第4章 矩阵方法在近轴光学中的应用
研究实际光学系统近轴区与理想光学系统的特性和物像关系时，经常采用一种重要手段，就是利用解析公式进行光路计算——又称为光线描迹。对共轴球面系统的近轴光路计算来说，由式（2.25）和式（2.41）所构成的两个方程组，具有计算方便、适于编制程序等优点。在应用光学计算的范畴内——即解决理想成像条件下的物像关系，光线描迹始终是在同一子午面内进行的（像差计算、光学设计则需计算空间光线）。因此，这一过程是二维的。过参考面上（参考面可以是折射面的近轴部分，也可以是物平面、像平面或指定的某一平面）一点的光线坐标可以用两个参量来表示，即该点离光轴的高度y或h，以及光线与光轴的交角u。为求解这两个量所采用的上述方程组是二元一次线性方程组。光线描迹的过程，实质上是在不同的结构（r，n，d）和初始条件下，连续多次的折射与传递过程；从数学的角度，可以认为这一过程是进行连续多次的线性变换。由于变换的线性特点和运算方式的多次重复性，这种光线描迹的方法适于采用矩阵代数的手段，并且早在上世纪30年代初就由T.Smith提出，但是到60年代以后才得到重视及发展。矩阵方法应用到几何光学领域中，为我们提供了解决传统几何光学中物像关系和有关问题的新技术手段。
下面，以过物平面上B点的一条光线经由两个折射面所组成的厚透镜折射到达像平面上B＇点为例，来分析这一光线描迹过程所对应的变换情况（如图4.1所示）。
图4.1 透镜成像的光迹变换过程
设透镜的结构已知（r1，r2，d1，n1，n1＇=n2，n2＇），过轴外物点B的一条子午光线（初始的光线坐标为y1和u1），经透镜两折射面上的P1点和P2点折射后到达像点B＇。以下用折射矩阵R来描述光线通过折射面时其方向的变化；用传递矩阵T描述光线从一个参考面射向另一个参考面时，在同种均匀介质中离轴高度坐标的变化。则从B点处发出的一条光线坐标（y1，u1）到B＇点处的光线坐标（y2＇和u2＇），可以认为是经历如下的变换过程（见图4.2）：首先，将透镜P1点处的入射光线（u1，h1）变换为P2点处的出射光线（u2＇，h2＇），其变换作用是由R2、T21、R1三个变换矩阵的乘积决定的，它反映了系统（透镜）的作用，可以称之为系统的作用矩阵，以M21表示；将物点B处的光线（u1，y1）变换为像点B＇处的光线（u2＇，y2＇），其变换作用是由TA＇2、M21、T1A的乘积决定的，可以称之为物像关系矩阵，以MA＇A表示。以下，将首先介绍共轴球面系统的作用矩阵及其特性，然后介绍物像关系矩阵。
图4.2 透镜成像对应的线性变换过程
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