定积分的几何意义

5　定积分

定积分问题作为积分学的一个基本问题起源于求平面图形的面积,它利用某种和式的极限解决了一类量的求和问题.定积分与不定积分的概念虽然不同,却有着紧密的联系.本章先从几何与力学问题出发引入定积分的概念,并在此基础上讨论定积分的性质及其计算,作为定积分的补充内容,最后再介绍反常积分的概念及其计算.

5.1　定积分的概念与性质

5.1.1　引例

1) 曲边梯形的面积

设y=f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形(图5-1)称为曲边梯形,曲线y=f(x)称为曲边.下面讨论曲边梯形面积的求法.

图5-1

我们知道,矩形面积公式为:矩形面积=高×底,而曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是变化的,所以不能直接用矩形面积公式求解.但是曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的,即区间很小时,高f(x)的变化也很小.因此,如果把区间[a,b]分成若干小区间,在每个小区间上用某一点处的高来近似代替该区间上的小曲边梯形的变高，那么每个小曲边梯形就可近似看成小矩形,所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值.由于小区间长度越小,面积的近似值越准确,故而借助于极限可求出曲边梯形面积的准确值.其具体做法如下.

(1) 分割：在区间[a,b]内任意插入n-1个分点

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b

将区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),记Δxi=xi-xi-1为第i(i=1,2,…,n)个小区间的长度.过各个分点作垂直于x轴的直线,将该曲边梯形分成n个小曲边梯形(图5-1),小曲边梯形的面积记为ΔAi(i=1,2,…,n),显然有.

(2) 取近似：在每个小区间[xi-1,xi]上任意取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作以f(ξi)为高,底边为[xi-1,xi]的小矩形,用它作为同底的小曲边梯形面积的近似值,即

ΔAi≈f(ξi)Δxi　(i=1,2,…,n)

(3) 求和：将n个小矩形面积加起来,得到曲边梯形面积的近似值,即

(4) 取极限：为了保证所有小区间的长度都无限小，我们令这n个小区间中长度的最大值趋于0,记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},即令λ→0.当λ→0时,若和式f(ξi)Δxi的极限存在,则该极限便是所求曲边梯形面积A的精确值,即

(5-1)

2) 变力所做的功

图5-2

取运动直线为x轴(图5-2),已知变力F(x)的大小是连续变化的,力的方向始终与x轴正向一致.计算物体在变力F(x)的作用下沿x轴由x=a移动到x=b时变力F(x)所做的功.

我们知道,对于恒力做功,功W有计算公式:

W=F·s

但如果物体在运动中受到的力是变化的,则上述公式已不适用.又F(x)在x∈[a,b]上的变化是连续的,即很短的一段位移内,F变化很小,近似于恒力.下面采用类似于上例中的方法来处理.

(1) 分割：在区间[a,b]内插入n-1个分点

a=s0<s1<s2<…<sn-1<sn=b

将区间[a,b]分成n个小位移区间[si-1,si](i=1,2,…,n),记Δsi=si-si-1为第i(i=1,2,…,n)个小区间的长度.这时位移s相应地被分为n个小位移Δsi(i=1,2,…,n).

(2) 取近似：在每个小位移区间[si-1,si]上任取一点ξi,用ξi处的力F(ξi)近似代替在[si-1,si]上各点的力,于是F(x)在这段位移内所做的功

ΔWi≈F(ξi)Δsi　(i=1,2,…,n)

(3) 求和：将这些近似值累加起来,就得到总的功W的近似值，即

(4) 取极限：设λ=max{Δs1,Δs2,…,Δsn}.令λ→0,得到

(5-2)

以上两例虽然研究对象不同,但最终(5-1)和(5-2)两式都归结为一个特定形式的和式极限.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题,都可以通过“分割、取近似、求和与取极限”的方法来解决,将这一方法加以概括抽象,就形成了定积分的概念.

5.1.2　定积分的概念

定义1　设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界,在(a,b)内任意插入n-1个分点

a=x0<x1<x2<…<xn=b

把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi],其长度Δxi=xi-xi-1(i=1,2,…,n).在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,作积f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)并作和，记λ=max{Δxi|i=1,2,…,n}.如果不论对[a,b]采取怎样的分法,也不论在小区间[xi-1,xi]上的点ξi采用怎样的取法,若极限存在,则称函数f(x)在[a,b]上可积,并称此极限为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记作,即

并称f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量,[a,b]为积分区间,a为积分下限,b为积分上限,∫为积分号,f(ξi)Δxi称为积分和也称黎曼和.

关于定积分的概念有几点补充注释.

注1　定积分f(x)dx是积分和的极限,是一个数,其大小仅与函数f(x)、积分区间[a,b]有关,而与积分变量的记号无关,因此u.

注2　定义1中要求a<b,实际应用时,允许b≤a,并规定

f(x)dx

因此有

f(x)dx=0

5.1.3　定积分的几何意义

若函数f(x)≥0,则f(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)、直线x=a和x=b与x轴围成的曲边梯形的面积.

当函数f(x)≤0时,由定积分定义知f(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x)、直线x=a和x=b与x轴围成的曲边梯形(在x轴下方)的面积的相反数.

图5-3

一般地,若f(x)在[a,b]上既取得正值又取得负值,则f(x)dx在几何上表示在x轴上方图形的面积减去x轴下方图形的面积所得之差.如图5-3所示,有

f(x)dx=A1-A2+A3

由几何意义易知,在[a,b]上,若f(x)=1,则

1dx=b-a

因此,引例中的曲边梯形的面积(x)dx,变力F(x)在[a,b]上所做的功x.

函数f(x)在[a,b]上满足什么条件一定可积呢?对于这个问题我们不作深入讨论,仅给出以下两个充分条件.

定理1　若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.

定理2　若f(x)在区间[a,b]上有界,且仅有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.

例1　利用定积分定义计算xdx.

解　因为函数f(x)=x在积分区间[0,1]上连续,所以定积分xdx存在.又因为定积分与区间[0,1]的分割方式及点ξi的取法无关，因此,为方便计算,可对[0,1]作特殊分法,对点ξi作特殊取法.

(1) 将区间[0,1]分成n等份,分点为,每个小区间[xi-1,xi]的长度(i=1,2,…,n).

(2) 取每个小区间的右端点为ξi,即,作乘积.

(3) 求和，得

(4) 取极限：当λ→0,即n→∞时,由定积分的定义得

例2　利用定积分的几何意义计算下面的积分：

x.　　x.　　x.

解　(1) 由定积分的几何意义可知,2xdx为x轴、x=1及y=2x所围直角三角形面积,故.

(2) 由定积分的几何意义可知,dx等于上半圆周x2+y2=1(y≥0)与x轴所围成的图形的面积,故.

(3) 由定积分的几何意义可知,tanxdx等于x轴、y=tanx、x=1及x=-1四条线所围成的平面图形面积的代数和.由y=tanx的对称性可知.

从上面的例子不难看出,定积分的计算如果仅仅依赖定义和几何意义,那将受到很大的局限,只有一些特殊的定积分能较快地计算出来.因此有必要进一步讨论定积分的计算方法,为此下面我们首先给出定积分的基本性质.

5.1.4　定积分的性质

假设定积分g(x)dx都是存在的，则有以下性质.

性质a.

证　由定积分的定义可得:

性质x.

证

性质1对有限多个函数的代数和的积分也成立,类似证明即可.

性质(k为常数).

性质4(对区间的可加性)　对于任意三个数a,b,c,恒有

f(x)dx

证　先证a<c<b的情形.因为函数f(x)在[a,b]上可积,所以无论对[a,b]怎样划分,和式的极限总是不变的.因此在划分区间时,可以使c是其中一个分点,那么在[a,b]上的积分和等于在[a,c]上的积分和加上在[c,b]上的积分和,即

令λ→0,对上式两端取极限得

f(x)dx

当c<a<b时,由上面所证可知

f(x)dx

所以

f(x)dx

同理可证当a<b<c时,结论也成立.

综上结论成立.

性质4可以推广到一般情形.如对于任意四个数a,b,c,d,恒有

f(x)dx

性质5　如果在区间[a,b]上f(x)≥0,则<b).

证　因为f(x)≥0,所以f(ξi)≥0(i=1,2,…,n).

又由于Δxi≥0(i=1,2,…,n),因此,记λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},则

推论1　如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则<b).

推论<b).

注　推论1与推论2的证明由性质5易得，请读者自行完成.

性质6(估值定理)　设M,m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,则

证　因为m≤f(x)≤M,由性质5的推论1,得

Mdx

所以

性质7(积分中值定理)　设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

成立.

证　因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最小值m和最大值M,由性质6得

即

f(x)dx≤M

f(x)dx是介于f(x)的最小值与最大值之间的一个数,根据闭区间上连续函数的介值定理,至少存在一点ξ∈[a,b],使得f(ξ)f(x)dx,即

图5-4

积分中值定理有以下几何解释:设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,则以区间[a,b]为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于相同底边、高为f(ξ)的一个矩形的面积(图5-4).

称(x)dx为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值.

定积分的性质对于定积分的计算及进一步研究定积分的理论都有重要作用.

例3　比较下列各对积分值的大小:

exdx与x2dx.sinxdx与cosxdx.

解　(1) 因为x∈[0,1]时,ex≥x2,所以由性质5的推论1得

x2dx

(2) 因为时,sinx≥cosx,所以由性质5的推论1得

cosxdx

因此

cosxdx

例4　设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)(x)dx.证明:在(0,1)内有一点c使f′(c)=0.

分析　由条件和结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件f(ξ)=f(0)即可.

证　因为f(x)在[0,1]上连续,由积分中值定理可得,至少存在一点⊂[0,1],使得

于是由罗尔定理可得,至少存在一点c∈(0,ξ)⊂(0,1),使f′(c)=0.

例5　求从0到T这段时间内自由落体运动的平均速度.

解　因为自由落体运动的速度v=gt,所以

利用定积分定义,反过来可以求某些特殊数列的极限.

例6　求.

解　由于

这可理解为将区间[1,2]等分为n个子区间,其长度为(i=1,2,…,n),取ξi为子区间的右端点,,故

原式　(定积分的计算下节将介绍)

上例也可化为定积分dx,请读者自行考虑.

习题5.1

1.利用定积分的几何意义,计算下列积分:

x.　　　　　　　　　　x.

2.已知某时刻t导线的电流强度i(t)=sin(ωt),试用定积分表示在时间间隔[T1,T2]内流过导线横截面的电量q(t).

3.试用定积分表示由曲线y=x2与y=2-x2围成的平面图形的面积.

4.比较下列每组积分值的大小:

x2dx与x3dx.lnxdx与(lnx)2dx.

5.估计下列定积分的值:

x.　　x.　　x.

6.证明不等式:.

7.求极限(a>0,n为自然数).

5.2　微积分基本定理

许多几何、物理问题的解决都归结到求某定积分的值.由上一节例1可知,即便被积函数很简单,若直接来计算定积分也不是一件简单的事.因此有必要对定积分的计算问题作进一步研究.

我们知道,对于变速直线运动的路程问题可以用两种方法解决.第一种方法设已知物体速度为v(t),那么该物体在[T1,T2]内通过的路程由定积分定义可知

v(t)dt

第二种方法设已知物体运动规律s=s(t),那么该物体在[T1,T2]内通过的路程即为路程函数的增量

s=s(T2)-s(T1)

从以上两种解法的结果得到,并且由微分知识可知s′(t)=v(t),即s(t)为v(t)的原函数.

上述计算定积分的方法在一定条件下能否推广到一般的情形?即若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,是否有f(x)dx=F(b)-F(a)?为此首先讨论f(x)的原函数存在性问题,继而给出定积分与原函数之间的关系.

5.2.1　变上限积分函数及其导数

设y=f(x)在[a,b]上连续,且x0∈[a,b].设Φ(x0)表示由曲线y=f(x)、x轴、直线x=a和x=x0所围平面图形面积的代数和.显然,由定积分的概念可知Φ(x0)一定存在,且f(x)dx,其大小只与x0有关,与积分变量x无关.为明确起见,用t做积分变量,将x0换成x,从而给出积分函数的定义.

定义1　设函数f(x)在[a,b]上可积,x∈[a,b],则函数(t)dt是上限变量x的函数,称为变上限积分函数,记作Φ(x),即

图5-5

必须指出,变上限积分函数f(t)dt是关于上限x的函数.对取定的x,它有确定的值(定积分的值),与积分变量t无关.几何上,变上限积分函数Φ(x)表示如图5-5中阴影部分的面积.它具有如下的重要性质.

定理1　设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分函数Φ(x)(t)dt在[a,b]上可导,且

Φ′(x)=f(x)

(5-3)

证　设∀x∈[a,b]及增量Δx(x+Δx∈[a,b]),则函数Φ(x)在点x+Δx的函数值为

图5-6

相应的增量ΔΦ(图5-6)为

f(t)dt

由估值定理有

ymΔx≤ΔΦ≤yMΔx(ym,yM为y=f(x)在区间[x,x+Δx]上的最大值和最小值),于是

　或　

令Δx→0,由于函数f(x)在x处连续,则

即Φ(x)在[a,b]上可导并且Φ′(x)=f(x).

由定理1可知,变上限积分函数f(t)dt是其被积函数的一个原函数,因此连续函数的原函数必定存在.由此得到下面的原函数存在定理.

定理2(原函数存在定理)　设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数Φ(x)(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.

5.2.2　牛顿-莱布尼茨公式

定理3(微积分基本定理)　设f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则

(5-4)

证　由题设可知F(x)是f(x)在[a,b]上的原函数,由定理1可知,Φ(x)(t)dt也是f(x)在[a,b]上的一个原函数,因此

在上式中,令x=a，得C=-F(a),再将之代入上式得

令x=b,并把积分变量t换成x,便得到

为了方便,通常把F(b)-F(a)记为[F(x)，于是式(5-4)可写成

公式(5-4)称为牛顿-莱布尼茨公式.该公式进一步揭示了定积分与不定积分这两个概念之间的内在联系,从此便有了计算定积分的一般方法,即将定积分的值转化为原函数的增量,而原函数的求法已经在上一章“不定积分”中介绍了.这一公式的发现是积分学发展史的一个飞跃.因此,定理3也称为微积分的基本定理.

例1　已知,求.

解　由式(5-3)可得,x.

例2　已知,求.

解　函数e-t2dt是由e-t2dt与u=x2复合而成的,利用复合函数的链式法则,有

在f(x)连续且u(x),v(x)可导的条件下,利用定理1及函数的导数公式可得下述变限积分函数的导数公式:

(1) 设F(x),则(x).

(2) 设F(x),则(x).

(3) 设F(x),则(x).

例3　已知,求.

解

在讨论极限、函数性态、中值定理等导数应用问题时,我们也会经常碰到变限积分函数.

例4　求.

解　这是一个“”型的未定式,应用洛必达法则,有

例5　设函数(x>0),求F(x)的单调区间.

解,令F′(x)<0得,解之得,即为F(x)的单调减区间.

令F′(x)>0得,解之得,即为F(x)的单调增区间.

例6　计算.

解　由于arcsinx是的一个原函数,所以有.

图5-7

例7　求由y=x2,x=1,x=2及x轴所围图形的面积(图5-7).

解　由定积分定义知,所围图形的面积

例8　一列动车从A站以a=0.5 m/s2的加速度匀加速启动,当速度达到180 km/h时开始匀速行驶,问火车需要离开站台多少米才可使火车匀速行驶？

解　首先计算开始加速到匀速行驶所需的时间,即匀加速运动从v0=0到v(t)=180 km/h所需的时间：

由匀加速运动的速度v(t)=v0+at=0.5t=50,得t=100 s.

因此火车开始匀速行驶的地方到车站的距离应为:

0.5tdt=2 500 m

例9　计算x.

解　被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号后再积分.

习题5.2

1.求下列函数的导数:

t.　　　　　　t.

t.　　　　　　.

2.求下列极限:

.

3.计算下列定积分:

4.设,求.

5.求由所确定的隐函数y=y(x)对x的导数.

6.设,求(t)dt在[0,2]上的表达式.

7.设f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f′(x)≤0,证明:函数F(x)(t)dt在(a,b)内单调递减.

8.讨论函数的极值点.

9.对任意x,求使成立的连续函数f(x)和常数a.

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法

有了微积分基本定理,计算定积分就不需要根据定义求和式的极限,只要求出被积函数的任一原函数,再计算原函数在积分区间上的改变量即可.在一般情况下,把这两步截然分开是比较麻烦的.下面我们将计算不定积分的两种方法——换元积分法和分部积分法推广到定积分,得到定积分的换元法和分部积分法,以便更好地进行定积分计算.

5.3.1　定积分的换元积分法

定理1　设函数f(x)在[a,b]上连续,函数x=φ(t)满足条件:

(1) φ(α)=a,φ(β)=b,且a≤φ(t)≤b.

(2) φ(t)在[α,β](或[β,α])上有连续导数.

则有

(5-5)

公式(5-5)称为定积分的换元公式.

证　由于f(x)在[a,b]上连续,则存在原函数,在[a,b]上可积.设F′(x)=f(x),则

又{F[φ(t)]}′=F′[φ(t)]·φ′(t)=f[φ(t)]·φ′(t),于是

从而

定积分有与不定积分相类似的换元公式,但在应用定积分的换元积分公式时应注意:原积分变量x换成新积分变量t时,积分限也要作相应变化,即“换元必换限”.

因此应用定积分的换元法计算定积分时就不需要回代这一步了,即求出f[φ(t)]φ′(t)的一个原函数Φ(t)后,只要把对应于新变量t的积分上、下限分别代入Φ(t),然后相减即可,不必换回原积分变量.

例1　计算x.

解　令，即.当x=-1时,t=3；当x=1时,t=1.于是

例2　计算x.

解　令x-1=t,即x=t+1,则dx=dt.当x=0时,t=-1；当x=1时,t=0.于是

例3　计算x.

解　令,则dx=4costdt.当x=0时,t=0；当x=4时,.于是

(1+cos2t)dt

应用定积分的换元积分法时,可以不引进新变量而利用“凑微分”积分,这时积分上、下限就不需要改变.例如：

例4　设函数,求x.

解　令x-1=t,则dx=dt.当x=0时,t=-1；当x=2时,t=1.于是

例5　设 f(x)在[-a,a]上连续,证明：

(1) 如果f(x)是[-a,a]上的偶函数,则x.

(2) 如果f(x)是[-a,a]上的奇函数,则.

证　因为

f(x)dx

对积分作变量代换x=-t,则

于是

(1) 当f(x)为偶函数时,即f(-x)=f(x),则f(x)+f(-x)=2f(x),所以

f(x)dx

(2) 当f(x)为奇函数时,即f(-x)=-f(x),则f(x)+f(-x)=0,所以

f(x)dx=0

利用例5的结论可简化奇、偶函数在对称区间[-a,a]上的积分计算.其几何意义如图5-8与图5-9所示.

图5-8

图5-9

例6　计算x.

解　积分区间[-2,2]关于原点对称,被积函数(4-x2)3sinx在积分区间上为奇函数,利用例5的结论即可得到.

例7　设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:

f(cosx)dx.

f(sinx)dx.

证　(1) 令,则dx=-dt.当x=0时,；当时,t=0.于是

f(cost)dt

特别地,

cosnxdx

(2) 令x=π-t,则dx=-dt.当x=0时,t=π；当x=π时,t=0.于是

tf(sint)dt

xf(sinx)dx

故

f(sinx)dx

例8　利用例7的结论计算：

.

解　(1)

.

所以有

从而

(2)

5.3.2　定积分的分部积分法

由不定积分的分部积分公式∫udv=uv-∫vdu,得

vdu

即

vdu

该公式成立的条件具体如下.

定理2　如果u=u(x),v=v(x)在[a,b]上具有连续导数,则

vdu

(5-6)

公式(5-6)称为定积分的分部积分公式.

例9　计算x.

解　令u=lnx,dv=dx,则,于是

例10　计算x.

解　令,则x=t2,dx=2tdt,且当x=0时,t=0；当x=1时,t=1.于是

etdt=2e-2(e-1)=2

例11　计算x.

解　令，即x=t2,则dx=2tdt.当x=0时,t=0；当x=1时,t=1.于是

t2d(arctant)

例12　设,计算x.

解　令u=f(x),dv=dx,则有

例13　证明:

(5-7)

证

=(n-1)In-2-(n-1)In

解得In的递推公式

连续使用递推公式直到I1或I0,得

其中

又sinnxdx,从而

公式(5-7)在以后解题中可以直接使用.

例14　计算x.

解

前面介绍了定积分的换元法和分部积分法,但实际应用中有些定积分却不宜或不能用上述方法计算出.例如,有些连续函数的原函数虽然存在,但不能用初等函数表示,因此就产生了定积分的近似计算问题.关于定积分的近似计算,读者可参见樊映川编写的《高等数学讲义》,这里不再赘述.

习题5.3

1.计算下列定积分:

x.

x.

x.

.

.

x.x.

.

|lnx|dx.x.

2.计算下列定积分:

xe-xdx.xlnxdx.

xsinxdx.xarctanxdx.

e2xcosxdx.x.

3.利用函数的奇偶性计算下列定积分:

x.x.

(5x4+8x3+3x2+x)dx.(x+cos2x)sin4xdx.

4.函数,求x.

5.设f(x)是以T为周期的连续函数,对任意的常数a：

(1) 证明x.

(2) 求|sinx|dx.

6.设函数f(x)在[a,b]上连续,证明:x.

7.设x>0,证明:.

8.已知f(x)的一个原函数是(sinx)lnx,求x.

9.设f(x)是连续函数,且f(x)(t)dt,求f(x).

10.设f(x)是(-∞,+∞)上的连续偶函数,证明:F(x)是奇函数.

5.4　反常积分

前面讨论的定积分有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但有些实际问题需要突破这些限制,考虑无穷区间上的积分,或是无界函数的积分.相对于以前所讲的定积分而言,这两类积分统称为反常积分.

5.4.1　无穷区间上的反常积分

定义1　设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,任取t>a.如果f(x)dx存在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分(简称无穷积分),记作

这时也称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在,则称反常积分f(x)dx发散.

类似地,可定义函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分：任取t<b,则

f(x)dx

对于函数f(x)在(-∞,+∞)上的反常积分,可用前面两种无穷积分来定义:

其中c为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时f(x)dx才收敛,否则称无穷积分f(x)dx发散.

图5-10

f(x)dx的几何意义是:设f(x)在[a,+∞)上为非负连续函数,若f(x)dx收敛,则其值等于图5-10中介于曲线y=f(x)、直线x=a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积.f(x)dx及f(x)dx的几何意义请读者自己给出.

为书写简便起见,实际运算中常常省去极限记号,而形式地把∞当成一个“数”,直接利用牛顿-莱布尼茨公式的格式进行计算：

其中F(x)为f(x)的原函数,记号F(±∞)理解为极限运算:F(+∞)F(x).进而无穷积分的计算也有与定积分相类似的分部积分法与换元积分法.

例1　讨论的敛散性.

解,所以发散.

例2　计算反常积分t.

解

例3　计算反常积分.

解

arctanx

5.4.2　无界函数的反常积分

定义2　若(或或,则称x0为被积函数f(x)的一个瑕点.

定义3　设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且点a为f(x)的一个瑕点,任取a<t<b,如果极限

f(x)dx

存在,则称此极限为无界函数f(x)在(a,b]上的反常积分,仍然记作f(x)dx,即

f(x)dx

并称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在,就称反常积分f(x)dx发散.

由于点a为被积函数f(x)的瑕点,因而无界函数的反常积分f(x)dx又称为瑕积分.

类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分:任取a<t<b,则

f(x)dx

若函数f(x)的瑕点c∈(a,b),则定义瑕积分

f(x)dx

当且仅当f(x)dx与f(x)dx都收敛时，瑕积分收敛,否则称瑕积分发散.

例4　计算(a>0).

解　由于=∞,所以x=a是被积函数的一个瑕点.于是

例5　讨论的收敛性.

解　由于=∞,所以x=1是被积函数的一个瑕点.由于x=1在[0,2]的内部,所以有

因为

所以发散.

由上例可见,对于积分区间有限的积分,首先要判断是定积分(称常义积分)还是瑕积分，否则会出现错误的结果.如上例，若=-1-1=-2,便得到错误的结果.

瑕积分收敛时也有相应的几何意义,其计算仍可沿用牛顿-莱布尼茨公式的计算形式,且瑕积分的计算也有与定积分相类似的分部积分法与换元积分法,这里不再赘述.

习题5.4

1.判定下列各反常积分的收敛性.如果收敛,计算下列反常积分的值:

x.　　　　　　　　　　x.

x.x.

x.x.

e-atcosbtdt(a>0).x.

2.当k为何值时,反常积分dx收敛?当k为何值时,反常积分发散?又当k为何值时,反常积分取最小值?

3.求c的值,使t.

总复习题5

1.填空题.

________.

________；________.

(3) 设k≠0,且,则k=________.

________.

tan3xsecxdx=________.

________.

2.计算下列极限:

.

(t)dt,其中f(x)为连续函数.

.

.

.

3.计算下列定积分:

x.　　　　　　　x.

x.　　　　　　　　x.

(m为自然数).

4.设f(0)=2,f(2)=3,f′(2)=4,计算x.

5.设,求x.

6.设f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在区间[a,b]上连续且不变号,证明至少存在一点ξ∈[a,b],使下式成立:

(x)dx　(积分第二中值定理)

7.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f′(x)(t)dt,证明在(a,b)内有F′(x)≤0.