.

应当指出无穷小是对应特殊变化过程时的变量或函数,不能将它与绝对值很小很小的固定常数混为一谈.任何非零常数无论其绝对值多么小,都不是无穷小.由于零的极限是零,所以零是唯一可以作为无穷小的常数.

因为无穷小是以零为极限的函数,所以无穷小与函数的极限之间有以下密切联系.

由函数极限的定义可知:(x)=A ⟺ ∀ε>0,∃正数δ,使得当x满足0<|x-x0|<δ时,不等式

|f(x)-A|<ε

恒成立,则

因此

⟺

上述分析过程可以类推到其他变化过程,由此可得极限的一个充要条件.

定理的充要条件为.

由定理1可知,如果f(x)=A,则(x)-A)=0,即f(x)-A就是x→□时的无穷小,将该无穷小记作α(x),则

f(x)-A=α(x)

显然

则

由此可得极限的另一个充要条件.

定理(x)=A的充要条件为f(x)=A+α(x)(其中(x)=0).

定理1与定理2的结论对数列极限也同样成立.

例1　求函数当x→∞时的极限,并说明理由.

解　由于

而

由定理2得

无穷小有以下基本性质.

定理3　两个无穷小的和仍为无穷小.

证　设α(x),β(x)都是变化过程x→x0时的无穷小,由极限定义可知,对∀ε,∃正数δ,当x满足0<|x-x0|<δ时,不等式

都成立.故

即γ(x)=α(x)+β(x)也是当x→x0时的无穷小.定理得证.

推论1　有限个无穷小的和仍是无穷小.

定理4　有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

证　设函数u(x)是在x0的某去心邻域内的有界函数,即∃δ1>0及M>0,当时,有

|u(x)|≤M

(1-7)

并设α(x)是x→x0时的无穷小,则∀ε>0,∃δ2>0,当时,有

(1-8)

取δ=min{δ1,δ2},则当时,上面两个不等式(1-7)与(1-8)同时成立,因此

即α(x)·u(x)为x→x0时的无穷小.定理得证.

由定理4可得如下推论2与推论3.

推论2　常量与无穷小的乘积仍为无穷小.

推论3　有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

利用定理4可以求一类特殊极限.

例2　求.

解　因为

而,即arctanx是有界函数,由定理4可知,是当x→∞时的无穷小.即

例3　求.

解　因为

又

即是有界函数,因此

下面介绍另一类常用变量,即所谓的无穷大量.

1.4.2　无穷大量

在前面,已经多次提到“无穷大”这个概念,这里对这一变化状态给出确切的定义.

我们知道,当x→□时,对应函数的绝对值|f(x)|无限增大,就称函数f(x)为当x→□时的无穷大量.

设M为任意取定的大正数M,则不等式|f(x)|>M表示函数的绝对值|f(x)|可以超过预先任意给定的大正数M,因此由M的任意性可知,不等式|f(x)|>M表示函数的绝对值无限增大.再结合无穷大对应的极限过程的精确描述,由此得到下面的定义.

定义2　若对于任意的大正数M,总存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|f(x)|>M成立,则称函数f(x)为当x→x0时的无穷大量,简称无穷大.

但为了方便叙述函数的这一性态,我们也称这时函数的“极限”是无穷大,并记作f(x)=∞.

对其他极限过程的无穷大有类似的定义,请读者自己给出.

需要指出,无穷大是函数极限不存在的一种情形.同时要注意,当函数f(x)为当x→□时的无穷大时,由于|f(x)|可以无限大,因此无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大.另外还要指出无穷大不是数,而是对应特定变化过程时的函数或变量,不能与很大的数(几亿、万亿等)混为一谈.

例如:当x→0时,函数无界但不是无穷大量.

说明:由于取→0时,对应函数值,这时对应函数值随n的增大而无限增大,因此x→0时,是无界函数.

由于取→0时,对应函数值=0,这时对应函数值随n的增大总等于零,因此当x→0时,无论选取多大的正数M,总有无数的x→0点对应的函数值总是等于0,因而它们对应的函数值就不满足不等式|f(x)|>M,因而函数f(x)当x→0时不是无穷大量.

综上分析可知:函数当x→0时无界但不是无穷大量.

1.4.3　无穷大量与无穷小量之间的关系

在同一变化过程中,无穷大量与无穷小量有如下的密切关系.

定理5　在自变量的同一变化过程中,若f(x)为无穷大,则为无穷小；若f(x)为无穷小且f(x)≠0,则为无穷大.

证明略.

习题1.4

1.根据定义证明下列函数是x→0时的无穷小:

(1) 1-cosx.　　　.

2.根据定义证明下列数列是n→∞时的无穷大:

(1) {3n}.　　　.

3.求函数当x→∞时的极限,并说明理由.

4.说明自变量x在怎样的变化过程中,下列函数为无穷小:

.

(3) y=ex.　　　.

5.说明自变量x在怎样的变化过程中,下列函数为无穷大:

.

(3) y=ex.　　　.

6.利用无穷小的性质求下列极限:

.

(2n)].

7.两个无穷小的商是否一定为无穷小?两个无穷大的和是否一定为无穷大?举例说明你的结论.

1.5　极限运算法则

极限的定义只能用来证明极限,而不能用来计算极限,本节将利用无穷小的性质先建立极限的运算法则,然后运用这些法则求一些极限.

在下面的讨论中,有关定理的证明仅以x→x0的情形为例给出.其他变化过程的证明由读者自证.

1.5.1　极限的四则运算法则

定理1　设,则

(=A±B).

(1-9)

(=AB).

(1-10)

(3) 如果B≠0,则.

(1-11)

证　(1) 因为

所以当x→□时,f(x)-A与g(x)-B均为无穷小,因而这两个无穷小的代数和

[f(x)-A]±[g(x)-B]=[f(x)±g(x)]-[A±B]

仍是当x→□时的无穷小,因此

(2) 由题设,可令

f(x)-A=α(x),　g(x)-B=β(x)　(这里

则

f(x)·g(x) =[A+α(x)]·[B+β(x)]

=AB+[A·β(x)+B·α(x)+α(x)·β(x)]

由无穷小的性质可知,上式中的函数A·β(x)+B·α(x)+α(x)·β(x)是x→□时的无穷小,因此

(3) 当B≠0时,因为

由无穷小的性质可知,上式分子中的函数Bα(x)-Aβ(x)是x→□时的无穷小,而

因此取,当x→□时,有

即

即

由此可知,当x→□时,是局部有界的.

所以是一个当x→□时的无穷小,即

即

定理1中的式(1-9)与(1-10)可以推广到有限个函数相加、相减及相乘的情形.

推论1　设当x→□时,函数f1(x),f2(x),…,fn(x)(n∈N+)的极限都存在,则

(1-12)

(x).

(1-13)

推论2　设存在,则

(C为常数).

(1-14)

.

(1-15)

注意：上面所有的结论对数列极限也同样成立.

由1.2节的结论可知,当x0在相应的三角函数的定义域内时,就有

sinx=sinx0

(1-16)

cosx=cosx0

(1-17)

再根据定理1中极限的商的运算法则可得

tanx=tanx0

(1-18)

cotx=cotx0

(1-19)

secx=secx0

(1-20)

cscx=cscx0

(1-21)

例1　求).

解.

例2　令Pn(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn(n为正整数),求(x).

解

=Pn(x0)

由例2可知,任何多项式函数在有限点处的极限都等于该点处的函数值.

例3　求.

解　由例2的结论,可知

(x4-1)=16-1=15

由极限的运算法则,可得

一般地,设P(x),Q(x)均为多项式函数,则

当Q(x0)≠0时,有

(1-22)

但当Q(x0)=0时,上式不成立.

下面讨论Q(x0)=0时,求的方法.

例4　求.

解　当x→1时,分母极限为0,故此极限不能直接用极限的商的运算法则来求.由于分子极限也为0,显然这时分子与分母有公因式(x-1),我们知道函数在x→x0时的极限与它在x=x0处是否有意义无关,因此在求x→x0的极限时,不妨设x≠x0,即x-x0≠0.这样,求极限时可约去公因式(x-x0),从而化为能用极限的商的运算法则来求的极限,即

由例4可知,当x→x0时分母、分子的极限都是0,把这样的极限称为型.对于型的极限,可以先对函数恒等变形并分解因式,消去公因式后再用极限的商的运算法则求极限.在该类极限中,公因式一般多为极限为零的因式,我们常把极限为零的因式称为零因子,把这种消去公共零因子后再运用极限的运算法则求极限的方法称为消去零因子法.该方法适用于型的极限中.

例5　求.

解　因为分母极限(x2-4x+3)=0,故不能用极限的商的运算法则,但由于其分子极限(2x-1)=1≠0,故可先求其倒数函数的极限，即

再利用无穷小的倒数为无穷大,得

例6　求.

解　这是型极限,由于含有无理式,一般先将该无理式进行有理化,再利用消去零因子法求极限.即

上述有理化方法也是求含有无理式极限的常用技巧.

例7　设n次多项式函数Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且an≠0,求(x).

解　由于xk=∞(k>0),属于极限不存在的情形,故Pn(x)不能用运算法则求,由

由于

则

因此

所以

(1-23)

例8　求.

解　当x→∞时,分子、分母都是无穷大,把这样的极限称为型.对于型的极限不能直接运用极限的运算法则,这时通常可以将分子、分母同除以x(x为该极限中的“∞”项)的最高次幂,由此式中各项的极限就都存在了.然后就可以利用极限的运算法则求解了.即

例9　求.

解

例10　求.

解　因为

所以

从例8、9、10中可以看出,当x→∞时,多项式之比的极限为型,它们的极限与多项式的次数有关,具体有如下结论:

一般地,设n,m为两个自然数,且am≠0,bn≠0,则

例11　求.

解　因为=∞,把这样的极限称为∞-∞型.对于∞-∞型的极限不能直接运用极限的差的运算法则,常先对函数进行恒等变形(如先通分，再分解因式，并消去公因式等),再运用极限的运算法则求极限,即

例12　求.

解　当n→∞时,式子的项数趋于无穷多,不能直接用运算法则,这时可对该式先恒等变形,化为关于n的初等函数后,再求极限.即

1.5.2　复合函数的极限运算法则

定理2　设y=f(u)与u=φ(x)的复合函数f[φ(x)]在点x0的某去心邻域内有定义,若,且在点x0的某去心邻域内φ(x)≠a,又(u)=A,则复合函数f[φ(x)]的极限也存在,且

(1-24)

*证　由于(u)=A,故∀ε>0,∃η>0,当u满足0<|u-a|<η时,有不等式

|f(u)-A|<ε

又由于(x)=a,则对上面的η>0,∃δ1>0,当x满足0<|x-x0|<δ1时,有

|φ(x)-a|<η

再由题设可知,∃δ2>0,当x满足0<|x-x0|<δ2时,有φ(x)≠a,即有

0<|φ(x)-a|

取δ=min{δ1,δ2},则当x满足0<|x-x0|<δ时,上面两个不等式同时成立,即有

0<|φ(x)-a|<η

即

0<|u-a|<η

因此

|f(u)-A|<ε

即有

|f[φ(x)]-A|<ε

故

证毕.

在定理2中,若把φ(x)=a换成或,而把换成,结论也成立.

定理2的含义是:在相应的条件下,求f[φ(x)]可化为求f(u),这里u=φ(x)(x).

例13　求.

解　令u=x2,因为,则

sinu=1

利用复合函数的运算性质可以得到幂指函数的极限公式如下:

设

则

证

由于

g(x)·lnf(x)=blna=lnab

则

则有

说明:这里用到的两个结论lnx=lnx0及将在1.8节中给出证明.

习题1.5

1.计算下列极限:

).　　　　　　.

2.求下列各极限:

).　　　　.

.

3.求下列各极限:

.

4.已知,求常数a,b的值.

1.6　极限存在准则及两个重要极限

上一节我们讨论了可以利用运算法则求极限,但前提是各项极限都必须存在,也就是说要预先判别各项极限的存在性,只有在判定各项极限都存在的情况下极限运算法则才有意义.因此在数学中,存在性问题总是居于重要地位.那么如何判别极限的存在性呢?极限定义的作用在这方面是非常小的,本节将介绍依靠函数或数列本身内在性质来判定极限存在的两个准则,并利用它们推出两个重要极限.

1.6.1　准则Ⅰ(夹逼准则)

准则Ⅰ　若函数f(x),g(x),h(x)在点x0的某去心邻域内满足条件:

(1) g(x)≤f(x)≤h(x),

,

则存在,且等于a.

证　由于(x)=a,因此,对∀ε>0,∃δ1>0,当x满足0<|x-x0|<δ1时,有|g(x)-a|<ε,即

a-ε<g(x)<a+ε

(1-25)

又由于(x)=a,则对上面的ε>0,∃δ2>0,当x满足0<|x-x0|<δ2时,有|h(x)-a|<ε,即

a-ε<h(x)<a+ε

(1-26)

取δ=min{δ1,δ2},则当x满足0<|x-x0|<δ时,(1-25)、(1-26)两式同时成立,再由条件(1),有

a-ε<g(x)≤f(x)≤h(x)<a+ε

即

|f(x)-a|<ε

所以

这个准则也适用于自变量的其他变化过程.对于数列极限也同样成立.

图1-23

例1　证明.

证　在单位圆中,设∠AOM=x,且,由于在单位圆中的弧度用x表示,则有向线段BM=sinx,TA=tanx,弧(图1-23),由于

△OAM的面积<扇形OAM的面积<△OAT的面积

即

tanx

当时,sinx>0,用除上式各项,不等式化为

又由于,因此式子当时也成立，故上式在时成立.又已知

1=1

由夹逼准则,可得

该极限在极限理论与计算中都有重要应用,所以称该极限为重要极限一.

例2　计算.

解

.

解

例4　计算.

解

例5　计算.

解

例6　计算.

解　因为,则

例7　求.

证　因

又

由夹逼准则,得

1.6.2　准则Ⅱ(单调有界准则)

定义1　称满足条件xn≤xn+1(或xn≥xn+1)(n=1,2,…)的数列{xn}为单调增加(或减少)数列.

单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列.

对于数列{xn},若存在两个数M1,M2(设M1<M2),使得∀xn都满足不等式

M1≤xn≤M2

则称{xn}为有界数列,M1为其下界,M2为其上界.

由极限性质可知,收敛数列必定有界,但有界的数列不一定收敛,例如有界数列{1-(-1)n}是发散的.如果有界数列要收敛,则它的点在数轴上必须密集在某个数的周围,或向某个数无限接近,再结合单调数列的特点,我们得到判别数列极限存在性的另一个准则.

准则Ⅱ　单调有界数列必有极限.

准则Ⅱ的证明超出本书要求,所以从略,我们从直观上给出如下的几何解释,以帮助读者理解.

由于数列{xn}是单调有界的,因此它在数轴上对应的点xn只可能沿数轴在一个有限的区间(-M,M)内向左或向右向单方向移动.

不妨设{xn}是有界的单调增加数列,最小的上界为a(a≤M),则对应的项xn在数轴上都落在点a的左侧且不断从a的左边向点a移动,当n越大,对应的项xn增加的幅度只能越来越小,并从点a的左侧无限逼近它的最小上界a,因而a就是{xn}的极限.即

xn→a(n→∞)

同理可推得,如果数列{xn}为单调减少且有下界,则该数列必有极限(极限为该数列的最大下界).由此可知,单调有界数列必有极限,即准则Ⅱ成立.

准则Ⅱ可推广到如等变化过程对应的单侧极限的情形中,但不能推广到诸如x→x0,x→∞等变化过程对应的双侧极限的情形中.

下面利用准则Ⅱ讨论数列极限n.

考察数列

先证{xn}单调增加:

由二项式定理

比较xn与xn+1的展开式,注意到

…

即除前两项相同外,从第三项开始xn+1的每一项都大于xn的相应项,且xn+1比xn最后还多了一个正项(最后一项),因此

xn<xn+1　(n=1,2,3,…)

即{xn}单调增加.

下面再证{xn}上有界:

由xn的展开式可知

即{xn}上有界.

因此该数列{xn}单调增加且有上界,由准则Ⅱ可知,极限n存在,将该极限用字母e表示,即

可证明e是一个无理数,且2<e<3,它的值为e=2.718 281 828 459 045…

利用夹逼准则及上述极限还可进一步推广到更一般的函数极限形式:

由于该极限在数学理论和工程技术中都有重要应用,所以也称该极限为重要极限二.

若作代换,则x→∞相当于t→0,所以上式又可写为

因此重要极限二在应用中有如下三种常用的形式:

例8　求.

解

=1·e3=e3

例9　求.

解

=e2·1=e2

例10　求.

解

一般地,若g(x)=∞,则称为1∞型极限,对于1∞型极限常利用重要极限二来求.

例11　设,证明数列{xn}收敛,并求这个极限.

证　首先证明该数列是单调有界的:

故{xn}有下界.又

所以{xn}单调减少且有下界,则{xn}有极限.

设xn=l,对递推公式两边取n→∞时的极限,得

解得:舍去),即

习题1.6

1.填空.

________.　　________.

________.________.

________.________.

2.计算下列极限：

3.计算下列极限：

.

4.设数列,求.

5.计算.

6.计算.

7.利用单调有界准则证明下列数列{xn}收敛,并求其极限:

(n=2,3,…).

(n=1,2,…).

1.7　无穷小量的比较

我们已经知道两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小,但两个无穷小量的商的情形就较为复杂,例如下面几个简单的无穷小量的商的极限:

从上面三个极限中就看出:虽然当x→0时,x3,x2,x,1-cosx都是无穷小,但它们比值的极限却有着各自不同的情形,分析这些情形产生的原因，发现是由于各个无穷小趋于零的快慢程度不同而造成的.就上面的例子来说,在x→0的过程中,x2→0的速度比x→0要快,x2→0的速度比x3→0要慢,而1-cosx→0的速度与x2→0差不多,保持了倍数关系.事实上,两个无穷小的比较反映了两个无穷小趋于零的相对快慢程度,在高等数学中占有重要地位.下面我们利用两个无穷小的商的极限引入无穷小量阶的概念.

定义1　设α,β是同一变化过程中的两个无穷小,

(1) 若,则称在此变化过程中,α为β的高阶无穷小,记作α=o(β) (x→□或n→∞).

(2) 若=∞,则称在此变化过程中,α为β的低阶无穷小.

(3) 若=c(c为常数且c≠0),则称在此变化过程中,α是β的同阶无穷小；特别地,当c=1时,称在此变化过程中,α与β是等价无穷小,记作α～β (x→□或n→∞).

(4) 若,则称在此变化过程中,α为β的k阶无穷小.

一般地,当讨论无穷小α的阶数时,若极限过程为x→0,则常取β=x；当x→∞时,则常取；当x→x0时,则常取β=x-x0.

例如,由于

因此当x→0时,sin3x是x的高阶无穷小,即sin3x=o(x)(x→0).

因为

所以当n→∞时,是的低阶无穷小.

因为,所以当x→0时,1-cosx与x2是同阶无穷小.

因为,所以当x→0时,sinx与x是等价无穷小,即sinx～x(x→0).

例1　验证函数在x→0时是无穷小,并求其阶数.

解　由于

故函数在x→0时是无穷小,又

,

所以x→0时,是关于x的一阶无穷小.

下面着重讨论等价无穷小的几个重要性质.

性质1　在某一变化过程中,α与β是等价无穷小的充分必要条件为

α=β+o(β)　(x→□或n→∞时)

证　下面仅以x→x0的情形为例.

必要性　设α～β(x→x0),则

即

α-β=o(β)　(x→x0)

因此

α=β+o(β)　(x→x0)

充分性　设α=β+o(β)(x→x0)，则

则

α～β　(x→x0)

综上

α～β　(x→x0) ⟺ α=β+o(β)　(x→x0)

证毕.

例如,当x→0时,由于x+x2=x+o(x),因此x+x2～x(x→0)；当x→0时,由于sinx～x,因此sinx=x+o(x)(x→0).

性质2　当x→0时,有如下几组常用的等价无穷小:

sinx～x；　　　 tanx～x；　　　 arcsinx～x；

arctanx～x；； ln(1+x)～x；

ex-1～x； ax-1～xlna； (1+x)α-1～αx.

证　下面仅证其中三个.由于

因此,当x→0时

arctanx～x,　ln(1+x)～x,　ex-1～x

其他由读者自证.

性质3　设当x→□时,α(x)～α′(x),β(x)～β′(x),f(x)为已知函数,且存在(或为∞),则

证

证毕.同理可证如下类似结论:

性质3′　当x→□时,α(x)～α′(x),f(x)为已知函数,且(x)存在(或为∞),则

证明由读者自证.

例2　计算.

解　因为x→0时,sin2x～2x,tan3x～3x,所以

例3　计算.

解　因为x→0时,arcsin2x～2x,x2+2x=2x+o(2x)～2x,所以

例4　计算.

解　因为x→0时,,所以

例5　计算.

解　因为x→0时,,故

注意，利用无穷小代换时只能对函数中的乘积因子进行,对于其加减因式则不能进行无穷小代换,否则就会出错.例如对于极限,如果直接进行tanx～x,sinx～x的代换,则

而由上一节的例题可知其等于,显然上面的做法是错的.事实上有

.

习题1.7

1.当x→-1时,无穷小1+x与1-x2是否为同阶无穷小?是否为等价无穷小?

2.在指定的变化过程中,求下列无穷小的阶数:

(1) x→0时,sinx3.　　　　　　　 (2) x→1时,x3-3x+2.

3.证明:当x→0时,有

.

4.利用等价无穷小,计算下列极限:

5.证明无穷小的等价关系具有下列性质:

(1) α～α(自反性).

(2) 若α～β,则β～α(对称性).

(3) 若α～β,β～γ,则γ～α(传递性).

1.8　函数的连续性

很多函数曲线在某个区间上是连绵不断的,函数的这一特点具有普遍意义,在数学上形象地称之为函数的连续性,本节利用极限来研究函数的这一基本性态.

1.8.1　函数连续性的概念

我们观察到许多曲线的图形在一定的范围内是连续不间断的,其直观的概念是能够在笔不提起的情况下一笔画出一个函数的图形.自然界中的许多现象如空气、水的流动,气温高低变化等也都是连续变化着的.在数学上,称这些现象具有连续性.下面讨论一元函数的连续性.

为了准确地用数学语言描述函数的这种性态,先介绍增量(改变量)的概念.

1) 增量

若变量u从始点u1变化到终点u2,则称u2-u1为变量u的增量(或改变量),记作Δu,即

Δu=u2-u1　(或u2=u1+Δu)

当u的值变大、变小或不变时,对应的Δu分别为正数、负数、0(图1-24).

图1-24

设函数y=f(x)在U(x0)内有意义,自变量x的始点为x0,并在x0处有增量Δx,则x从x0变到了x0+Δx,相应地,函数y从f(x0)变到了f(x0+Δx),这时函数的增量为

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

2) 函数在点x0处的连续性

容易观察到,如果曲线y=f(x)在定义域内的点x0处的图形没有断开,这时f(x)在x0处就有一个共同的特点:当自变量的改变量无限小时,相应函数值的改变量也无限小.例如关于细金属丝的长度,当温度T的增量ΔT很微小时,其相应的长度l的增量Δl也很微小,而且|Δl|可以小于预先任意指定的程度,只要|ΔT|充分小.即当ΔT→0时,Δl→0,我们将具有这种特性的点x0称为函数的连续点.

根据以上分析,给出函数在一点连续的定义如下.

定义1　设f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,若当自变量x的增量Δx=x-x0趋向于零时,对应函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋向于零,即

则称函数y=f(x)在点x0处连续.

由于

Δx=x-x0,　Δy=f(x)-f(x0)

则

⟺

故定义1与下面的的定义等价.

定义1′　设f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,若f(x)在点x0处满足

则称函数y=f(x)在点x0处连续.

由以上定义可知,函数f(x)在点x0处连续必须同时满足下列三个条件:

① y=f(x)在U(x0,δ)内有定义；

② 极限存在；

③).

根据左、右极限的定义,得到函数左、右连续的定义.

定义2　设函数y=f(x)在区间(x0-δ,x0]上有定义,若有,则称f(x)在点x0处左连续；设函数y=f(x)在区间[x0,x0+δ)上有定义,若有,则称f(x)在点x0处右连续.

由极限存在的充要条件可知:函数f(x)在点x0处连续的充要条件为f(x)在点x0处右连续且左连续.

例1　设，讨论f(x)在点x=1处的连续性.

解　由于f(1)=2,而

故f(x)在点x=1处右连续但不左连续,故f(x)在点x=1处不连续.

3) 函数在区间上的连续性

定义3　若函数y=f(x)在区间上每一点都连续,则称函数y=f(x)在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点处的连续是指左连续,在左端点处的连续是指右连续.

若函数f(x)在其定义域上的每一点处都连续,则称f(x)为定义域上的连续函数,简称连续函数.

例如对于多项式函数pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,由于(∀x0∈R)，故多项式函数在R内连续.

又如三角函数y=sinx,y=cosx,由于

cosx=cosx0　(∀x0∈R)

故它们也均在R内连续.

在几何上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.

1.8.2　函数的间断点

有的曲线在定义域上不是处处连续的,而会在某些点处断开,例如函数,它在x=0时无定义,其图形在该点处断开；又如函数y=tanx,它在(k=±1,±2,…)时无定义,其图形在这些点处断开；又如取整函数y=[x]，它在整数点处都有定义,但其图形在这些点处都是断开的.观察发现曲线上断开的这些点处都具有如下特征:函数在该点的邻近有定义,但在该点处不连续.将这类点称为函数的间断点.

定义4　设函数f(x)在点x0的某去心邻域(x0)内有定义,但在点x0处不连续,则称x0为函数f(x)的不连续点或间断点.

根据函数f(x)在点x0处连续的定义可知,当f(x)具有如下三种情形之一:

① 在x0的邻近有定义,但在x0处无定义；

② 在x0处有定义,但不存在；

③ 在x0处有定义,且).

此时点x0就是函数f(x)的间断点.

为了便于应用,需要对函数f(x)的间断点进行分类.根据函数在其间断点处左、右极限的存在性,通常可以将函数的间断点分成如下两种情形.

与均存在

如果函数在间断点x0处的左、右极限均存在,则称x0为函数的第一类间断点.在第一类间断点中又有如下的两种情形.

的情形

如果在第一类间断点处函数的左右极限存在但不相等,则称这类间断点为函数的跳跃型间断点.

例2　讨论函数

在x=0处的连续性.

解　由于

即

因此(x)不存在,即f(x)在x=0处不连续.

图1-25

上面例2中函数y=f(x)的图形在x=0处产生了间断且跳跃的现象.f(x)在x=0处产生这种间断的原因是f(x)在x=0处的左、右极限不相等,故x=0为函数的跳跃型间断点(如图1-25所示).

存在的情形

如果在第一类间断点处函数的左、右极限存在且相等,即极限存在,则称这类间断点为函数的可去型间断点.

例3　讨论函数

在x=1处的连续性.

解　f(x)在x=1处有定义,f(1)，且

但由于

图1-26

故f(x)在x=1处间断(如图1-26所示).

在例3中函数虽然在x=1处间断,但若把x=1的定义去掉,重新改变函数f(x)在x=1处的定义为f(1)=1,改变定义后的f(x)就在x=1处连续了,故x=1为函数f(x)的第一类可去型间断点.

例4　讨论函数在x=-2处的连续性.

解　f(x)在x=-2处无定义,故x=-2为f(x)的间断点.又

该函数虽然在x=-2处间断,但如果对f(x)在x=-2处,补充定义f(-2)=-4,使

那么f(x)在x=-2处就连续了.故x=-2为函数f(x)的第一类可去型间断点.

从例3及例4可以看到,虽然f(x)=A,但A≠f(x0)或f(x)在x0处无定义,所以x0为f(x)的间断点.对于这类间断点,都可以通过改变或补充定义的形式使改变后的函数在该点连续.故这类间断点都是函数的可去型间断点.

f(x)与中至少有一个不存在

如果函数在间断点x0处的左、右极限中至少有一个不存在,则称x0为函数的第二类间断点.

第二类间断点有如下的两种情形.

f(x)与中至少有一个为∞的情形

如果函数f(x)在间断点x0处的左、右极限中至少有一个为∞,这类间断点称为函数的无穷型间断点.

例5　讨论函数在x=0处的连续性.

解　因为x=0时,f(x)无定义,故f(x)在x=0处间断.又

即在间断点x=0处的极限为∞.

因此x=0为函数f(x)的第二类无穷型间断点.

f(x)与f(x)中至少有一个不存在(但不趋于无穷大)的情形

如果函数f(x)在间断点x0处的左、右极限中至少有一个不存在(但不趋于无穷大),这类间断点称为函数的振荡型间断点.在这类间断点处当x→x0时,f(x)的值往往在多个值之间来回摆动,因此这时f(x)与f(x)至少有一个不存在,但不等于无穷大.

例6　讨论函数在x=0处的连续性.

解　f(x)在x=0处无定义,故x=0为f(x)的间断点.

又因为当x→0时,的值在-1与1之间不断地变化,故不存在(且不为∞).

因此x=0为函数的第二类振荡型间断点.

1.8.3　连续函数的运算法则

1) 连续函数的四则运算法则

函数的连续性是由函数的极限来定义的,所以根据极限的四则运算法则,可得下面的连续函数的四则运算法则.

定理1　若函数f(x)与g(x)都在点x0处连续,则函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)都在点x0处连续,若再增加条件g(x0)≠0,则也在点x0处连续.

证　设函数f(x)，g(x)都在点x0处连续,所以

由极限的加、减、乘运算法则，可得

即f(x)±g(x)，f(x)·g(x)都在点x0处连续.

又当g(x0)≠0时,由极限的商运算法则,可得

从而在x0处连续.定理得证.

由于函数y=sinx,y=cosx均在R内连续,而

则三角函数tanx，cotx，secx，cscx在它们各自相应的定义区间上都是连续的.

综上所述,三角函数sinx，cosx，tanx，cotx，secx，cscx均在它们各自的定义区间上处处连续.

说明:这里的定义区间是指包含在定义域内的区间.

2) 反函数与复合函数的连续性

(1) 反函数的连续性

定理2　若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续,则其反函数x=f-1(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加(或减少)且连续.

证明略.

例如，由于y=sinx在上单调增加且连续,由定理2,反正弦函数y=arcsinx在闭区间[-1,1]上也单调增加且连续；同样的道理,其他反三角函数如y=arccosx在闭区间[-1,1]上单调减少且连续，y=arctanx在区间(-∞,+∞)内单调增加且连续，y=arccotx在区间(-∞,+∞)内单调减少且连续.

综上所述,三角函数与反三角函数都在其定义区间上连续.

(2) 复合函数的连续性

由复合函数的极限运算法则可推得下面的定理.

定理3　设函数u=φ(x)在x0处的极限为a,且y=f(u)在u=a处连续,则复合函数y=f[φ(x)]在x0处有极限,且

[φ(x)

证明略.

定理4　设函数u=φ(x)在x0处连续,且u0=φ(x0),y=f(u)在u0处连续,则复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续.即

[φ(x)]=f[φ(x0)]

证明略.

推论　由有限个连续函数经过层层复合所得到的复合函数仍然是连续函数.

例7　求.

解可看成由复合而成.因为

而函数y=tanu在u=3处连续,故

tanu=tan3.

例8　讨论函数的连续性.

解　函数可看成由y=eu及复合而成,y=eu在(-∞,+∞)内连续,在(-∞,0)及(0,+∞)内均连续,根据定理4,函数在(-∞,0)及(0,+∞)内连续.

又在x=0处无意义,故x=0为函数的间断点,由于

故x=0为函数的第二类无穷型间断点.

1.8.4　初等函数的连续性

1) 基本初等函数的连续性

我们知道三角函数与反三角函数均在相应的区间上连续，下面讨论指数函数、对数函数及幂函数的连续性.

例9　证明：指数函数y=ax(a>0,a≠1)在其定义域内处处连续.

证　∀x0∈R,有

故

即指数函数y=ax在其定义域R内处处连续.

由反函数的连续性可知,指数函数的反函数y=logax在其定义域(0,+∞)内也连续.

由于xa=ealnx,再由复合函数的连续性可知幂函数y=xa在其定义域内也是连续的.

综上所述,可知五类基本初等函数在它们的定义区间上都是连续的.再根据连续函数的四则运算及复合运算法则可得如下重要结论:

一切初等函数在其定义区间上处处连续.

利用这一结论,对已知连续性的函数,求极限就变得很简单:若f(x)在x0处连续,则

特别地,当f(x)为初等函数,而x0是f(x)在其定义区间内的点时,有

例10　求下列极限：

lntanx.　　　.

解　(1) 由于函数lntanx在处连续,所以

(2) 由于函数,故该函数在x=2处连续,所以

例11　设函数在x=0处连续,求a的值.

解　由f(0)=e0=1,且

根据f(x)在x=0处连续,得

解得,a=1时,f(x)在x=0处连续.

例12　求函数的间断点,并判别其类型.

解　由sinx=0,解得

x=kπ　(k=0,±1,±2,…)

当x=kπ(k=0,±1,±2,…)时,f(x)无意义,故x=kπ(k=0,±1,±2,…)均为的间断点.

当x=0时,由于

故x=0为f(x)的第一类可去型间断点；

当x=kπ(k=±1,±2,…)时,由于

故x=kπ(k=±1,±2,…)为f(x)的第二类无穷型间断点.

习题1.8

1.判断下列命题是否成立:

(1) 若函数f(x)在x0处有定义,且极限(x)存在,则f(x)在x0处连续.

(2) 若函数f(x)在x0处连续,g(x)在x0处间断,则函数f(x)+g(x)在x0处间断.

(3) 若函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,则f(x)在任一闭区间[a,b]上连续.

(4) 分段函数必存在间断点.

2.利用函数的连续性求下列极限:

3.讨论下列函数在指定点处的连续性,若为间断点,则指出间断点的类型:

在x=0处.

在x=π处.

在x=2处.

4.求下列函数的间断点,并判别其类型:

.

5.设,求a,b的值,使f(x)在x=0处连续.

6.设，当k取何值时,f(x)在x=0处连续?

1.9　闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数具有如下几条重要性质,这些性质在几何图形中看来是非常明显的,它们对后面的内容起着很重要的作用.

1.9.1　最大值与最小值定理

1) 最大(小)值的概念

定义1　设函数f(x)在区间I上有定义,若∃x0∈I,对∀x∈I都有

f(x)≤f(x0)　(或f(x)≥f(x0))

则称f(x0)为函数f(x)在I上的最大值(或最小值),记作

　(或

例如,y=1-sinx,在闭区间[0,2π]上有

而y=x2在开区间(a,b)(b>a>0)内既无最大值又无最小值.

2) 最大(小)值存在定理

定理1　在闭区间上连续的函数必在该区间上取得最大值与最小值.

证明略.

定理1是指,如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在两点x1和x2,使得对∀x∈[a,b],恒有

f(x1)≤f(x)≤f(x2)

图1-27

即f(x1)与f(x2)分别是f(x)在[a,b]上的最小值与最大值(图1-27).这样的点x1,x2在[a,b]上一定存在,有可能在(a,b)内,也有可能是闭区间的端点.

必须注意该性质在开区间内不一定成立.例如定义在区间内的连续函数y=tanx在内就取不到最大值与最小值,而在上的连续函数y=tanx就有最大值与最小值.

另外还要注意,若函数在闭区间上有间断点时,也不一定有此性质.例如,

显然f(x)在闭区间[0,2]上有定义,但

图1-28

因此x=1为f(x)的间断点,事实上,f(x)在闭区间[0,2]上不存在最大值与最小值(如图1-28所示).

由定理1显然可得到下面的有界性定理.

1.9.2　有界性定理

定理2　在闭区间上连续的函数在该区间上必有界.

证　设f(x)在[a,b]上连续,由定理1知道,f(x)在[a,b]上一定能取到最大值M与最小值m,即∀x∈[a,b],有

m≤f(x)≤M

故f(x)在[a,b]上有界.

1.9.3　零点存在定理与介值定理

若x0满足f(x0)=0,则称x0为函数f(x)的一个零点.

定理3(零点存在定理)　设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,如果f(x)在区间两端点处的值异号,则必在区间(a,b) 内取得零值.

证明略.

零点存在定理的意思是: 若f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),则至少存在一点ξ∈(a,b),使

f(ξ)=0

图1-29

在几何上,定理3表明,如果连续曲线y=f(x)的两个端点分别位于x轴的上、下两侧,则这段曲线与x轴至少有一个交点(图1-29).

在代数上,如果f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在开区间(a,b)内至少有一个根.

利用这一定理可研究方程f(x)=0的根的范围.

例1　证明方程sinx-x+1=0在(0,π)内至少有一个实根.

解　设f(x)=sinx-x+1,显然f(x)在[0,π]上连续,又由于

f(0)=1>0,　f(π)=sinπ-π+1=1-π<0

由零点存在定理可知,f(x)在(0,π)内至少有一个零点,即方程sinx-x+1=0在(0,π)内至少有一个实根.

定理4(介值定理)　设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则f(x)必能取得介于该区间端点处的两个数值f(a),f(b)之间的任何值.

介值定理的意思是:若f(x)在这区间的两端点处取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B,则对于介于A与B之间的任意一个实数C,在(a,b)内至少存在一点φ,使得f(φ)=C.

证　令F(x)=f(x)-C,则F(x)在[a,b]上连续.设f(a)=A，f(b)=B,因为C介于A,B之间,不妨设A<B,则

A<C<B

故

F(a)=A-C<0,　F(b)=B-C>0

由零点存在定理可知,∃ξ∈(a,b),使得F(ξ)=0,即

f(ξ)=C

推论　在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

该推论由读者自证.

例2　设非负函数f(x)在区间[a,b]上连续,x1,x2,…,xn是(a,b)内任意n个点,证明:∃ξ∈[a,b],使得

证　因为f(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0,故f(x)在[a,b]上存在最大值M与最小值m,且M,m均大于或等于0,则

由介值定理的推论可知,∃ξ∈[a,b],使得

习题1.9

1.证明方程x5-3x-1=0至少有一个介于1与2之间的实根.

2.证明方程sinx+x+1=0在开区间内至少有一个实根.

3.设a>0,b>0,证明方程x=asinx+b至少有一个不超过a+b的正根.

4.设f(x)在[a,b]上连续,a<x1<x2<b,证明:在[x1,x2]上必有ξ,使得

总复习题1

1.填空题.

(1) 已知,则f(x)=_________.

(2) 设函数f(x)，则f[f(x)]=_________.

_________.

(4) 当x→0时,无穷小tanx-sinx与xn是同阶无穷小,则n=_________.

_________.

2.已知f(x)=ex2,f[φ(x)]=1-x,且φ(x)≥0,求φ(x)并写出它的定义域.

3.求下列极限:

.

(x+1)-lnx].

.

.

4.已知,求a,l.

5.设,计算a的值.

6.设，讨论f(x)在x=0处连续时,a,b满足的条件.

7.设,求f(x)的间断点并说明其类型.

8.设有无穷型间断点x=0与可去型间断点x=1,求a的值.

9.设f(x)在[0,1]上连续,0≤f(x)≤1,证明:∃ξ∈[0,1],使f(ξ)=ξ.