轴外像点的照度公式

8.4.2　轴外像点的照度公式

在解决了轴上像点照度计算的基础上，尚需解决导出轴外像点（或大视场边缘点）的照度计算公式，这对大孔径大视场系统（例如照相物镜）十分重要。

图8.23　轴外像点的照度分析

假定物平面的亮度是均匀的，并且轴外点没有渐晕，即轴外点与轴上点对应光束的截面积相等。这样，像面上的每一点都是由充满出瞳的光束形成的，出瞳面可视为一各方向亮度相同的面光源，如图8.23所示。另外，假定出瞳直径D＇与出瞳离像面的距离相比较小，因而轴外光束的孔径角U_ω＇较小，可以得到

类似于轴上点照度公式，对轴外B＇点的照度亦应有

由于孔径较小，因而，代入上式得到

E_ω＇≈（πτLsin²U＇）cos⁴ω＇=E₀＇cos⁴ω＇　　　　　　　　　　　　（8.87）

亦可表为：

上两式表明，在不存在渐晕的条件下，随着像方视场角ω＇的增加，像平面上的照度将按照cosω＇的四次方规律降低。

表8.14给出了间隔为10°的不同视场角的E_ω＇/E₀＇值。

表8.14　E_ω＇/E₀随视场角ω＇的变化规律

从表中可以看出，随着视场角的增大，边缘视场照度的减小十分迅速，当ω＇达到60°时，视场边缘照度仅为视场中心照度的大约6％。由此对像面照度的均匀一致性将产生严重影响。这正是设计广角和特广角照相物镜的主要困难。

如果考虑到实际光学系统中为改善边缘视场的成像质量而限制轴外有效光束所产生的渐晕现象，则边缘视场照度的下降更快，即考虑渐晕系数K（K＜1）则应有

在某些广角摄影物镜（如航摄镜头）中，二倍视场角可达120°以上，为改善边缘视场照度严重下降的情况，常采用使轴外点产生一定的像差，以使边缘视场照度按cos³ω＇～cos^2.7ω＇的规律下降，这种方法即为用像差渐晕法改善边缘视场照度。

［例8.6］　16mm电影放映机的光学系统示意图如图8.24所示。采用的光源为400W的溴钨灯，发光效率η=30lm/W，灯丝面积5mm×7mm，该光源可视为双向余弦辐射体，经聚光镜照明胶片，利用球面反射镜可使光源的平均亮度提高50％。放映物镜f＇=75mm，相对孔径为（假定物镜的物方和像方孔径角均具有如下的近似关系sinu≈tanu，放映机片门的尺寸为7mm×10mm，银幕尺寸为2.8m×4m，整个系统的透过率τ=0.6，边缘视场线渐晕系数K=0.6，求银幕中心及视场边缘照度E₀＇及E_ω＇各为多少?

图8.24　电影放映机光学系统

解：该光源向外辐射的总光通量为φ=ηP=30×400=12000（lm）

该光源视为双向余弦辐射体，向各方向亮度均匀，因而应有：

经球面反射镜光源的平均亮度提高1.5倍，即有L=81851114（cd/m²）。

由于片门尺寸为7mm×10mm，而屏幕尺寸为2.8m×4m，因而横向放大率为：

像面中心照度E₀＇根据式（8.83）和式（8.84）应有

由于像距l＇》f＇，因而胶片可近似地视为置于放映物镜的物方焦面上，即l≈－f＇；又因sinU≈tanU，因而有：sinU≈tanU=D/2f＇=1/4，将上述结果代入前式得到

银幕为矩形，对应于最大像方视场角的对角线尺寸为

因而像方视场角为

由于边缘视场渐晕系数K=0.6，因而有视场边缘照度为

E_ω＇=KE₀＇cos⁴ω＇=0.6×6000×cos⁴5.17°=3552（lx）

计算结果表明，对于放映物镜，由于其视场角较小，因而边缘照度的降低主要由渐晕系数决定；而对大视场的照相物镜则边缘视场照度的降低显著。