理想光学系统的组合

3.7　理想光学系统的组合

复杂光学系统通常是由若干个简单的光组组合而成，光组可以是单折射面、简单的透镜或复杂的透镜组。实际工作中往往存在两种需要：一种是将若干个已知的简单光组组合为等效的复合光组，求其基点位置和焦距；另一种是，将一个光学系统分解为几个简单光组，求出每个光组的基点位置与焦距。两种问题本质上都是光学系统的组合（或称复合）问题，而两个共轴光组的组合是最基本和经常遇到的。因此，本节主要解决两个共轴光组的组合问题，即如何根据两个已知光组的主面和焦点位置，求其等效的复合系统的主面和焦点位置。

首先根据定义，用作图法确定光组Ⅰ与Ⅱ（见图3.23）的等效复合光组的焦点（F、F＇）和主面（H、H＇）位置，并按符号规则进行标注；然后按共轭关系，导出计算基点位置和焦距的解析公式系（牛顿公式系和高斯公式系）。

如图3.23，给定光组Ⅰ和Ⅱ的各主面和焦点位置，以及Ⅰ和Ⅱ的相对位置。两光组的相对位置有两种表示方法，一种是以主面间隔表示，即d=H₁＇H₂；另一种是以光组Ⅰ的像方焦点F₁＇到光组Ⅱ的物方焦点F₂的间隔Δ=F₁＇F₂表示，通常称之为“光学间隔”，Δ的正负是以F₁＇为起点计算到F₂，由左向右为正（正向光路进行方向），反之为负。图中其余各量的标注遵守前述规定的符号规则。

下面，利用作图法首先确定等效复合光组的像方焦点和像方主面位置，然后确定物方焦点和物方主面位置。

根据理想光学系统像方焦点的定义，从物方作一条平行于光轴的光线a，交光组Ⅰ的主面于I₁、I₁＇点，其像方共轭光线a＇必通过F₁＇点；利用光组Ⅱ物方焦面上一点（B₂）的性质，借助于一条平行于光轴的辅助光线B₂K₂，可以确定a＇经光组Ⅱ的像方共轭光线a″（平行于K₂＇ F₂＇）。显然，经光组Ⅱ的出射光线a″与光轴的交点，即为复合光组的像方焦点F＇。

根据像方主面的性质，物方平行于光轴的入射光线（a）与复合光组的像方共轭出射光线（a″）的延长线的交点I＇必在像方主面上（I＇是复合光组的一对共轭光线的转折点）。因此，过I＇作垂直于光轴的平面，即为等效复合光组的像方主面，其与光轴的交点即为像方主点H＇。显然，从H＇到F＇的距离H＇F＇即为等效复合光组的像方焦距f＇，图中f＇为负值。

关于物方焦点和主面的位置，可根据定义按如下方法确定：由于通过物方焦点F的光线经整个系统后必平行于光轴出射，因此，为确定F点的位置，可采用如下“反推”的方法。设整个系统的像方出射光线为b″，对于光组Ⅱ，其物方共轭光线b＇必通过F₂，利用光组Ⅰ像方焦面上一点（B₁＇）的性质，借助于辅助光线F₁K₁，可以确定b＇在光组Ⅰ物方的共轭光线b，b也就是与b″共轭的整个系统的物方入射光线。因此，它与光轴的交点即为复合光组的物方焦点F；过b点与b″延长线的交点Q，作垂直于光轴的平面即为物方主面，其与光轴的交点即为物方主点H；从H到F的距离HF即为复合光组的物方焦距f，图中f为正值。

图3.23　两光组的复合

应该注意，等效复合系统的像方焦点和像方主面的位置，应以光组Ⅱ的像方焦点F₂＇或像方主点H₂＇为原点来确定。图中x_F＇=F₂＇F＇＞0，x_H＇=F₂＇H＇＞0；l_F＇=H₂＇F＇＞0，l_H＇=H₂＇H＇＞0。同样，等效复合系统的物方焦点和物方主面位置，应以光组Ⅰ的物方焦点F₁或物方主点H₁为原点确定。图中x_F=F₁F＜0，x_H=F₁H＜0；l_F=H₁F＜0，l_H=H₁H＜0。

由图可见，对光组Ⅱ来说，F₁＇和F＇是一对共轭点，应用牛顿公式：x₂x₂＇=f₂f₂＇，式中x₂=－Δ，x₂＇=x_F＇。将以上关系代入上式，则得到如下计算等效复合系统像方焦点F＇位置的公式：

类似地，对光组Ⅰ，F和F₂是一对共轭点，应用牛顿公式：x₁x₁＇=f₁f₁＇，式中x₁=x_F，x₁＇=Δ。将光组Ⅰ的以上关系代入牛顿公式，则得到如下计算等效复合系统物方焦点F位置的公式：

等效复合系统的焦距，可利用图中的几何关系和上述公式经推导得到。即有

这样，在算出焦点位置和焦距后，即可按下式求得主面位置：

x_H＇=x_F＇－f＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.38）

x_H=x_F－f　　　　　　　　　　　　　　　（3.39）

若将式（3.34）～式（3.37）代入上二式，则可得到直接计算主面位置的公式：

按上述公式确定等效复合系统的基点位置和焦距后，如果给定物体相对于F₁点的位置（x₁），则需首先将其转化为物体相对于复合系统物方焦点F的位置（x），然后利用牛顿公式一次计算即可求出像距x＇；在知道x、x＇的基础上，也可计算复合系统的横向放大率β。

物距、像距的转化关系如图3.24所示。

求出像距x＇后，尚需将其转化为相对于光组Ⅱ像方焦点F₂＇的像距x₂＇：

x₂＇=x＇+x_F＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.43）

复合系统的横向放大率为：

图3.24　物距、像距转化关系图

若用有关分光组Ⅰ、Ⅱ的参数表示，则可得到如下计算β值的公式：

表明根据物体相对于F₁点的位置，即可计算横向放大率。

以上是有关计算复合系统的牛顿公式系。应该指出，上述公式系是在各光组两边介质折射率不同的一般条件下导出的；各光组两边介质折射率相同的情况，公式形式将更简化。

在实际应用中，采用以主点为原点的高斯公式系进行计算往往更为方便，因此下面导出光组复合的高斯公式系。

如图3.23所示，光学间隔△与光组主面间隔d之间有如下关系：

Δ=d－f₁＇+f₂　　　　　　　　　　　　　　　（3.45）

将上式代入式（3.36）和式（3.37），则得到复合系统焦距的公式：

在绝大部分情况下光组均位于空气中，因而有：f₁=－f₁＇，f₂=－f₂＇，且f=－f＇。

这样，式（3.45）变为

Δ=d－f₁＇－f₂＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.48）

将上式代入式（3.46）和式（3.47），则得到

若表为光焦度形式，则得到如下十分重要而有用的公式：

　　　　　　　　　　　　　　　（3.50）

以光组Ⅱ的像方焦点H₂＇为原点的复合系统像方焦点位置的公式为

同理可得到以H₁为原点的复合系统物方焦点位置的公式为

相应的主面位置分别为

在按上述高斯公式系计算确定焦距和基点位置后，如果给定物距l₁，则需首先将其转化为以H为原点的物距l，然后应用高斯公式求出像距l＇（以H＇为原点），最后再将l＇转化为以H₂＇为原点的l₂＇。

物距、像距的转化关系如下两式：

l=l₁－l_H　　　　　　　　　　　　　　　（3.55）

l₂＇=l＇+l_H＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.56）

以上介绍了两个光组复合的计算公式系——牛顿公式系和高斯公式系。应该指出，这种复合方法对两光组的复合是方便而有效的；对三个以上光组的复合，原则上是可行的，即首先对光组Ⅰ和Ⅱ进行复合，然后用光组Ⅰ、Ⅱ的等效复合系统再和光组Ⅲ进行复合，如此进行下去，求出总的等效复合系统。然而由于这样复合的过程太复杂了，很容易产生错误，因此，对两个以上的共轴多光组复合，实际上都是采用光路计算等方法来解决，这部分内容将在3.9节中予以讨论。

为了应用方便，将两光组复合的有关公式整理小结如表3.6。

［例3.4］　已知位于空气中的两个光组，均为薄透镜（即每个透镜的物方与像方主面重合在一起），其有关数据如下：f₁＇=－f₁=40，f₂＇=－f=30，d=20。要求：

（1）试分别按牛顿公式和高斯公式系求其等效复合系统的像方与物方基点位置与焦距值，并按计算结果将基点标于图3.25中；

（2）若给定物体AB的位置l₁=－44，试用牛顿公式系按复合系统一次求像与按分光组逐次求像两种方法计算像面位置与横向放大率，校核两种计算结果是否一致。

解：（1）计算基点位置和焦距

A.按牛顿公式系计算：由式（3.34）～式（3.41），并考虑到系统位于空气中，因而应有

Δ=d－f₁＇+f₂=20－40－30=－50，

表3.6　两光组复合公式系

（*）表示系统处于同种介质中（如空气中），因而有f=－f＇的关系。

若用前面的计算结果加以校核，有：

x_H＇=x_F＇－f＇=－18－24=－42，x_H=x_F－f=32－（－24）=56

表明计算正确。

B.按高斯公式系计算：由公式（3.46）～（3.54），应有

两种公式系的计算结果之间，可用如下的关系式进行校核：

l_F＇=f₂＇+x_F＇=30+（－18）=12，l_F=f₁+x_F=－40+20=－8

l_H＇=f₂＇+x_H＇=30+（－42）=－12，l_H=f₁+x_H=－40+56=16

由上可见，计算无误。

将上述结果按照符号规则标注于图3.25中。

图3.25　［例3.4］计算结果标注

（2）计算像点位置与横向放大率

已知l₁=－44，则有x₁=l₁－f₁=（－44）－（－40）=－4

A.按复合光组一次求像计算：

首先进行物距转化：x=x₁－x_F=－4－32=－36

由牛顿公式可求出像距：

将像距x＇转化为相对于F₂＇的像距：x₂＇=x＇+x_F＇=16+（－18）=－2

等效复合系统对物体AB处的横向放大率为，表明成倒立缩小实像。

B.按分光组逐次求像计算：

已知：x₁=－4，经光组Ⅰ成像，有

经光组Ⅱ成像，应有

经光组Ⅰ、Ⅱ两次成像的总放大率：，表明成倒立缩小实像。

上述计算结果表明：两种方法计算结果完全一致。

在3.2节中曾提到，物空间平行于光轴的一条光线射入光学系统，随着系统结构特性的不同，其像空间的共轭光线有两种可能：或与光轴交于一点，即为有限焦距系统；或者平行于光轴出射，即为无限焦距系统或称望远系统。

对于由两个共轴光组所组成的光学系统，同样不外这两种可能。由式（3.35）～式（3.36）可以看出，对由两个光组组合的系统，其焦距（光焦度）特性，主要由其光学间隔Δ决定。如果Δ≠0，即F₁＇与F₂点不重合，则两光组的复合系统的焦距（f，f＇）和基点位置（l_F、l_F＇、l_H、l_H＇）均为有限的，这类组合系统应用广泛，例如显微物镜、照相物镜、投影物镜、望远物镜、目镜等均属以此为基础构成的组合系统；如果Δ=0，即F₁＇与F₂点重合，则两光组的复合系统，其焦距和基点位置均为无限大（远），其光焦度为零，这种组合系统可以称为无焦系统、远焦系统，最通常称之为望远系统，这类系统也是应用十分广泛的，最常见的观察望远镜，就是以具有共焦面的物镜和目镜为两个基本光组组合而成的，有关望远系统的特性及其应用，将在第6章、第10章二章中具体介绍。