理想光学系统的分辨率

6.5　理想光学系统的分辨率

绝大多数光学系统都是用来成像的，因而分辨率是成像光学系统的一项重要性能指标。光学系统的分辨率是指光学系统能够分辨物体细节的本领，它在一定程度上可以用来反映评价光学系统的成像质量。

按照几何光学的概念，在理想成像的条件下，由一个物点发出的所有光线，通过光学系统后应全部交于一点，该点是一个几何点。按照这种观点，似乎光学系统能够分辨两个物点或物体细节的能力是不受限制的。然而，几何光学是有其局限性的，它不能解释所有的光学现象；实际上，光在本质上是电磁波，当通过口径有一定大小的实际光学系统时，将产生衍射。波动光学中关于圆孔衍射的研究表明，这种衍射性质甚至在系统不存像差时，也将使点的像发生畸变。1834年艾利（Airy）首先计算证明了，由共心光束所生成的衍射像不是一个点，而是一个有一定大小的、能量分布不均匀的衍射光斑，通常称之为“艾利圆”，如图6.27（b）所示。在单色光条件下，艾利圆的中央为一很亮的圆斑，称为中央亮斑，又称“艾利斑”，它集中了全部光能量的83.78％；其外围被一系列的暗环和亮环所围绕，各亮环能量分布随与圆斑中心距离的增大而很快地减小。其中，第一亮环的光能量约占7.22％，第二亮环的光能量约占2.77％，第三亮环的光能量约占1.46％，…。通常只有第一亮环能看见。图（a）是相对光强度I/I₀的分布曲线，其中，第一极大值（第一亮环之）为0.0175，第二极大值（第二亮环之）为0.0042，…；另外，横坐标Kasinθ为反映衍射像面上以几何像点为原点的横坐标位置的变量。

图6.27　艾利圆——衍射光斑

一般将衍射光斑的中央亮斑——艾利斑作为物点通过理想光学系统（例如某一物镜）的衍射像，以σ表示艾利斑的半径，也就是第一个暗环的半径。σ对产生衍射作用的圆孔（物镜）中心的张角（也是角半径）θ₀可由下式给出（如图6.28所示）：

式中，D为物镜的入瞳直径，λ是光波波长。

中央亮斑的半径σ可由下式确定：

式中l＇为像点至圆孔中心的距离。

对于无限远物点经物镜所成的像，应有l＇≈f＇，因此上式可写为

图6.28　园孔衍射中央亮斑

图6.29　两点分辨的瑞利判据

当被系统成像的两个发光物点彼此相距很近时，则它们的对应像的衍射光斑将有部分重合。为简单起见，假定系统为理想光系统；两物点是发光强度相等的两个独立发光点——非相干点光源，例如通过望远镜物镜观察两颗相距很近的星就是典型的例子。如图6.29所示，像面上两个衍射光斑的合成图案，其光强度分布曲线是由每点的光强度迭加构成的。如果光学系统能在这样复杂的衍射图案中区别出两物点的像，而不将它们混为一点，则说，该光学系统能分辨这样的两点。瑞利提出如下的判据：若被成像的两点A₁、A₂之间的距离，恰好使像面上A₁＇的光斑中心落在A₂＇的第一极小上，亦即两个衍射光斑中心的距离等于艾利斑的半径时，则这两点刚好可以被分辨。此时，两物点间的距离即为系统所能分辨的两物点的最小距离。当满足上述条件时，两个衍射光斑的光强分布曲线的合成曲线其极大值与极小值之间的比值为1∶0.74，即两者相差0.26。

当然，瑞利判据并非绝对标准。实际上，当合成曲线的极大值与极小值相差0.05时，两点像仍能被分辨开。此时，两像点之间的距离约为（0.84～0.86）σ。

由瑞利判据所确定的相近两点的理想光学系统分辨率，给出了用“分辨率”检验评价光学系统成像质量的标准。实际光学系统由于存在设计残余像差、以及加工装配误差等，因而实际分辨率必然降低。实际分辨率与理想分辨率的差值，即可作为衡量评价实际光学系统成像质量的综合性指标。

应该指出，实际光学系统的分辨率，将随光学系统类型、用途以及接收器的不同而异。例如，用于目视的望远镜、显微镜，以及成像在感光胶片或CCD上的照相（数码照相）系统，它们各自计算分辨率的公式都是不同的（详见尔后各章相关内容）。