单折射球面的近轴成像规律

时间：2023-02-12 理论教育版权反馈

【摘要】：在式中，定义为折射球面的光焦度，若r的单位为米，则光焦度的单位为屈光度。在研究单折射球面近轴区物像位置对应规律的基础上，进一步研究其物像大小的对应规律。如图2.10所示，折射球面顶点为O，球心为C点，垂直于其光轴的物平面BAD经球面折射成像。

2.2.2　单折射球面的近轴成像规律

根据单折射球面的近轴光路计算公式，可以解决求像面位置的问题，即解决了物像位置的对应规律。但是，这种方法的计算过程太繁了；另外，这种光路计算的方法，没有解决求像的大小的问题。为了全面了解近轴区的成像规律，即物像位置与物像大小的对应规律，需要建立一套简明的解析关系式。

1）物像位置关系式

用近轴光路计算公式求像面位置的方法，不仅可求出最终像面位置（l＇），而且可以获取中间结果u、i、i＇、u＇的值，这对计算初级像差以及与实际光线光路作比较是很有用的，即它可反映像差特征。其缺点是计算太繁。当只需求出像面位置，而不需要中间结果时，则可利用物像位置的解析关系式来解决。

对式（2.17），将其展开并整理，有　　n＇lr－nl＇r=n＇ll＇－nll＇

将上式两边同除以rll＇即得到：

这就是应用最广泛的单折射球面的近轴光线方程式，也可称为近轴物像位置关系式或共轭点方程。上式表明，在结构（n，n＇，r）确定的条件下，l＇只与l有关，l＇是l的单值函数。只要给定轴上物点位置l，即可方便迅速地求出其共轭像点位置l＇。

特殊情况，当物点在轴上无限远处，即l=－∞，光线平行于光轴入射，代入式（2.19）式，则得到其共轭像点位置（像距）应为

称由此l＇所确定的点为折射球面的像方焦点，记为F＇；从折射面顶点O到F＇的距离l＇，即称之为该折射球面的像方焦距，以f＇表示，因而有

类似的方法，若像点在轴上无限远处，即l＇=－∞，代入式（2.19），则得到：

称相应的共轭物点为折射球面的物方焦点，以F表示，则f为该折射球面的物方焦距。

焦距值是由折射球面结构决定的光学特性常数，表征折射球面偏折光线能力的大小。有关焦距的概念将在第三章作进一步介绍。

将式（2.20）与式（2.21）稍作变换并代入式（2.19），可以得到：

在式（2.19）中，定义为折射球面的光焦度，若r的单位为米，则光焦度的单位为屈光度。将其与式（2.22）比较，则有

由于在近轴条件下，轴上点发出的光线经球面的折射满足如下关系

h=lu=l＇u＇　　　　　　　　　　　　　　　（2.24）

若在式（2.19）两端同乘以h，并将式（2.24）的关系代入，则有

上式表示了近轴光线经球面折射后的u＇与折射前u角的关系。若给定结构，且已知u，则可求u＇。

将式（2.19）变形并整理，可以得到：

上式表明，对单个折射球面其物空间与像空间的几个参量之间具有不变量的形式，称之为阿贝零（近轴）不变量或折射不变量，通常以字母Q表示；式（2.26）称为阿贝不变式。

若以如下的符号表示线段的倒数：

则式（2.26）可以表示为

n＇（σ＇－ρ）=n（σ－ρ）=Q　　　　　　　　　　（2.27）

说明单折射球面对确定的一对共轭点，其阿贝零不变量Q值是一个常量；共轭点的位置改变，Q值也改变。另外，不同的折射球面，其Q值也不同，当从一个折射面过渡到另一个折射面时，Q值发生变化。因此，从上述意义来说，阿贝零不变量并不是一个完全不变的量。阿贝零不变量在像差理论中有重要应用。

以上式（2.19）、式（2.25）、式（2.26）三个公式，实质上是一个公式的三种表示形式，根据条件和要求的不同，可选用不同的公式。

2）单折射球面近轴区成像的放大率公式

在研究单折射球面近轴区物像位置对应规律的基础上，进一步研究其物像大小的对应规律。其中，首先讨论近轴区垂轴像面的横向放大率（β），进而导出拉赫不变量，再讨论轴向放大率（α）以及一对共轭光线的角放大率（γ）。

（1）近轴区垂直于光轴的共轭物像平面横向放大率（β）

为建立完整的概念，在讨论近轴区物平面成像规律之前，需首先研究大视场范围物平面上每一点（轴外点）以细光束成像的成像规律，此即细光束经球面折射的空间成像。

如图2.10所示，折射球面顶点为O，球心为C点，垂直于其光轴的物平面BAD经球面折射成像。其中，A点为轴上点，B和D为与光轴对称之轴外点。为保证物平面上的每一点均以细光束经球面折射成像，在球心C处置一小的圆形光阑。需要研究的问题是：垂直于光轴的物平面BAD经球面折射，其共轭像面将是怎样的?

图2.10　单折射球面对大视场细光束的成像

已知轴上物点A的共轭像点为A＇点。为研究轴外物点B、D的成像情况，从B、D两点过球心C作连线。由于球面的对称性，过球心的任意一条半径均可视为其轴线。为区别起见，称AC为主光轴；称BC和DC为辅助轴。以C为圆心，以AC为半径，作折射面的同心球面，并与辅助轴分别交于B₁、D₁点；同样，以C为圆心，以CA＇为半径亦作同心球面，与辅助轴分别交于B₁＇、D₁＇点。由于辅助轴上的B₁、D₁点与主光轴上A点的成像条件全同，因而其共轭像点必为B₁＇、D₁＇（根据近轴物像位置关系式）。这表明，过A点而与折射面同心的球面B₁AD₁，其共轭像面必为过A＇点的一同心球面B₁＇A＇D₁＇。物平面上的B点和D点对主光轴而言，是其轴外点；但对辅助轴来说，则是其轴上点。根据近轴物像位置的对应规律，在细光束成像条件下，分别位于B₁点和D₁点左侧的B、D两点，其共轭像点B＇、D＇必在B₁＇、D₁＇的左侧。这表明，垂直于主光轴的物平面BAD，其共轭像面并非平面，而是与球面B₁＇A＇D₁＇内切于A＇点、而曲率较球面更大的一回转曲面。

由此可见，较大视场范围的物平面，即使其上的每一点在沿辅助轴方向均以细光束成像，所得到的像也是不完善的，其共轭像面是曲面而非平面的这种现象，也是一种像差，称为“像面弯曲”或“像场弯曲”，简称“场曲”。此外，当投射到球面上的细光束，在折射点处其轴线与折射面法线构成一定的夹角时，还将产生“像散”的现象（详见像差理论）。显然，仅当物平面BAD的范围很小，十分靠近光轴，并且其上的每一点均以靠近光轴的细光束成像，即满足近轴光线条件时，才可认为其共轭像面为一平面。

以下即转入讨论单折射球面在近轴区垂直于光轴的共轭物平面与像平面之间的横向放大率（β），即研究像与物之间的大小、正倒、实虚的对应规律。

如图2.11所示，以垂轴线段AB代表垂直于光轴的小物平面，物高以y表示；经球面折射后，成像为垂直于光轴的小像平面，以垂轴线段A＇B＇代表，像高以y＇表示。给定物平面位置，则像平面位置可以确定。求像的大小，实质上就是求轴外点B的共轭像点B＇的位置。根据近轴的成像规律，B＇点既在过A＇点的垂轴平面上，又在辅助轴BC上，因而必为两者的交点。

图2.11　近轴区的横向放大率

根据符号规则，在图2.11中应有AB=y，A＇B＇=－y＇。定义像高与物高之比为两共轭面间的横向放大率，又称为垂轴放大率或线放大率，记为β。以数学形式表示，即为

由图中相似三角形ABC与A＇B＇C，应有

因而可得到

又由式（2.26）展开可以得到

代入上式，则有

上式表明，在求得光轴上一对共轭点的截距l和l＇后，即可按上式求出通过该共轭点、且垂直于光轴的一对共轭平面上的横向放大率，进而在给定物高条件下，即可求出像高。

由定义，若β＜0，表示成倒立像，即像与物的方向相反，且由式（2.29）可以看出，此时l、l＇必异号，即像与物分别位于折射面的两侧，像的虚、实与物一致；若β＞0，表示成正立像，即像与物的方向一致，显然，此时l、l＇同号，即像与物位于折射面的同侧，像的虚、实与物相反。

又当|β|＞1时，表示成放大像；|β|＜1时，表示成缩小像。

综合以上，即可判断所成像的性质，即像的正、倒，虚、实，以及放大、缩小。这对光学设计者是一个重要问题。

应该强调指出，对给定的结构（n，n＇，r），β值只与l＇/l有关，即横向放大率仅取决于共轭面的位置。对确定的一对共轭面，β值为常数，表明在这对共轭面上，任意方向的共轭线段均有相同的β值，因而共轭面内的像与物几何相似；对不同的共轭面，l＇/l值不同，因而β值不同。

若在式（2.29）中，将式（2.24）的关系代入，则得到单折射球面横向放大率的第二种表示形式：

（2）拉—赫不变式

由式（2.30）可以得到：

ynu=y＇n＇u＇　　　　　　　　　　　　　　　（2.31）

上式表示，单折射球面在近轴区其物方量y、n、u与像方量y＇、n＇、u＇之间存在着三者乘积为不变量（常量）的关系。该不变量可以用J表示，称为拉格朗日—赫姆霍兹不变量，简称拉—赫不变量。式（2.31）称为拉—赫不变式或拉—赫定理，其用途广泛，特别在像差理论中经常用到。例如，在光学设计中，当物方量ynu确定后，往往通过控制像方孔径角u＇，来改变y＇的大小，从而控制横向放大率，达到要求的数值。

（3）轴向放大率（α）

对三维物体，除了描述其横向尺寸成像情况的横向放大率外，还有表示其轴向尺寸成像情况的轴向放大率。通常用光轴上一对共轭点沿光轴的移动量之间的对应关系来描述轴向放大率。定义当物点沿光轴移动一微小距离dl时，其共轭像点沿光轴有一相应的位移量dl＇，则称比值dl＇/dl为光轴上两共轭点的轴向放大率，若以字母α表示，即有