第一类换元积分法

4　不定积分

微分的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数,这就是微分的逆运算——不定积分运算.本章主要讨论不定积分的概念、性质和基本积分法.

4.1　不定积分的概念与性质

4.1.1　原函数

定义1　设函数f(x)是定义在区间I上的已知函数,若存在函数F(x),满足对∀x∈I,恒有

F′(x)=f(x)　(或dF(x)=f(x)dx)

则称函数F(x)为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数.

例如,因,故是x4在R上的一个原函数.又如,arctanx-1与arctanx+2都是在R上的原函数,容易看出arctanx+C都是的原函数.

可见,研究原函数首先要解决下面两个主要问题.

(1) 满足何种条件的函数必定存在原函数?

(2) 如果已知某个函数的原函数存在,那么原函数是否唯一?如果不唯一,原函数之间有什么关系?

定理1(原函数存在定理)　若函数f(x)在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对∀x∈I,都有F′(x)=f(x).

简单地说就是:连续函数一定有原函数.(证明见下一章)

定理2　设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则

(1) F(x)+C也是f(x)的原函数,其中C为任意常数.

(2) 若G(x)也为f(x)在区间I上的原函数,则G(x)=F(x)+C.

证　(1) 由于F′(x)=f(x),则(F(x)+C)′=F′(x)+C′=f(x),所以F(x)+C也是f(x)的原函数.

(2) 因为F′(x)=f(x),G′(x)=f(x),所以(F(x)-G(x))′=F′(x)-G′(x)=0,从而G(x)=F(x)+C.

由此,一方面如果f(x)存在一个原函数F(x),则F(x)+C都是f(x)的原函数,另一方面f(x)的全体原函数所组成的集合是函数族{F(x)+C|C为任意常数}.当C为取定常数时,F(x)+C表示f(x)的一个原函数.

4.1.2　不定积分

定义2　若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则称F(x)+C为f(x)在区间I上的不定积分,记作∫f(x)dx,即

∫f(x)dx=F(x)+C

其中C为任意常数,记号“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.

由定义2可知,求∫f(x)dx的关键就是求出f(x)的一个原函数,不定积分与原函数是总体与个体的关系.由此,本节开头所举的两个例子可写作

dx=arctanx+C

从不定积分的定义即可知下述关系:

或

=f(x)dx

又由于F(x)是F′(x)的一个原函数,所以

∫F′(x)dx=F(x)+C

或

∫d[F(x)]=F(x)+C

由此可见,微分运算(以记号“d”表示)与求不定积分的运算(以记号“∫”表示)是互逆的,当记号“∫”与“d”连在一起时,或者互相抵消,或者抵消后差一个常数.

不定积分的几何意义：若F(x)是f(x)的一个原函数,则称F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.于是,f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线族(图4-1).

图4-1

例1　求∫x3dx.

解　由′=x3,得是x3的一个原函数,所以

例2　求x.

解　由导数基本公式可知:,所以

dx=ln|x|+C

例3　求∫3-xexdx.

解　因为,所以

例4　某产品的产量变化率是时间t的函数f(t)=t2+1,已知当时间t=0时,产量为0,试求该产品的产量函数.

解　设产量函数为F=F(t),由题意知F′(t)=f(t)=t2+1,由于t2+1,则

将F(0)=0代入上式,解得 C=0.

所以,此产品的产量函数为t.

4.1.3　基本积分公式

由积分运算与微分运算的互逆关系及基本初等函数的求导公式,可相应得到基本积分公式.

(1) ∫kdx=kx+C　(k是常数).　　　(μ≠-1).

C. (4) ∫exdx=ex+C.

(5) (a>0,a≠1). (6) ∫cosxdx=sinx+C.

(7) ∫sinxdx=-cosx+C. (8) dx=tanx+C.

(9) dx=-cotx+C. (10) ∫secxtanxdx=secx+C.

(11) ∫cscxcotxdx=-cscx+C.dx=arcsinx+C.

dx=arctanx+C.

4.1.4　不定积分的性质

性质1　设函数f(x)的原函数存在,k为非零常数,则

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

证　因为,所以

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

类似可证明不定积分有下列性质.

性质2　设函数f(x)与g(x)的原函数均存在,则

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

性质2可推广到有限个函数的情形.

利用不定积分的性质和基本积分公式可以求一些简单函数的不定积分.

对于不定积分运算需要指出,虽然每个积分号都含有任意常数,但任意常数之和仍是任意常数,所以遇到几个任意常数时只要写一个任意常数即可.

例5　求x.

解

例6　求x.

解dx=x-arctanx+C

积分运算中会对某些分式函数的分子进行“插项”,这种通过“插项”进而分项的方法经常被应用.

例7　求x.

解

例8　求∫(tan2x+sec2x)dx.

解　用三角恒等式tan2x=sec2x-1把被积函数统一化为sec2x的函数,再积分,即

∫(tan2x+sec2x)dx =∫(sec2x-1+sec2x)dx=∫(2sec2x-1)dx

=2tanx-x+C

例9　求x.

解cotx+C

例10　求x.

解　分子分母都是三次多项式函数,被积函数为假分式,需先分解为多项式与真分式的和,再逐项积分，即

=x+ln|x|+2arctanx+C

例11　若f(x)的一个原函数是2x,求∫f′(x)dx.

解　因为2x是f(x)的原函数,故f(x)=(2x)′=2xln2,所以

∫f′(x)dx=f(x)+C=2xln2+C

需要指出的是，在计算不定积分时有时会得到实质一致而形式不同的结果,例如:=arctanx+C与=-arccotx+C都是正确的.

要验证不定积分结果正确与否,只要验证等式右端的导数是否等于被积函数.这是我们证明不定积分恒等式、验证不定积分计算正确与否的常用方法.

习题4.1

1.判断下列计算结果是否正确:

(arctanx)3+C.

C.

2.若∫f(x)dx=x2e2x+c,则f(x)=________.

3.求下列不定积分:

x.　　　　　　　　x.

x.x.

x. (6) ∫4xex-4dx.

x.x.

4.一曲线过点(1,2),且在曲线上的任意点处的切线的斜率为,求该曲线方程.

5.设f(x)的导函数为sinx,求∫f(x)dx.

6.一物体由静止开始运动,经t s后速度是3t2(m/s),问:

(1) 在3 s后物体离开出发点的距离是多少?

(2) 物体走完360 m需要多少时间?

4.2　不定积分的换元积分法

利用基本积分公式与不定积分性质所能计算的不定积分是非常有限的.上一节介绍了一些简单的不定积分的计算,它们可以通过恒等变形转化成基本积分公式中出现的被积函数的代数和,再运用基本积分公式进行逐项积分.事实上转化的另一种重要方法和手段是“换元”.本节介绍由复合函数求导法则逆推而得到的换元积分法,它是积分学中最基本、最常用的方法之一.换元积分法通常分成两类:第一类换元积分法和第二类换元积分法.

4.2.1　第一类换元积分法

我们知道,如果f(u)具有原函数F(u),即F′(u)=f(u),则有∫f(u)du=F(u)+C.当u又是另一变量x的函数，即u=φ(x),且设φ(x)可微,那么根据复合函数微分法,有

{F[φ(x)]}′=F′[φ(x)]φ′(x)=f[φ(x)]φ′(x)

由不定积分定义就得到

另一方面，由一阶微分的形式不变性可知,不论u为自变量还是中间变量,都有

dF(u)=f(u)du

两边取积分得到

∫f(u)du=F(u)+C

若此时令u=φ(x),则上式变为

由此得到不定积分的第一类换元积分法.

定理1　设f(u)为连续函数,u=φ(x)具有连续的导数,且∫f(u)du=F(u)+C,则

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C

(4-1)

定理1表明,若不定积分∫g(x)dx的被积函数g(x)不能直接利用基本积分公式计算,但被积表达式能整理成f[φ(x)]φ′(x)dx,且f(u)能够直接积分,此时可按下列步骤求不定积分:

这样求不定积分的方法称为第一类换元法.定理1极大地扩大了基本公式的运用范围.

例如,观察∫cos2xdx知,该积分不能直接计算,可将被积函数变形为,则

∫cosudu

sin2x+C

由于被积函数表达式g(x)dx一般并不是拆成式(4-1)左边的形式f(φ(x))φ′(x)dx,所以问题的关键是要“凑出”φ′(x)dx=dφ(x)=du,使被积表达式g(x)dx变成f(u)∫f(u)du可利用基本积分公式积出,因此第一类换元积分法也称为“凑微分法”.

例1　求∫e3tdt.

解　由,则

例2　求x.

解

注　在对变量代换比较熟练后,可省写中间变量u.

例3　求t.

解　因为,凑出即可积分.

例4　求x.

解

第一类换元积分法(凑微分法)是积分计算中用得较多的方法,熟记常用的凑微分公式有助于灵活使用凑微分法.下面介绍几个常用的凑微分公式供参考.

(a≠0).

).

).

.

(5) exdx=d(ex).

(6) cosxdx=d(sinx).

(7) secxtanxdx=d(secx).

(8) sec2xdx=d(tanx).

=d(arcsinx).

例5　求∫xcos(x2)dx.

解sinx2+C

例6　求∫cos2(ωt)sin(ωt)dt.

解　∫cos2(ωt)sin(ωt)(ωt)sin(ωt)dω(ωt)dcos(ωt)

(ωt)+C

例7　求x.

解

例8　求∫tanxdx.

解=-ln|cosx|+C=ln|secx|+C

同理有

=ln|sinx|+C

例9　求∫secxdx.

解

=ln|secx+tanx|+C

同理得

∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C　(试一试)

例10　求(a≠0).

解

一般地，

例11　求(a>0).

解

例12　求(a>0).

解

例13　求∫cos3xdx.

解　∫cos3xdx =∫cos2x·cosxdx=∫cos2xdsinx=∫(1-sin2x)dsinx

sin3x+C

注　当被积函数含有sinx或cosx的奇次项时,通常拆开奇次项用来凑微分.

例14　求∫cos2(ωt+φ)dt.

解　∫cos2(ωt+φ)

(ωt+φ)d2(ωt+φ)

(ωt+φ)+C

注　当被积函数是关于sinx或cosx的偶次项时,通常使用降幂公式,然后凑微分.

例15　求∫sin5xsin7xdx.

解　由积化和差公式得:

(cos12x-cos2x)

于是,

∫cos12xd(12x)

sin12x+C

类似方法可用于求形如∫sinmxcosnxdx,∫cosmxcosnxdx,∫sinmxsinnxdx的积分.

例16　求∫tan3xsecxdx.

解　∫tan3xsecxdx =∫tan2x·tanxsecxdx=∫tan2xdsecx

=∫(sec2x-1)dsecx=∫sec2xdsecx-∫dsecx

sec3x-secx+C

应用第一类换元积分法时关键在于选取适当的变量代换u=φ(x)以将被积函数变换成容易积分的函数,而u=φ(x)的选取没有固定的模式,这需要读者熟记基本积分公式和凑微分形式,并通过适当的练习积累积分经验才能灵活运用.

4.2.2　第二类换元积分法

有些不定积分∫f(x)dx难以用凑微分的方法来积分,比如等.但此时若作适当的x=φ(t)变换后,∫f(x)dx→∫f(φ(t))φ′(t)dt会变得容易积分,这种换元积分的方法称为第二类换元积分法,具体叙述如下.

定理2　设x=φ(t)有连续的导函数,且φ′(t)≠0，又设∫f(φ(t))φ′(t)dt=F(t)+C,则有

其中φ-1(x)是x=φ(t)的反函数.

证　只需证明两个不定积分有相同的原函数即可.

因为F(t)是f(φ(t))φ′(t)的原函数,记Φ(x)=F(φ-1(x)),则

即Φ(x)为f(x)的原函数,于是定理得证.

利用第二类换元法解题的一般步骤为:

第一类和第二类换元积分法都是依据同一个公式∫f(x)dx=∫f[φ(u)]φ′(u)du,它们的基本思想是一致的,都是通过变量代换把较复杂的不定积分化成容易解决的不定积分,两者仅仅是方向不同.

常用的第二类换元法有三角代换、根式代换与倒代换,下面通过例题依次介绍.

1) 三角代换

例17　求(a>0).

解　令,则

=a|cost|=acost,　dx=acostdt,

于是

(t+sintcost)+C

图4-2

为了把最后一式还原为x的表达式,可以将t看成锐角,根据作辅助直角三角形(图4-2)得到

因此

例18　求(a>0).

解　令,则

=asect,　dx=asec2tdt

于是

dt=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1

图4-3

根据,作辅助直角三角形(图4-3),有

因此

其中C=C1-lna.

例19　求(a>0).

解　被积函数的定义域为(-∞,-a)∪(a,+∞).

当x∈(a,+∞)时,令,则=atant,dx=asecttantdt,于是

=∫sectdt=ln|sect+tant|+C1

图4-4

根据作辅助直角三角形(图4-4),有,因此

当x∈(-∞,-a)时,令x=-u,于是u>a>0,且有

故当|x|>a时,总有C.

从以上三例可以看出,被积函数中含有(a>0)时,常常可分别令等代换化去根式,将无理函数转化为三角函数的积分,以上所用的代换统称为三角代换.

2) 根式代换

例20　求.

解　令,则x=t2,dx=2tdt,于是

例21　求(x>0).

解　令=t,则,于是

对形如)(a,b为常数)型函数的积分,可作变量代换=t,把无理函数转化为有理函数R(x,t)的积分,其中R(x,t)表示x和t两个变量的有理式.

对形如(a,b,c,d为常数)型函数的积分,可作变量代换=t,转化为函数R(x,t)的积分,其中R(x,t)仍表示x和t两个变量的有理式.

例22　求x.

解　令=t,则,于是

3) 倒代换

例23　求x.

解　当被积函数中分母的次数较高时,可以作代换(倒代换),即令,则dt.于是

+C

在本节的例题中,有几个积分经常用到.它们通常也被当作公式使用.因此,除了前面介绍的基本积分公式外,再补充下面几个基本积分公式(其中常数a>0).

(1) ∫tanxdx=-ln|cosx|+C.

(2) ∫cotxdx=ln|sinx|+C.

(3) ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.

(4) ∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.

C.

C.

C.

C.

C.

C.

例24　求x.

解

+C

变量代换是数学中常用的思想和方法,换元积分法的关键也同样是作变量代换.变量代换的实质是对应,通过对应将不便计算的不定积分类型转化为便于计算的积分类型.

习题4.2

1.填空,使下列各等式成立:

(1) 3dx=d(　　　　).　　　　　　(　　　　).

(3) x3dx=d(　　　　). (4) e2xdx=d(　　　　).

(5) sin(ωt+φ)dt=d(　　　　).(　　　　).

(　　　　).(　　　　).

2.求下列不定积分:

(1) ∫(2x+3)2dx.x.

x.x.

x.x.

x.x.

. (10) ∫tan10xsec2xdx.

(11) ∫sin2xdx.dx.

. (14) ∫sin2xcos3xdx.

x.x.

x..

3.求一个函数f(x),满足f′(x),且f(0)=1.

4.设f′(sin2x)=cos2x+tan2x,当0<x<1时，求f(x).

5.求下列不定积分:

x.x.

x..

4.3　不定积分的分部积分法

上节我们在复合函数求导法则的基础上,给出了转化不定积分的重要方法——换元积分法.但有很多积分如∫xexdx,∫x2cosxdx等利用换元积分仍然无法积出.本节将在函数乘积的求导公式的基础上,推导出转化不定积分的另一重要方法——分部积分法.

设函数u=u(x),v=v(x)具有连续的导数,那么两个函数乘积的求导公式为

(uv)′=u′v+uv′

移项得

uv′=(uv)′-u′v

对上式两边积分得

∫uv′dx=uv-∫u′vdx

(4-2)

或

∫udv=uv-∫vdu

(4-3)

公式(4-2)或(4-3)称为不定积分的分部积分公式.

∫udv难以积分,而∫vdu较易积分,则利用该公式可将计算∫udv转化为计算∫vdu,起到了化难为易的作用.具体应用分部积分法时,首先应该把被积函数写成u和dv的乘积,怎样取u和dv是问题的关键.一般说来,选取u和dv时应考虑如下两点:① v易于求出；② ∫vdu要比∫udv容易求出.

下面通过例题说明如何运用这个重要公式.

例1　求∫xcosxdx.

解　这个积分用换元积分法不易求得结果,现在试用分部积分法来求.但是怎样选取u和dv呢?因为x′=1会使函数降次，而(cosx)′=-sinx未使函数有任何简化.因此,不妨设x=u,cosxdx=dv,则du=dx,v=sinx,由分部积分公式得

∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

在本例中,若设cosx=u,xdx=dv,则,于是

x2sinxdx

而积分较∫xcosxdx更不易积出,因此例1中u应取x,而不是cosx.

例2　求∫x2lnxdx.

解　因为,使超越函数变为代数函数；而(x2)′=2x未能简化函数类型,只降了一次.因此,不妨设lnx=u,x2dx=dv,则,于是

dx

x3+C

注　解题熟练以后,u和v常省略不写,直接套用式(4-2)计算.

例3　求∫x2exdx.

解　∫x2exdx =∫x2d(ex)=x2ex-∫exdx2=x2ex-2∫xexdx

=x2ex-2(xex-ex)+C=x2ex-2xex+2ex+C

例4　求∫arctanxdx.

解dx

d(1+x2)

ln(1+x2)+C

读者试一试计算积分∫arcsinxdx,∫xarctanxdx.

通常被积函数为两种不同类型函数的乘积,特别是含指数函数、对数函数、三角函数或反三角函数与幂函数的乘积时,考虑用分部积分法.u选取的一般顺序为“反、对、幂、三、指”.特殊情况,如∫arctanxdx，∫lnxdx等,被积函数仅有一个函数式,则取dv=dx,仍用分部积分法处理.

例5　求∫excosxdx.

解　设 ∫excosxdx=I,则

=excosx+∫exsinxdx

=exsinx+excosx-I

即

I=exsinx+excosx-I

(4-4)

它是关于I的一个方程,由于I包含了任意常数,由式(4-4)解得I时务必加上任意常数C.即

ex(sinx+cosx)+C

注　(1) 若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u,dv可随意选取,但在两次分部积分中,必须选择同类型的u.读者可试一下每次积分时都是选取ex为u.

(2) 两次分部积分后,又出现原题中的不定积分,但此时积分前的系数不同,因此经过移项就不难求得结果.

例6　求I=∫sec3xdx.

解　因为

I =∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫tan2xsecxdx

=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx-I+ln|secx+tanx|

所以

ln|secx+tanx|+C

分部积分法还可以用于求某些不定积分的递推公式.

例7　设In=∫tannxdx(n≥2),证明.

证　In =∫tann-2xtan2xdx=∫tann-2x(sec2x-1)dx

tann-1x-In-2

例8　设f(x)的一个原函数为e-x2,求∫xf′(x)dx.

解　此类问题虽然可求出f′(x),但由f′(x)得到f(x)更为方便,因而首先考虑分部积分法,取u=x,f′(x)dx=dv,得到du=dx,v=f(x).

于是

∫xf′(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx

因为f(x)的一个原函数为e-x2,所以f(x)=(e-x2)′=-2xe-x2.故

∫xf′(x)dx=-2x2e-x2-e-x2+C

在计算不定积分时,一定要注重对被积函数的观察和分析,在一个不定积分的计算过程中往往会用到几种方法.对被积函数进行恰当的转化是计算的关键,恒等变形、分项、换元以及分部积分等都是重要的转化手段.

例9　求x.

解　令,则x=t3,dx=3t2dt,于是

dx =∫et3t2dt=3∫t2det=3t2et-3∫2tetdt

=3t2et-6(tet-et)+C

习题4.3

1.求下列不定积分:

(1) ∫xexdx.　　　　　　　　　 (2) ∫x2cosxdx.

(3) ∫x·2xdx. (4) ∫xcos2xdx.

(5) ∫ln(1+x)dx. (6) ∫arcsinxdx.

x.x.

2.计算下列不定积分:

(1) ∫e-xcosxdx. (2) ∫cos(lnx)dx.

(3) ∫xln(1+x2)dx.x.

3.已知f(x)的一个原函数是,求∫xf′(x)dx.

4.已知,求∫f(x)dx.

4.4　有理函数和可化为有理函数的积分

前面讨论了不定积分的两种基本转化方法——换元积分法与分部积分法.下面按照函数类型讨论几种比较简单的特殊类型函数的积分，包括有理函数的积分、三角函数有理式的积分等.

4.4.1　有理函数的积分

两个多项式的商

(4-5)

称为有理函数,其中n和m是非负整数,且a0≠0,b0≠0.

当n≥m≥1时,称式(4-5)所表示的函数为有理假分式函数；当n<m时,称式(4-5)所表示的函数为有理真分式函数.当f(x)是假分式时,利用多项式的除法,可将它化为一个多项式与一个真分式的和.例如，

因此有理函数的积分问题可归结为求真分式的积分问题.

1) 有理函数的分解

定理1　设有真分式(4-5)式,若

Qm(x)=b0(x-a)α…(x-b)β(x2+px+q)λ…(x2+rx+s)μ

其中α,…,β,λ,…,μ∈N+,p2-4q<0,…,r2-4s<0,则真分式可以分解成如下部分分式之和:

其中Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si(i∈N+)都是常数,并且在上述分解中,这些常数都唯一确定.

由定理1可知,在实数范围内,任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和:

其中k是正整数,k≥2,p2-4q<0.各个简单分式的分子中的常数可用待定系数法确定.

2) 四类简单分式的积分

求有理函数的不定积分可归结为求多项式与以下四类简单分式的不定积分:

x.

(n>1).

<0).

为正整数,p2-4q<0).

其中(1)、(2)两类简单分式的不定积分可直接积出：

dx=Aln|x-a|+C

第(3)类简单分式的积分通过换元(凑微分)法就可积出:当p2-4q<0时,有

+C

第(4)类简单分式的积分则需要通过分部积分法得到一个关于k的递推公式,再逐次运用该递推公式就能积出来.这里不再赘述.

总之,有理函数分解为多项式及部分分式之后,各个部分都能积出,且原函数都是初等函数.因此,有理函数的积分问题最终可得到解决,故可得到结论:有理函数的原函数都是初等函数.

例1　将化成部分分式之和.

解　解法1：设，其中A,B,C为待定系数.

两端去掉分母后,得

1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1)

(4-6)

即

1=(A+C)x2+(B-2A-C)x+A

对于式(4-6)，由待定系数法得

解得A=1,B=1,C=-1.

所以

解法2：在恒等式(4-6)中,代入特殊的x值,求出待定系数.

令x=0,得A=1；令x=1,得B=1；把A,B的值代入式(4-6),并令x=2,得1=1+2+2C,即C=-1.于是有

例2　求x.

解　先将分式化成部分分式,设,其中A,B,C为待定系数.由待定系数法可知

所以

由前面的讨论可知,有理函数总能分解为多项式与四类简单分式之和,而简单分式都可以积出.另外,我们应注意到,有时有理函数化成部分分式的和再积分这一过程的计算较繁琐,且当分母的次数比较高时,因式分解相当困难,但用其他方法可能更容易积出.因此,在解题时要灵活使用各种方法.

例3　求.

解

例4　求x.

解

+C

4.4.2　三角有理函数的积分

三角有理函数是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所得到的函数.由于各种三角函数都可表示成sinx和cosx的有理式形式,因此三角有理函数常常记作R(sinx,cosx),其中R(u,v)表示有理函数.

三角有理函数积分的基本思路为:

三角有理函数有理函数f(t)

具体过程为：作变量代换=t,则有

又由x=2arctant,得dt,于是

dt

等式右端是t的有理函数的积分.

例5　求.

解　令,则.

于是

+C

例6　求.

解　解法1：设,则.于是

+C

解法

+C

虽然利用代换总可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分,但经该代换后得出的有理函数积分有时比较麻烦.因此,关于三角函数的积分,一般尽量用换元法或分部积分法进行,最后才考虑用万能置换.

简单无理函数的积分已在4.2节的根式代换部分中作过介绍,这里不再重复.至此本章已介绍了积分计算的两种主要方法——换元法和分部积分法,以及一些特殊函数的积分方法.必须指出,尽管区间上的连续函数一定有原函数,但有些连续函数的原函数不是初等函数,也就是说它们的不定积分无法用初等函数表示,习惯上把这种情况称为积不出,如:等的原函数就都不是初等函数，它们都是积不出的那类不定积分.

习题4.4

1.计算下列不定积分:

4.5　积分表的使用

求不定积分,就方法而言，有直接积分法、换元积分法和分部积分法等；就被积函数的类型而论,有有理函数的积分、某些无理函数的积分以及超越函数的积分法等.某些类型的积分同某种固定的积分方法相联系,以至于近年来已经可以通过计算机用符号的方法把积分算出来.换句话说,积分的程序可以完全自动化,指令十分明确.但是,有很多积分并不是这种类型的.根据科学与实践的需要,为了方便,人们按照积分函数的类型加以分类,制作了系统的积分表，参见附录Ⅳ.下面通过几个例子来简单说明一下积分表的使用.

4.5.1　被积函数的类型能直接从积分表中查找到

例1　查表求.

解　被积函数的分母含有x+2,查附录Ⅳ第一部分“含有ax+b的积分”,有公式9

现在a=1,b=2,于是

例2　查表求x.

解　被积函数含有反三角函数,查附录Ⅳ第十二部分,有公式120

x+C

现在a=2,于是

4.5.2　被积函数的类型不能直接从积分表中查找到,需要先进行转换,再查表

例3　查表求x.

解　被积函数中含有根式,但附录Ⅳ中不含这种根式的相关条目,仅含根式的相关条目,因此首先要将被开方式配方,有,并对积分式进行变形

由公式59和61,有

这里,因此

C.

需要指出的是,利用积分表计算不定积分只是一个辅助方法,更重要的还是要熟练地、灵活地掌握积分计算的主要方法.

习题4.5

利用积分表计算下列不定积分:

.

x.

总复习题4

1.选择题.

(1) 若∫f(x),则f(x)=

(　　)

(A) cot4x (B) -cot4x (C) -3cot4x (D) 3cot4x

(2) 在区间(a,b)内,若f′(x)=g′(x),则必有

(　　)

(A) f(x)=g(x) (B) f(x)=g(x)+C

(3) 在积分曲线族中,过点(0,1)的曲线方程是

(　　)

(4) 若f(x)的导数为sinx,则f(x)的一个原函数是

(　　)

(A) 1+sinx (B) 1-sinx

(C) 1+cosx (D) 1-cosx

(5) 若∫f(x)dx=F(x)+C,则∫e-xf(e-x)dx=

(　　)

(A) F(ex)+C (B) -F(ex)+C

(C) F(e-x)+C (D) -F(e-x)+C

(6) 若F′(x),则F(x)为

(　　)

(C) arcsinx+π (D) arcsinx-π

2.填空题.

(1) 设f′(cosx)=sinx,则f(cosx)=________.

(2) 设f(x+1),则∫f(x)dx=________.

3.求下列各积分：

x. (2) ∫(2x+3x)2dx.

x. (4) ∫ln(1+x2)dx.

(5) ∫x2cosxdx. (6) ∫x2arctanxdx.

x..

x. (10) ∫max(1,|x|)dx.

4.已知,求∫f(x)dx.

5.若sinx是f(x)的一个原函数,证明∫xf″(x)dx=-xsinx-cosx+C.