泰勒中值定理

3　微分中值定理与导数的应用

上一章已经讨论了导数与微分的概念并解决了其计算问题,利用它们解决问题的方法称为微分法,本章将利用微分法进一步研究函数的一些重要性态.为此,先介绍微分学的基本理论——微分中值定理,它是导数应用的理论基础，然后在此基础上讨论函数本身的一些重要性质(如单调性、凹凸性、极值等).

3.1　微分中值定理

为了便于利用导数研究函数的一些重要性质,我们需要寻找差商与导数之间的直接关系,而不是它们之间的极限关系,这个直接关系就是微分中值定理,它是用微分法来研究函数本身性质的重要工具,也是解决实际问题的理论基础.微分中值定理有三种表现形式,下面首先介绍特殊形态下的形式——罗尔(Rolle)定理,再由它推出一般形态下的形式——拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.

3.1.1　罗尔定理

从几何上可以看到:在对于两端高度相等的连续光滑曲线上,必存在一条水平的切线(如图3-1所示)，这便是罗尔定理.为了罗尔定理证明的需要,下面先给出极值的定义和极值点的一条基本性质——费马定理.

图3-1

定义1　设f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,若∀,恒有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),则称f(x0)为f(x)的一个极大值(或极小值),函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点x0称为函数的极值点.

下面给出极值点的一个必要条件.

定理1(费马定理)　设函数f(x)在(a,b)内可导,x0为f(x)在(a,b)内的一个极大(极小)值点,则f′(x0)=0.

证　设x0为f(x)在(a,b)内的一个极大值点,取x0+Δx∈(a,b),则

f(x0+Δx)-f(x0)≤0

因此

(3-1)

(3-2)

由题设,f(x)在x0点处可导,则

再根据(3-1)、(3-2)两式,得

f′(x0)=0

同理可证,当f(x)在x0点处取得极小值时,也有f′(x0)=0.

综上结论成立.

该定理表明:可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是f′(x0)=0.

定理2(罗尔定理)　设函数y=f(x)满足:

① 在闭区间[a,b]上连续；

② 在开区间(a,b)内可导；

③ 且f(a)=f(b)，

则至少在(a,b)内存在一点ξ,使得

f′(ξ)=0

证　因为y=f(x)在[a,b]上连续,所以由闭区间上连续函数的性质可知,函数y=f(x)在[a,b]上必存在最大值M与最小值m.

(1) 若M=m,则在闭区间[a,b]上,有

M=m=f(a)=f(b)=f(x)

因此∀x∈(a,b),恒有f(x)≡M,故

f′(x)=0

结论成立.

(2) 若M≠m,由于f(a)=f(b),因此M与m中至少有一个在区间(a,b)内取得.不妨设最大值M在区间(a,b)内的ξ点处取得,即f(ξ)=M,则f(ξ)为f(x)在(a,b)内的一个极值点,又f(x)在(a,b)内可导,由费马定理可知:

f′(ξ)=0

故结论成立.

证毕.

必须指出:罗尔定理仅给出了ξ的存在性,指出了ξ的一个大概范围为ξ∈(a,b),并没有给出ξ的准确位置.

罗尔定理的几何意义(图3-1)为:两端点值相等的连续光滑曲线弧段上,至少有一点的切线平行于x轴(或弧上至少有一条水平切线).

例1　对函数y=x2-2x+1在闭区间[0,2]上验证罗尔定理.

解　由于函数y=x2-2x+1在闭区间[0,2]上连续、可导,又

y(0)=y(2)=1

因此函数y在闭区间[0,2]上满足罗尔定理的三个条件.

事实上,y′=2x-2,当ξ=1时,有

f′(ξ)=0

显然ξ∈(0,2),因此,罗尔定理对函数y=x2-2x+1在闭区间[0,2]上成立.

利用罗尔定理可以讨论方程f′(x)=0的根的存在性以及证明一类形如“f′(ξ)=0”的存在性命题,下面举例说明.

例2　证明方程4ax3+3bx2+2cx-a-b-c=0至少有一个正根,其中a,b,c是任意常数.

证　构造函数

f(x)=ax4+bx3+cx2-(a+b+c)x

显然f(x)在闭区间[0,1]上连续,又在(0,1)内可导,且f(0)=0=f(1),根据罗尔定理可知,存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=0,即

4aξ3+3bξ2+2cξ-a-b-c=0

结论得证.

例3　设函数f(x)与g(x)均在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且

f(b)-f(a)=g(b)-g(a)

试证:在(a,b)内至少存在一点c,使得f′(c)=g′(c).

证　令F(x)=f(x)-g(x),由题意可知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又由

f(b)-f(a)=g(b)-g(a)

得

f(b)-g(b)=f(a)-g(a)

即

F(b)=F(a)

由罗尔定理可知,∃c∈(a,b),使得F′(c)=0成立,即

f′(c)=g′(c)

3.1.2　拉格朗日中值定理

取消罗尔定理中关于“函数在两端点处的函数值必须相等”的条件,就可得到一般情形下的微分中值定理,也称为拉格朗日中值定理.

定理3(拉格朗日中值定理)　若y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则∃ξ∈(a,b),使得

证　设辅助函数

则定理2的结论可写成

下面验证函数F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的三个条件.

由于f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,故F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.又

即

F(a)=F(b)

所以F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的三个条件.因此,由罗尔定理可知,∃ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0，即

(3-3)

证毕.

上面的式(3-3)也常常写成

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)

(3-4)

若设a=x0,b=x0+Δx,则式(3-3)可以表达为

f(x0+Δx)-f(x0)=f′(x0+θΔx)·Δx　(0<θ<1)

(3-5)

或

Δy=f′(x0+θΔx)·Δx　(0<θ<1)

(3-6)

拉格朗日中值定理实际上是罗尔定理的推广形式,也是微分学中十分重要的定理,因此又称为微分中值定理.由于式(3-6)的表达形式为增量形式,拉格朗日中值定理也称为有限增量公式.

图3-2

由于表示曲线两端连线的斜率,故拉格朗日中值定理的几何意义是:若连续曲线段上各点都有不垂直于x轴的切线,则在曲线上必存在一点C,该点处的切线平行于曲线两端的连线段(图3-2).

与罗尔定理一样,拉格朗日中值定理只确定了中值ξ的存在性,对于不同的函数,ξ的具体位置一般是不同的.当定理中的条件不成立时,结论就不一定成立.

推论　若函数f(x)在区间I上的导数恒为0,则f(x)在I上是一个常数函数.

证　设∀x1,x2∈I,且x1<x2,由题设可知,f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)内可导,则f(x)在[x1,x2]上可应用拉格朗日中值定理,即∃ξ∈(x1,x2),使得

f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)

由题设可知f′(ξ)=0,故

f(x2)-f(x1)=0

再由x1,x2的任意性可知,f(x)在I上的函数值总是相等的,即为常数.

例4　证明:x∈[0,1]时,恒有

证　令,则f(x)在[0,1]上连续可导,又

由推论可知:当x∈[0,1]时,f(x),又

故

例5　证明:当x>0时,不等式成立.

证　令f(x)=ln(1+x),则f(x)在[0,x](x>0)上连续、可导,且

由拉格朗日中值定理可知,存在一个ξ∈(0,x),使得

由于

所以

3.1.3　柯西中值定理

我们还可以将拉格朗日中值定理推广到用参数方程表示的函数的情形中.

若拉格朗日中值定理中的曲线段是用参数方程，x∈[a,b]表示的,这里x为参数,则曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为

两端点的连线段的斜率为

则由拉格朗日中值定理可知,在曲线上必存在一点C,该点处的切线平行于曲线段两端点的连线段.假定点C对应的参数x=ξ,则

相应的微分中值定理如下.

柯西中值定理　设f(x),g(x)都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x)≠0,则∃ξ∈(a,b),使

柯西中值定理也可利用罗尔定理来证明,请读者自证.

取g(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式.

例6　设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且0<a<b,证明:∃ξ∈(a,b),使得

成立.

证　由于,故设g(x)=lnx,则f(x)与g(x)都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且g′(x),由柯西中值定理可知,∃ξ∈(a,b),使得

即

成立.

习题3.1

1.对下列函数在指定的区间上验证罗尔定理条件是否满足?结论是否成立?

(1) y=sin2x在区间上.

(2) y=|x|在区间[-1,2]上.

2.不求函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出实根所在的区间.

3.设f(x)在[0,π]上可导,试证:在(0,π)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.

4.设函数f(x)内具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明：至少存在一个ξ∈(x1,x3),使得f″(ξ)=0.

5.证明:x∈[-1,1]时,有恒等式:.

6.设f(x),g(x)在区间(a,b)内可导,且f′(x)=g′(x),证明:∀x∈(a,b),恒有

f(x)-g(x)=C　(其中C为常数)

7.设a>b>0,证明:

8.证明不等式: |sinx-siny|≤|x-y|.

9.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且b>a>0.求证:∃ξ∈(a,b),使

2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f′(ξ)

3.2　洛必达法则

导数在研究函数中的一个重要应用是求未定式的极限.

如果当x→a(或x→∞)时,中的两个函数f(x),g(x)都趋于零或都趋于无穷大,这时它们商的极限可能存在,也可能不存在,通常称这样的极限为型或型未定式.例如,是型的,是型的.这里只是两个记号,并没有运算意义.显然这两类未定式的极限都不能直接用商的极限运算法则求,本节由柯西中值定理推出一套利用导数求这类极限的简便方法,该方法就是所谓的洛必达法则.

3.2.1　型未定式

先给出两个无穷小之比的极限的洛必达法则.

定理1(洛必达法则)　如果函数f(x),g(x)满足:

①；

② 在x0的某个去心邻域内,f′(x),g′(x)都存在,且g′(x)≠0；

③存在(或为无穷大),

则

(3-7)

证　因为极限与函数f(x),g(x)在x=x0处的值无关,所以不妨重新定义f(x0)=g(x0)=0,则在x=x0处重新定义后的函数f(x),g(x)在x0处连续,设x是x0的去心邻域内的任一点,再由条件①、②可知,在x=x0处重新定义后的函数f(x),g(x)在以x0,x为端点的闭区间上,满足柯西中值定理的条件,故

其中ξ介于x0与x之间.对上式求x→x0时的极限,由于当x→x0时,必有ξ→x0,再由条件③,得

定理1说明,当存在时,也存在,且等于；当为无穷大时,也为无穷大,这种在一定条件下利用公式(3-7)来求极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则.

必须指出,若仍为型,且f′(x),g′(x)仍能满足定理1中的条件①、②、③,则对f′(x),g′(x)可继续用洛必达法则,得

且可以此类推下去.

例1　计算.

解.

例2　计算.

解

例3　计算.

解

例4　计算.

解

必须指出,满足定理1的条件的型未定式可用洛必达法则求解,并可连续多次应用,直到不符合定理1的条件为止；当不是未定式的极限时就不能用洛必达法则求解.另外用该法则求极限时,可综合运用以前学过的方法,使计算过程更简单.

例5　计算.

解

注　该题不能用洛必达法则求解,因为用洛必达法则计算时,

由于极限不存在,故不能用洛必达法则求该极限，即这时洛必达法则失效.

从例5可知,洛必达法则的条件是充分的而不是必要的,当不存在(不包括∞)时,虽不能应用洛必达法则求解,但这时极限仍可能存在,不过应使用其他方法求解.

对x→∞时的型未定式,也有类似的洛必达法则.

只要令,则当x→∞时,有t→0,则

由此可得如下定理.

定理2　如果函数f(x),g(x)满足:

①；

② ∃X,当|x|>X时,f′(x),g′(x)都存在,且g′(x)≠0；

③存在(或为无穷大),

则

(3-8)

需要指出的是应用定理2时有与应用定理1同样的注意事项.

例6　计算.

解

3.2.2　型未定式

对于x→x0(或x→∞)时型未定式,也有类似的洛必达法则.

定理3　如果函数f(x),g(x)满足:

①；

② f′(x)，g′(x)在内(或|x|>X)时都存在,且g′(x)≠0；

③存在(或为无穷大),

则

(3-9)

证明略.

例7　计算.

解

例8　计算.

解

例9　计算(n为正整数).

解

3.2.3　其他类型未定式

关于0·∞、∞-∞、00、1∞、∞0这些未定式的极限,一般可以用代数的方法,即恒等变形,先将它们化为型或型未定式,再用洛必达法则求解.

一般地，若f(x)→0,g(x)→∞,则极限称为0·∞型未定式,这时可利用恒等变形

　

将0·∞型化为型或型未定式.

若f(x)→∞,g(x)→∞,则极限称为∞-∞型未定式,这时可利用通分,将它们化为型或型未定式.

采用类似方法可定义幂指函数的未定式.

幂指函数的未定式一般是指极限[f(x)g(x)]为00或1∞或∞0型的三种未定式.对这类极限可先取对数，将其化为0·∞型未定式,再求解.具体方法如下:

设y=f(x)g(x),对y=f(x)g(x)的两边取对数,得:lny=g(x)·lnf(x),即化为0·∞型未定式.这时利用0·∞型未定式后,再化为型或型的极限即可用洛必达法则求解.若求得其极限为

(x)]=A　(或+∞或-∞)

则有

　(或+∞或0)

(3-10)

例10　计算x.

解sin3x

sin3x

例11　计算.

解　原式

.

例12　计算.

解　令y=xx,两边取对数得

lny=x·lnx

由于

所以

习题3.2

1.用洛必达法则求下列极限:

.

.

.

.

.

.

2.验证极限存在,但不能用洛必达法则求出.

3.设f(x)连续且存在二阶导数,且=0,f″(0)=4,试利用洛必达法则验证:

3.3　泰勒公式

3.3.1　泰勒多项式

我们经常需要计算一个函数f(x)在某点的邻域内的函数值,如果它是一个多项式函数,那么它在某点的值的计算就比较简单,只须进行有限次加、减、乘三种算术运算即可.但是,对其他类型的函数甚至最简单的基本初等函数如sinx,ex,lnx等,要精确计算它们的值就不那么简单了.人们自然要提出这样的问题:对于一般的函数f(x),是否能用多项式函数来近似,而使误差满足所需要的精确度呢?从而使原本复杂的函数计算变得简单易行.下面我们来讨论这个问题.

上一章的微分应用中我们曾利用微分(即一次多项式)近似代替函数f(x),当函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)≠0,|x-x0|很小时,有

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0)

(3-11)

显然式(3-11)右端是一个一次多项式,记作P1(x),即

P1(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)

易知P1(x)满足:

且误差为f(x)-P1(x)=o(x-x0),即用一次多项式P1(x)来近似代替f(x)时,其误差是比(x-x0)高阶的无穷小量.

可以设想,如果我们用一个适当高次的多项式Pn(x)来逼近f(x),其误差是否可能更小?

设多项式

Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n

(3-12)

满足下列n+1个条件：

Pn(x0)=f(x0),　且

(3-13)

从几何上看,条件组式(3-13)表示多项式函数y=Pn(x)的图形与曲线y=f(x)不仅有公共点M0(x0,f(x0)),且在M0处有相同的切线、相同的凹凸方向与弯度等.这样的Pn(x)逼近f(x)的效果应该比P1(x)要好得多.下面根据条件组式(3-13),求出Pn(x)的系数ak(k=0,1,2,…,n).

对式(3-12)给出的Pn(x),分别求一阶、二阶…n阶导数,有

P″n(x)=2!a2+3·2a3(x-x0)+…+n(n-1)an(x-x0)n-2

…

将x=x0代入上列各式,得

根据条件组式(3-13),解得

(3-14)

由此可得:当f(x)在x0处有n阶导数时,满足条件组式(3-13)的n次多项式Pn(x)是存在的,其系数由式(3-14)确定,由此得

(3-15)

称式(3-15)为f(x)在x0处的n阶泰勒(Taylor)多项式,式(3-14)为泰勒多项式的系数公式.假设用Pn(x)近似表达f(x)时的误差为Rn(x),则

f(x) =Pn(x)+Rn(x)

误差项Rn(x)也称为余项.

关于f(x),Pn(x)与余项Rn(x)之间的关系,有下面的泰勒中值定理.

3.3.2　泰勒中值定理

定理(泰勒中值定理)　设函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数,则∀x∈(a,b),有

(3-16)

其中

(3-17)

这里ξ是介于x0与x之间的某个值.

证　由题意可知

Rn(x)=f(x)-Pn(x)

且Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,由于

故

只需证

介于x0和x之间)

下面对函数Rn(x)及(x-x0)n+1在以x0,x为端点的区间上连续应用(n+1)次柯西中值定理,有

介于x0与x之间)

(ξ2介于x0与x之间)

=…

其中ξ介于x0与ξn之间,因而也介于x0与x之间,所以

又

　(因为

所以

定理证毕.

称式(3-16)为函数f(x)按x-x0的幂展开的n阶泰勒公式,称式(3-17)中的余项形式为拉格朗日型余项.由于ξ介于x与x0之间,所以ξ也可表示为

ξ=x0+θ(x-x0)　(0<θ<1)

取x0=0,可得f(x)按x的幂展开的n阶泰勒公式:

(3-18)

称式(3-18)为函数f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式.

取n=0,泰勒公式(3-16)成为拉格朗日中值公式:

f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0)　(ξ介于x0与x之间)

因此拉格朗日中值定理是泰勒中值定理当n=0时的特殊形式.

易知当x→x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即

|Rn(x)|=o[(x-x0)n]

称上面的余项公式为佩亚诺(Peano)型余项.

当不需要精确表达余项时,n阶泰勒公式常写成

(3-19)

称式(3-19)为函数f(x)在x0处的带佩亚诺(Peano)型余项的n阶泰勒公式.

在式(3-19)中,取x0=0,得

(3-20)

称式(3-20)为函数f(x)的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.

例1　将f(x)=tanx在处展开成三阶泰勒公式,求出余项的表达式,并指明展开式成立的范围.

解

f‴(x)=2sec2x·(3tan2x+1),　f‴=16

f(4)(x)=8tanx·sec2x·(3sec2x-1)

所以

其中余项

因为tanx在内任意阶可导(k为整数),其中含的区间是,故上述展开式中x的取值范围为.

作为泰勒中值定理的一个直接应用,可以按照预先给定的精度计算函数f(x)在某点的函数值的近似值.

例2　写出函数f(x)=ex的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式,并计算e的近似值,使误差小于10-7.

解　因为

f(x)=f(k)(x)=ex　(k=0,1,2,…,n+1)

所以

f(0)=f′(0)=…=f(n)(0)=1

代入式(3-18),得ex的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式

令x=1,得

误差

　(因为eθ<e<3)

取n=10,得

误差

例3　求f(x)=ln(1+x)的麦克劳林展开式.

解　在x>-1时,

f′(x)=(1+x)-1

f″(x)=(-1)(1+x)-2

…

f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)-n

故

f(0)=0

f(n)(0)=(-1)n-1(n-1)!　(n=1,2，…)　(规定0!=1)

所以

例4　求f(x)=sinx的麦克劳林展开式.

解　在x∈(-∞,+∞)时,

即

所以

当取k=0时,得sinx的一次近似式为

sinx≈x

此时误差为

当取k=1时,得sinx的三次近似式为

x3

此时误差为

当取k=2时,得sinx的五次近似式为

x5

此时误差为

图3-3

图3-3是sinx及以上三个近似多项式的图形,读者可以进行比较.

类似地,还可得到

+R2m+1(x)

其中

习题3.3

1.写出在x0=1处的三阶泰勒公式.

2.将f(x)=x5-2x2+3x-5展开成(x-1)的n阶泰勒公式.

3.求f(x)=xe-x的带佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.

4.利用泰勒公式计算ln1.2的近似值(取n=5).

3.4　函数的单调性与曲线的凹凸性

本节将利用微分中值定理给出判断函数的单调性与曲线的凹凸性的方法,这些方法与初等数学方法相比,既简单又具有一般性的特征.

3.4.1　函数的单调性

函数的单调性是函数的主要性质之一,下面利用导数来研究函数的单调性的判别方法.

从图3-4(a)中可看出，当沿着单调增加函数的曲线从左向右移动时,曲线逐渐上升,它的切线的倾斜角α总是锐角,即这时斜率f′(x)>0；从图3-4(b)中可看出，当沿着单调减少函数的曲线从左向右移动时,曲线逐渐下降,其切线的倾斜角α总是钝角,即这时斜率f′(x)<0.

图3-4

从上面的几何直观中可得出:当函数在区间内是单调增加函数时,它在该区间内的导数恒为正；当函数在区间内是单调减少函数时,其导数在该区间内恒为负.由此我们猜想能否利用导数的符号来判别函数的单调性呢?根据微分中值定理,容易得到如下定理.

定理1　设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么

(1) 若在(a,b)内f′(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上严格单调增加.

(2) 若在(a,b)内f′(x)<0,则函数f(x)在[a,b]上严格单调减少.

证　(1) ∀x1,x2∈(a,b),不妨设x1<x2,由题设可知f(x)在[x1,x2]上连续、可导,即满足拉格朗日中值定理的条件,故∃ξ∈(x1,x2)⊂(a,b),使

f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)　(x1<ξ<x2)

由题设中条件(1)可知,f′(ξ)>0,故

f(x2)-f(x1)>0

所以函数f(x)在[a,b]上严格单调增加.

(2) 同理可证,当f′(x)<0时,f(x)在[a,b]上严格单调减少.

从证明过程中容易看出:如果定理1中的闭区间换成了其他各种区间(包括无穷区间),那么结论也成立.另外必须指出,如果连续函数的可导性仅在有限个点处不成立,这时定理1的结论仍成立.

利用定理1可判别函数的单调性并确定其单调区间.

例1　讨论函数的单调性.

解　f(x)在(-∞,+∞)内连续且可导,对f(x)求导,得

f′(x)=x2-2x=x(x-2)

由f′(x)=x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,x1,x2将f(x)的定义域(-∞,+∞)分成了三个部分区间,在每个部分区间上讨论函数的导数符号并根据导数符号判别其单调性.

当x∈(-∞,0)时,由于f′(x)>0,故这时f(x)严格单调增加；当x∈(0,2)时,由于f′(x)<0,故这时f(x)严格单调减少；当x∈(2,+∞)时,由于f′(x)>0,故这时f(x)严格单调增加.

综上所述,f(x)在区间(-∞,0]及[2,+∞)上严格单调增加,在区间(0,2)内严格单调减少.

例2　讨论函数f(x)=x3的单调性.

解　f(x)在(-∞,+∞)内连续且可导,对f(x)求导，得

f′(x)=3x2

可见,除了点x=0使f′(x)=0外,在其余各点处均有f′(x)>0,因此函数f(x)在区间(-∞,+∞)内严格单调增加(图3-5).

图3-5

例3　确定函数的单调区间.

解　f(x)在(-∞,+∞)内连续,对f(x)求导，得

由f′(x)=0,解得；由f′(x)不存在,解得x=0,x=1.

因此将(-∞,+∞)分成四个部分区间,显然f′(x)的正负性取决于因式(3x-1)与(x-1).下面列表讨论f′(x)在各部分区间内的符号(表3-1).

表3-1

由表3-1可见，函数f(x)单调增加的区间为与[1,+∞),单调减少的区间为.

一般地,若函数f(x)在定义区间上连续,且除去有限个导数不存在的点外,f(x)的导数均存在,这时可用导数为零的点和导数不存在的点将函数的定义区间划分成若干个部分区间,在各部分区间内f′(x)保持固定的符号,因而根据这些符号就可确定f(x)在每个部分区间上的单调性.利用函数的单调性还可证明一些不等式.

一般地,如果f(x)在(a,b)上恒有f′(x)≥0,则由定理1,可判定f(x)在[a,b]上单调增加,则当f(a)≥0时,就有f(x)>f(a)≥0(x∈(a,b)),从而可证得不等式f(x)>0成立.

例4　证明:当x≠0时,ex≥1+x.

证　设f(x)=ex-(1+x),则函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上连续、可导,且f(0)=0,因此只需证明:当x≠0时,有f(x)>0即可.

对f(x)求导得: f′(x)=ex-1,由f′(x)=0,解得x=0,故当x<0时,f′(x)<0,因此f(x)在(-∞,0)内严格单调递减,则当x<0时,有

f(x)>f(0)=0

即

f(x)>0

当x>0时,f′(x)>0,因此f(x)在(0,+∞)内严格单调递增,则当x>0时,有

f(x)>f(0)=0

即

f(x)>0

综上可得:当x≠0时恒有f(x)>0,即x≠0时,ex>1+x.

3.4.2　曲线的凹凸性与拐点

图3-6

在讨论函数的特性或者描述函数的图形时,仅了解其单调性是不够的.例如在图3-6中有两条曲线弧 与,它们都是单调上升的曲线,但图形却有着显著的不同,是向下凹陷的,是向上凸起的,它们的凹凸性不同.那么图形的凹凸性有什么本质属性,又如何来判别呢?

1) 曲线的凹凸性

从几何上看到,在凹陷的弧上(图3-7),任意两点的连线段总位于这两点间的弧段的上方,每一点处的切线总位于曲线的下方；而在向上凸起的曲线上,其情形正好相反(图3-8).对于曲线的这种凹陷、凸起的图形性质,称之为曲线的凹凸性.

图3-7

图3-8

定义1　设f(x)在区间(a,b)内连续,设x1,x2为(a,b)内的任意两点,如果

(1) 恒有,则称f(x)在(a,b)内的图形是(向上)凹的(或凹弧).

(2) 恒有,则称f(x)在(a,b)内的图形是(向上)凸的(或凸弧).

从图3-7与图3-8可看出,当曲线处处有切线时,凹(凸)弧的切线的斜率随着自变量x的逐渐增大而变大(小).如果函数y=f(x)是二阶可导的,这一特性(导数f′(x)的单调性)可由f″(x)的符号来判别,由此可得判断曲线凹凸性的一个方法.

定理2　设f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么

(1) 若在(a,b)内恒有f″(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的.

(2) 若在(a,b)内恒有f″(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

证　(1) 设∀x1,x2∈(a,b),且x1<x2,记.则

x1=x0-h,　x2=x0+h

由拉格朗日中值定理,得

f(x0)-f(x0-h)=f′(x0-θ1h)·h　(0<θ1<1)

f(x0+h)-f(x0)=f′(x0+θ2h)·h　(0<θ2<1)

将上面两式相减,得

f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=[f′(x0+θ2h)-f′(x0-θ1h)]·h

对f′(x)在区间[x0-θ1h,x0+θ2h]上应用拉格朗日中值定理,得

f′(x0+θ2h)-f′(x0-θ1h)=f″(ξ)(θ1+θ2)h

其中x0-θ1h<ξ<x0+θ2h.由于f″(ξ)>0,得

f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)=f″(ξ)·(θ1+θ2)h2>0

即

即

从而f(x)的图形在[a,b]上是凹的.

(2) 同理可证:当f″(x)<0时,f(x)的图形在[a,b]上是凸的.

此定理也适用于任意区间上的情形.由定理2可知,利用二阶导数的符号可求得函数的凹凸区间并判别其凹凸性.

例5　求曲线y=x3的凹凸区间并判别其凹凸性.

解　y′=3x2,y″=6x,由y″=6x=0解得x=0.

当x>0时,y″=6x>0,故曲线在[0,+∞)上是凹的；当x<0时,y″=6x<0,曲线在(-∞,0]上是凸的.由此可知曲线y=x3的凹区间为[0,+∞),凸区间为(-∞,0].

2) 拐点

从例5中可知,曲线y=x3在点x=0处,y″=0,且曲线经过点x=0的左、右两侧时,图形由凸弧变成凹弧.所以点(0,0)为曲线的一个凹凸弧形的分界点,也叫拐点.

定义2　设曲线y=f(x)在U(x0)内连续,若在点x0的左、右两侧邻近,曲线由凹弧变为凸弧或由凸弧变为凹弧,则称点(x0，f(x0))为该曲线的拐点.

如果函数y=f(x)在内具有二阶导数,且f″(x0)=0或f″(x0)不存在,而f″(x)在x0的左右两侧邻近的符号相反,则说明函数f(x)在点(x0,f(x0))的左右两侧凹凸性不同,故点(x0,f(x0))就是曲线y=f(x)的一个拐点.

由此可得,利用函数f(x)二阶导数的符号来判别该函数的凹凸区间与拐点的具体步骤为:

(1) 求函数的定义区间.

(2) 求f″(x),并在该区间内求出使f″(x)=0的点与f″(x)不存在的点.

(3) 用上面的点将定义区间分成若干个部分区间,考察函数在这些部分区间上f″(x)的符号.

(4) 利用f″(x)的符号,再根据定理2及定义2可以求得曲线的凹凸区间及拐点.

例6　求曲线的凹凸区间和拐点.

解　函数的定义区间为(-∞,+∞),有

由上式可知,x1=2时，y″=0；x2=1时，y″不存在.列表表示如下.

表3-2

由表3-2可知,曲线的凸区间为(-∞,1]与[2,+∞),曲线的凹区间为[1,2].又；x2=1时,故点与是曲线的两个拐点.

例7　问a,b为何值时,点(1,3)是曲线y=ax4+bx3的拐点?并求此时曲线的凹凸区间.

解　y″=12ax2+6bx

由于点(1,3)在该曲线上,将点(1,3)代入该曲线方程中得

a+b=3

又点(1,3)为曲线的拐点,故,解得a=-3,b=6.此时y″=-36x2+36x=36(x-x2),由y″=36(x-x2)=0,解得x1=0,x2=1.列表表示如下.

表3-3

由表3-3可知,曲线的凸区间为(-∞,0]与[1,+∞),曲线的凹区间为[0,1].

利用凹凸性可以证明一类特殊的不等式.

例8　证明:.

证　取,则

f′(t)=sec2t

f″(t)=2sectsecttant=2sec2ttant>0

所以在上,曲线f(t)=tant是凹的.因此当时,有

即

习题3.4

1.确定下列函数的单调区间:

(1) y=x3-3x2-9x+14.　　　　　.

(3) y=2x3-2x2+5..

2.证明下列不等式:

(1) x>1时,.

(2) x>0时,lnx>x.

时,.

3.求下列曲线的凹凸区间与拐点:

(1) y=x3+3x2-1.(2) y=ln(1+x2).

(3) y=earctanx. (4) y=xe-x.

4.求曲线y=x3-3x2+24x-19在拐点处的切线方程和法线方程.

5.设曲线y=k(x2-3)2的拐点处的法线通过原点,求k的值.

6.试确定常数a,b,使(1,2)是曲线y=ax3+bx2+1的拐点.

7.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:

,其中x>0,y>0.

,其中x>0,y>0,x≠y.

3.5　函数的极值及最大值与最小值

在许多实际问题中,经常需要考察函数在局部的极值以及在指定区间上的最大值、最小值.为此,先讨论函数的极值问题.

3.5.1　函数的极值

定义1　凡是满足方程f′(x)=0的点x称为函数f(x)的驻点.

根据导数的几何意义,在曲线y=f(x)上驻点处的切线是水平的.

图3-9

在图3-9中,考察函数f(x)在[a,b]上的极值与最值,发现: 函数f(x)在点x1,x2,x3处取得极大值,函数f(x)在3处取得极小值；其最大值为f(b),最小值为2).观察该图还发现:函数在一个区间内可以有若干个极大值与极小值,函数在点x2处的极大值f(x2)比在3处的极小值3)还要小,这是因为我们讨论的函数极值是局部概念,只将它与该点左、右邻近的函数值比较,而最大值与最小值是在指定的某一区间上来考察的,是整体的、全局的最值.

函数的极值未必是指定区间上的最值.下面先讨论连续函数极值点的求法.

从图3-9中可以看出,在极值点处要么函数的导数为零(如3)，要么其导数不存在(如1).因此函数在导数为零与导数不存在的点处都可能取得极值.

由3.1节中的费马定理可知,可导函数在极值点处的导数必为零,故有如下定理.

定理1(必要条件)　设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数f(x)在x0处的导数f′(x0)=0.

由定理1可知,在可导的前提下,极值点必是驻点,但驻点未必都是极值点.例如函数y=x3,当x=0时,y′=3x2=0,因此x=0是函数y=x3的驻点,但y=x3是单调函数,故x=0不是该函数的极值.因此f′(x0)=0仅是一个可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件,而非充分条件.因此定理1的另一个意思是说:可导函数的极值点必须从驻点中去寻求.

应当指出,在导数不存在的点处,函数也可能取得极值,例如函数f(x)=|x|在x=0处连续但不可导,然而x=0是它的一个极小值.

综上所述,连续函数的极值点只可能是其驻点与不可导点,但它们未必是极值点.因此,把函数在定义区间内的驻点与不可导点统称为函数的可能极值点.

观察图3-9,可见函数的极值点必是其单调增加与单调减少区间的交界点.由此得到利用导数符号判定函数的极值的方法(也称为极值存在的充分条件).

定理2(极值存在的充分条件一)　设函数f(x)在x0的某邻域U(x0,δ)内连续,在其去心邻域(x0,δ)内可导,如果

(1) 当x∈(x0-δ,x0)时f′(x)>0,x∈(x0,x0+δ)时f′(x)<0,那么f(x)在x0处取得极大值f(x0).

(2) 当x∈(x0-δ,x0)时f′(x)<0,x∈(x0,x0+δ)时f′(x)>0,那么f(x)在x0处取得极小值f(x0).

(3) 当内时,f′(x)恒为正或恒为负,那么f(x)在x0处不取得极值.

证　(1) 当x∈(x0-δ,x0)时,由于x<x0,f′(x)>0,故在x0的左侧邻近,f(x)是单调增加的,即有f(x)<f(x0)；当x∈(x0,x0+δ)时,由于x>x0,f′(x0)<0,则在x0的右侧邻近,f(x)是单调减少的,故有f(x)<f(x0).故x在x0的左、右两侧邻近时,恒有f(x)<f(x0)成立,即f(x0)为f(x)的一个极大值.

(2),(3)同理可证.

证毕.

定理2告诉我们一个判定连续函数的可能极值点是否为极值点的方法,即只需看这些点的左、右两侧邻近的导数符号是否改变,导数符号改变的点就是极值点,在该点左、右两侧导数符号左正右负的点为极大值点,左负右正的点为极小值点,两侧邻近导数符号不改变的点就不是极值点.

因此定理2是判别函数的驻点与不可导点是否为极值点的常用方法.

例1　求函数的单调区间与极值.

解,由y′=0,解得；由y′不存在,解得x2=0,x3=1.列表表示如下.

表3-4

由表3-4可知:函数的单调增加区间为与[1,+∞),单调减少区间为.在x=0的两侧邻近都有y′>0,即y′在x=0的两侧邻近不变号,因此x=0不是y的极值点；在的两侧邻近y′的符号左正右负,故是y的极大值点,且极大值；在x=1的两侧邻近y′的符号左负右正,因此x=1是y的极小值点,且极小值y(1)=0.

从上例可知,求极值的步骤可分为三步:

(1) 求函数的导数.

(2) 求导数的零点(即驻点)与不可导点即可疑极值点.

(3) 确定可疑极值点的左、右两侧邻近的导数符号,从而判断并求出函数的极值.

当函数在其驻点处的二阶导数易于计算且不为零时,有更简便的求极值的方法.

定理3(极值存在的充分条件二)　设f(x)在x0处具有二阶导数,且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,则:

(1) 当f″(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值.

(2) 当f″(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值.

证　(1) 因为f″(x0)<0,由二阶导数定义及定理条件得

由极限的局部保号性可知,∃(x0,δ),使得∀时有

则当x渐渐增大经过点x0时,x-x0由负变正,故f′(x)相应地由正变负,由定理2可知,这时f(x0)为极大值.

(2) 同理可证,当f″(x0)>0时,f(x)在x0处取得极小值.

需要指出的是: 在应用定理3时,首先要注意检验条件“x0是f(x)的驻点”是否成立；其次对于驻点x0,若有f″(x0)=0,则x0可能是极大值点,也可能是极小值点,还可能不是极值点.例如,对于函数y=-x4,y=x4与y=x3,由于它们在x=0处都有y′(0)=0,y″(0)=0,因此都不能用定理3来判别,而根据定理2可知,这三个函数在x=0处分别取得极大值、极小值和不取得极值.

例2　求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

解　显然f(x)在(-∞,+∞)处处连续、可导,有

f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)

由f′(x)=0，解得x1=-1,x2=3.又

f″(x)=6x-6=6(x-1)

且

f″(-1)=-12<0,　f″(3)=12>0

由定理3可知,f(-1)=10是f(x)的极大值，f(3)=-22是f(x)的极小值.

例3　设y=f(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所确定,求函数y=f(x)的极值.

解　原方程两边对x求导，得

3y2y′-2yy′+xy′+y-x=0

令y′=0,解得y=x,将它代入原方程中，得

2x3-x2-1=0

即

(x-1)(2x2+x+1)=0

解得x=1,对应y=1,则(1,1)为y=f(x)的驻点.

在方程3y2y′-2yy′+xy′+y-x=0的两边再对x求导并整理，得

(3y2-2y+x)y″+2(3y-1)(y′)2+2y′-1=0

把x=1,y=1及代入上式,解得,所以y=f(x)在驻点x=1处有极小值y=1.

3.5.2　函数的最大值与最小值

1) 连续函数在闭区间上的最大值与最小值

由连续函数的性质可知,闭区间上连续的函数必存在最大值与最小值.该最大值与最小值可能出现在区间的端点,也可能出现在区间的内部,若出现在区间的内部,则它必定是函数的极值.因此,要求函数在闭区间上的最大值与最小值,只要把区间内的所有极值以及端点处的函数值都求出来,则它们中的最大值与最小值,分别就是函数在闭区间上的最大值与最小值.因此求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:

(1) 求出导数的零点(即驻点)以及导数不存在的点.

(2) 求出驻点与不可导点处对应的函数值,及端点处的函数值f(a),f(b).

(3) 将上述函数值进行比较,它们中的最大值与最小值分别就是函数f(x)在闭区间上的最大值与最小值.

例4　求在闭区间[0,4]上的最大值与最小值.

解　显然函数x2-6x+1在闭区间[0,4]上连续,故它在[0,4]上必有最大值与最小值,求导得

y′=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1)

由y′=0,得x1=-2(不在讨论的区间内,舍去),x2=1,算得

因此,在区间[0,4]上,函数在x=4处取得最大值65，在x=1处取得最小值.

图3-10

例5　从北到南的一条高铁经过相距为200 km的A、B两城,某工厂位于B城正东20 km处,拟从高铁沿路上某点处修建高铁站,并从该高铁站修一条公路到工厂(图3-10).若每吨货物的高铁运费为3元/km,公路运费为5元/km,问高铁站点应设在何处,可使从A城到工厂的运费最省?

解　设高铁站点取在铁路上距B城x km处,则每吨货物的运费

由,解得驻点x=15.

又

W(15)=680,　W(0)=700,　W(200)=1 005

因此,当x=15时,W(x)取得最小值.即公路的起点应取在铁路线上离B城15 km处,可使运费最省.

2) 连续函数在开区间内的最大值与最小值

在开区间(a,b)内连续的函数不一定能在该区间内取得最大值与最小值.例如函数y=x2在区间(-1,2)内的x=0处取得最小值0,但无最大值；而在区间(1,2)内函数y=x2既无最大值也无最小值.

特殊地,在实际问题中,如果函数在(a,b)内部只有一个驻点,而从实际意义分析中可判断出函数在(a,b)内有最大(或最小)值存在,则这个驻点就是所要求的最大(或最小)值点.

例6　制造容积为5π m3的圆柱形密闭锅炉,要使用料(表面积)最省,问锅炉的底半径与高应是多少?

解　设圆柱形密闭锅炉的底半径为R(m),高为h(m),则其表面积

S=2πRh+2πR2　(R∈(0,+∞))

由V=πR2h=5π,得.将它代入上式得

由=0,解得唯一的驻点.又由于制造固定容积的圆柱形密闭锅炉时,一定存在一个底半径,使锅炉的表面积最小.因此,当时,S(R)在该点取得最小值.此时,相应的高

即当圆柱形密闭锅炉的高与底直径都等于 m时,表面积最小,从而使用料最省.

习题3.5

1.求下列函数的极值:

(1) y=(2x+3)2(x-1)3.　　　　　　　　　(2) y=x2e-x2.

.

2.a取何值时,是的极值点?是极大值还是极小值,并求此极值.

3.已知函数y=ax3+bx2+cx+d在x=0点取得极大值1,在x=2点取得极小值为零,试确定a,b,c,d的值.

4.设函数y=f(x)由方程x3-3xy2+2y3=32确定,求f(x)的极值.

5.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值:

(1) y=x4-8x2+2在[-1,3].

,在[0,1].

在[-2,2].

6.将边长为a的正方形铁皮在四角处剪去相同的小正方块,然后折起各边焊成一个的无盖盒(图3-11),问剪去的小正方块的边长为多少时,可使无盖盒的容积最大?

图3-11

7.用仪器测量某种零件的长度n次,所得数据为x1,x2,…,xn,证明:用作为该零件的长度,可使平方和(x-x1)2+(x-x2)2+…+(x-xn)2达到最小(这个量称为“最可靠值”).

8.求曲线xy=1在第一象限内的切线方程,使切线在两坐标轴上的截距之和最小.

9.设f(x)=x+acosx(a>1)在(0,2π)内有极小值0,求f(x)在(0,2π)内的极大值.

3.6　函数图形的描绘

3.6.1　曲线的渐近线

定义　若曲线y=f(x)上的动点沿曲线运动到无穷远处时,此动点与某一定直线l的距离趋近于零,则称此直线l为该曲线y=f(x)的一条渐近线.

渐近线表示了曲线无限延伸的方向与趋势.一般地,渐近线可分铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线三类,下面依次讨论它们的求法.

1) 铅直渐近线

如果当x→x0(或或时,f(x)→∞,即

　(或或

图3-12

则直线x=x0是曲线y=f(x)的一条铅直渐近线(图3-12).

例如,对曲线,当x→0+时,所以直线x=0为曲线的一条铅直渐近线.

又如曲线,当x→-1时,y→∞,所以x=-1为该曲线的一条铅直渐近线.

2) 斜渐近线

设直线为曲线y=f(x)的一条斜渐近线(图3-12).曲线上的点M与直线y=ax+b的距离为|MK|,由渐近线的定义可知

在Rt△MKN中,,因此,,由

MN=f(x)-(ax+b)

所以

(3-21)

由此，曲线y=f(x)的斜渐近线的存在及求法问题归结为确定a,b的值,使它满足式(3-21).为此将式(3-21)化为

从而

即

(3-22)

将式(3-22)代入式(3-21)中,得

(3-23)

从而可求得曲线y=f(x)的斜渐近线为y=ax+b.

特别地,若a=0,则(x),这时y=b为曲线y=f(x)的一条水平渐近线.

综上所述,可得渐近线的求法如下:

(1) 若(或或,则直线x=x0是曲线y=f(x)的一条铅直渐近线.

(2) 若(x)=b,则直线y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线.

(3) 若且(x)-ax]=b,则直线y=ax+b是曲线y=f(x)的一条斜渐近线.

例1　求曲线的渐近线.

解　因为=2,所以y=2是该曲线的一条水平渐近线.

因为=∞,又函数y是偶函数,所以x=±1是曲线的两条铅直渐近线.

例2　求曲线的渐近线.

解　因为=∞,所以直线x=2为该曲线的一条铅直渐近线.

因为

这时

所以该曲线的斜渐近线为y=x+2.

3.6.2　函数图形的描绘

要比较准确地描绘出一般函数的图形,仅用描点作图是不够的,为了提高作图的准确性,可将前面讨论的函数性态应用到曲线的作图上,即先利用函数的一阶、二阶导数,分析函数的单调性、极值、凹凸性与拐点等整体性态,并求出曲线的渐近线,然后再描点作图,称这种作图的方法为分析作图法.其一般步骤如下:

(1) 确定f(x)的定义域、间断点,并讨论函数的奇偶性、周期性.

(2) 在定义区间内求函数f(x)的一阶、二阶导数为零或不存在的点，并用这些点将定义域划分成若干个部分小区间.

(3) 在每个小区间内确定一阶、二阶导数的符号,由此确定函数在这些区间内的单调性和凹凸性并求得函数的极值点与拐点，将这些性质都利用表格的形式表示出来.

(4) 求出曲线y=f(x)的渐近线.

(5) 计算若干关键点(与坐标轴交点、极值点、拐点等)的函数值.

(6) 综合上面讨论的图像性质,再描点作图.

例3　描绘函数的图形.

解　函数的定义域为(-∞,+∞),且处处连续,由于它是偶函数,所以只需在[0,+∞)内讨论其性态.

由y′=0,得x1=0；由y″=0,得x2=1.将函数y的性态列于表3-5.

表3-5

由极限

可知,曲线有水平渐近线y=0.又

图3-13

得到图上的3个点,结合渐近线和表3-5中函数的性态,在[0,1)和(1,+∞)上描出函数的图形,最后作它的关于y轴的对称图形,从而得到函数的整个图形,如图3-13所示.

例4　讨论函数的性态并作图.

解　此函数是内的非奇非偶非周期的连续函数,x=1时函数无意义.

求得:x=0及x=2时,y′=0,y″无零点.

综上,函数的性态可如表3-6所示.

表3-6

由于=∞,故曲线有铅直渐近线x=1.又

故曲线有斜渐近线y=x-1,又

图3-14

综上函数性态并描点得函数的图形如图3-14所示.

习题3.6

1.求下列曲线的渐近线:

.

.

2.描绘下列函数的图形:

.

3.7　曲率

在许多日常生活与生产实践中,经常会遇到有关曲线的弯曲程度的问题,如当我们骑自行车在急转弯时,身体的倾斜度要比大转弯时来得大,这时因为急转弯时车子经过的路线比大转弯时来得更为“弯曲”,所受的向心力较大的缘故.所以在设计铁路或公路的弯道时,必须考虑弯道处的弯曲程度,建筑工程中使用的弓形梁的受力强度也与弯道处的弯曲程度有关.它们都对应同一个数学问题,即光滑曲线y=f(x)的弯曲程度.为此本节先介绍曲线弧长的微分,然后再讨论曲线的弯曲程度.

3.7.1　弧微分

如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有连续的导数,这时切线沿曲线是连续变化的,称这种曲线y=f(x)是(a,b)内的光滑曲线.理论上可以证明:光滑曲线弧是可以求长度的.

图3-15

在(a,b)内光滑曲线y=f(x)上取定一点M0(x0,y0)作为度量曲线弧长的基点(图3-15),并规定沿x增大的方向为曲线的正方向(弧长增加的方向),对曲线上任意的点M(x,y),规定有向弧段的值s(x)(也称弧函数s(x))如下:s(x)的绝对值等于弧的长度,当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s(x)>0,相反时s(x)<0.由此得到一个定义在区间(a,b)内的弧函数s(x),若也用表示弧的长度,则

显然s(x)是x的单调增加函数.下面给出弧函数s(x)的导数及微分公式.

设点x与x+Δx在区间(a,b)内,它们对应曲线y=f(x)上相应的两点M(x,f(x))与M′(x+Δx,f(x+Δx)),则函数y=f(x)相应的增量是Δy,弧函数s(x)相应的增量.由于s(x)是x的单调增加函数,因此

(3-24)

令Δx→0,则M′→M.由于,因此对式(3-24)求Δx→0时的极限,可得

则

dx

(3-25)

式(3-25)称为曲线y=f(x)的弧微分公式.由式(3-25)可得

(ds)2=(dx)2+(dy)2

(3-26)

式(3-26)中的三个微分的绝对值构成了图3-16中的直角三角形MNT的三条边,因此称MNT为微分三角形.弧微分是微分三角形的有向斜边(在切线MT上而不是在弦MM′上)的值.若设切线MT的倾斜角为,由微分三角形MNT可得

当α为负角时,以上两个等式也成立.

由式(3-25)可推得常用曲线方程对应的弧微分公式:

(1) 若光滑曲线的方程为y=f(x),则x.

(2) 若光滑曲线的方程为x=g(y),则y.

(3) 若光滑曲线的参数方程为，则dt.

(4) 若光滑曲线的极坐标方程为ρ=ρ(θ),则θ.

例1　求曲线y=x3的弧微分.

解　因为y′=3x2,所以

dx

例2　求旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的弧微分.

解　因为

t=asint

所以

dt

dt

3.7.2　曲率与曲率半径

下面研究曲线各部分的弯曲程度.观察下面的两张图(图3-16(a)和(b)).

图3-16

在图3-16(a)中,曲线L与L1为平面上两条连续光滑的曲线,在L与L1上分别取长度都等于Δs的弧段与,在曲线L上动点沿弧从点P移动到点Q时,其切线也连续转动,设其倾斜角的改变量(即弧段两端切线的夹角)为Δα,同样设曲线L1上动点沿弧从点P移动到点Q1时,其切线的倾角的改变量(即弧段两端切线的夹角)为Δα1,从图3-16(a)可看出,弧段的长度的长度,但Δα<Δα1,而显然弧的弯曲程度比的弯曲程度小,这说明曲线的弯曲程度与其切线的倾角的改变量Δα成正比.

从图3-16(b)上可看出,当L与L1上的动点处的切线转过同样的角度Δα时,弧长较短的的弯曲程度比弧长较长的的弯曲程度大,这说明曲线的弯曲程度与弧段的长度Δs成反比.

图3-17

在光滑的曲线L上取点M与M′(图3-17),过M与M′分别作曲线的切线,设切线转过的角度为Δα,弧长为Δs,用比值表示弧段的平均弯曲程度,称为弧段的平均曲率,记作

下面给出曲线L在点M处的曲率的定义.

定义1　设M,M′为光滑曲线L上的两点,=Δs,从点M沿曲线L到M′时其切线转过的角度为Δα,当Δs→0时,如果弧段的平均曲率的极限存在,则称此极限为曲线L在点M处的曲率,记作K,即

当导数存在时,则

对于直线来说,由于其切线与该直线本身重合,切线的倾角α不变,即Δα=0,从而直线上任意点处的曲率都等于零,这与“直线是不弯曲的”这一事实相一致.

例3　求半径为R的圆的曲率.

解　设M为该圆周上的任意一点,M′为圆周上与M邻近的点,圆弧对应的中心角记作Δα,则=RΔα,从而.由曲率的定义

故圆上任一点处的曲率都等于其半径的倒数.这也就是说圆上每一点的弯曲程度都一样.这与圆给我们的直观感觉相一致.

下面根据曲率的定义来推导一般曲线上点的曲率的计算公式.

设曲线的直角坐标方程是y=f(x),函数f(x)具有二阶导数.由于曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为

y′=tanα

对上式求x的导数,得

解得

dx

又弧微分

dx

于是有

从而得曲率的计算公式为

(3-27)

如果曲线C由参数方程给出,则可由参数式函数的求导法,求出

将它们代入式(3-27),得曲线的曲率:

(3-28)

例4　求双曲线xy=4在点M(2,2)处的曲率.

解　由xy=4,得,则

在点M(2,2)处,y′=-1,y″=1.

代入曲率公式(3-27),得

例5　计算椭圆x=acost,y=bsint在处的曲率.

解　因为

x′=-asint,　x″=-acost,　y′=bcost,　y″=-bsint

代入曲率的计算公式(3-28)，得

将代入上式,得

当曲线上某点处的曲率为K时,常常可以借助半径为的圆形象地表示曲线在该点的弯曲程度.

定义2　曲线上某点M处的曲率K的倒数称为曲线在点M处的曲率半径,记作R,即

图3-18

定义3　设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K.在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点M0(x0,y0),使R.以R为半径,M0(x0,y0)为圆心作一个圆,则称此圆为曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率圆,M0(x0,y0)称为曲线在点M(x,y)处的曲率中心(图3-18).

由上述定义可知,如果设曲线y=f(x)在M0(x0,y0)处的曲率圆方程为

(x-α)2+(y-β)2=R2

则可求得该曲率圆的圆心为

(3-29)

例6　求曲线xy=4在点M(2,2)处的曲率圆.

解　由例4求得,在M(2,2)处,,又由式(3-29)求得

故所求的曲率圆方程为

(x-4)2+(y-4)2=8

显然曲线与曲率圆有密切的关系:曲线与曲率圆在M0处有公共的切线、相同的曲率、相同的凹凸性.故曲率圆在切点处与曲线极为接近,所以曲率圆也叫密切圆.

在实际问题中,常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧近似替代该点邻近的曲线弧使问题简单化.

例7　设有一金属工件的内表面截线为曲线x2,要将其内侧表面打磨光滑,问应该选用多大直径的砂轮效率最高?

解　在打磨时,如果砂轮直径过大,将会使加工点附近部分磨得过多,如果砂轮直径过小,则显然会增加打磨时间.故最合适的选择是:选曲率半径最小值对应的半径为砂轮的半径.

由于y′=x,y″=1,故曲线上任一点处的曲率为,则当x=0时曲率最大,即抛物线x2在其顶点(0,0)处的曲率最大,也即在该点的曲率半径最小.由于抛物线x2的曲率半径为

x=0时,曲率半径取最小值,Rmin=1(长度单位).因此选用的砂轮直径最大不能超过2Rmin=2(长度单位)，此时效率最高.

图3-19

例8　在修建铁路时,需要把铁轨由直线段转向半径为R的圆弧路段,为了避免离心率的突变,确保快速行进中的列车在转弯处平稳运行,要求轨道曲线有连续变化的曲率.因此需要在直线路段到圆弧路段之间衔接一段叫作缓和曲线的弯道(见图3-19),以便铁轨的曲率从零连续地递增到.讨论缓和曲线的方程.

解　在原点处的曲率为零的最简多项式为三次曲线,且其曲率从零连续地递增,因此在工程设计中通常采用三次抛物线作为铁路或公路的缓和曲线.

图3-19中为直轨,为圆弧路轨,而为缓和曲线,根据实际经验其方程选用(a>0为待定系数).

下面选定a使曲线从原点O到点A这一段曲线弧的曲率从0增大到.

记点A的横坐标为|=l,又,并令.故由曲率公式得

现实中R要比l大很多,于是,于是.

所以可取,从而所求的缓和曲线方程为.

习题3.7

1.求下列曲线的弧微分:

(1) y=lnsinx.

(2) y=x2+1.

(3) 求第一象限内星形线的弧微分.

2.求下列曲线在给定点处的曲率及曲率半径:

(1) y2=4x在点M(1,2)处.　　　 (2) y=cosx在点M(0,1)处.

(3) y=x2-4x+3在点M0(2,1)处. (4) 曲线x=t2,y=t3在点B(1,1)处.

3.求抛物线y=x2在顶点O(0,0)处的曲率圆.

4.试问对数曲线y=lnx上哪一点处的曲率半径最小?并求该点处的曲率半径.

总复习题3

1.填空与选择.

(1) 设点A(1,1)是曲线x2y+αx+βy=0的拐点,则α=________,β=________.

(2) 函数y=ex+e-x的单调增加区间是________.

(3) 已知函数y=xeax(a≠0)的唯一极值点为,则a=________.

(4) 函数y=x4-8x2+2(-1≤x≤3)的最小值为________.

(5) 曲线y=x2e-x

(　　)

(A) 无渐近线 (B) 有水平渐近线和铅直渐近线

(C) 仅有水平渐近线 (D) 仅有铅直渐近线

2.证明方程x101+x51+x-1=0有且仅有一个实根.

3.证明函数f(x)=(x-a)ln[sin(b-x)+1](a<b)的导数在区间(a,b)内必存在零点.

4.证明下列不等式

(1) 当x>0时,<x.

(2) 当x<0时,.

5.求下列极限:

).　　　.

.

6.求函数的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点及渐近线.

7.设f(x)在(-∞,+∞)上可微,函数φ(x)在x=a(a≠0)点有极值,证明:曲线y=f(x)在点(a,f(a))处的切线过原点.

8.求椭圆x2-xy+y2=3上纵坐标最大和最小的点.