光学系统成像质量的波像差表示与瑞利判据

14.3　光学系统成像质量的波像差表示与瑞利判据

以上所描述的像差均为几何像差。此外，像差也可以根据光的波动性来描述。由光的波动理论可知，波面是光波在传播过程中的等相位面，其法线就是几何光学中的光线。根据波面的概念，对于理想像点，它的波面为没有缺陷的球面（理想波面）；当系统存在像差时，点像的波面就不是理想的球面，例如，当一个光学系统有欠校正的球差时，则孔径边缘的光线在近轴像点的左侧交于光轴，表示该像点的变形波面在其边缘处要比理想波面超前。这种实际波面与理想波面之间的偏离即波像差，如图14.23所示。其大小为实际波面与理想波面之间的径向差与所在介质的折射率乘积，又称为光程差，用OPD（Optical Path Difference）表示。

图14.23　球差与波像差的关系

波像差可以通过光路计算获得。追迹物点发出的几条光线，分别计算出每条光线由物点到第一个表面以及尔后各表面间沿光线的距离，并乘以相应的折射率即为各段光程。如果每条光线的总光程∑nD都相等，则这些光线对应的波面就是一个球面；否则这些光线所形成的波面为一个有像差的波面，而不是一个完善的球面。每条光线的光程为

OP=∑nD　　　　　　　　　　　　　　　　　（14.17）

由式（14.17）可以计算不同光线之间的波像差或光程差，由同一点发出的a、b两条光线的光程差为：

（OPD）_ab=（∑nD）_a－（∑nD）_b　　　　　　　　　　（14.18）

应该注意的是，波像差或光程差通常是用波长数来计量的，其中，参考像点位置的选择将对光程差（OPD）的大小有较大影响。

由于光线即波面法线，几何像差与波像差之间必然存在着一定的对应关系。下面以轴上点球差（或离焦）为例加以说明，研究轴向球差δL＇与波像差的对应关系。

图14.23为欠校正球差时的情况，其中波面OC为有球差时的波面，OF为理想波面（以理想像点A₀＇为中心，以出瞳中心O到A₀＇之距离为半径所做的球面）即参考波面，CA＇为实际波面的法线（光线），FA₀＇为理想波面的法线，δL＇为轴向球差。过A₀＇点作CA＇的平行线，交实际波面于D点，并与实际波面上C点所作的参考球面交于E点。DE就是光程差（dw）的几何程长dw/n＇。过A＇点作FA₀＇的垂线，交于G。由图14.23可得：

A＇G=－δL＇sinU＇；dw/n＇=DE=CEdu＇；CE≈A＇G

由此得出：

dw/n＇=－δL＇sinU＇du＇　　　　　　　　　　（14.19）

当孔径角不大时，sinU＇≈u＇，代入式（14.19）得到

积分式（14.20）得，波像差为

由式（14.21）可知，如果以δL＇为横坐标，u＇²为纵坐标画出轴向球差曲线，那么δL＇－u＇²曲线与u＇²坐标轴所包围的面积之半再反号就是波像差，这就是用δL＇～u＇²曲线表示轴向球差的主要原因。

类似于轴上点的分析，对于轴外点成像，一般把主光线和像平面的交点B_P＇作为理想球面波的球心，并使实际波面和理想波面在出瞳坐标原点O重合，即出瞳坐标原点处的波像差为零，然后分析其几何像差与波像差的对应关系。

总之，无论轴上点还是轴外点，几何像差与波像差之间必然存在着一定的对应关系。因此均可用波像差作为衡量评价成像质量优劣的指标。1879年瑞利在研究光谱成像质量时提出：“当实际波面与理想波面之间的最大波像差不超过λ/4时，则剩余像差对成像质量没有明显的有害影响”，即可认为此实际波面是无缺陷的，成像是完善的；或者说，当光学系统的最大波像差不超过λ/4时，该光学系统的成像质量与理想系统没有显著差别。这是一个长期以来用于评价光学成像质量的一个经验标准，称为瑞利判据。根据瑞利判据，由波像差≤λ/4的要求，可以得出相应几何像差的允许值，即几何像差容限。瑞利判据方便实用，但它是一种较为严格的像质评价方法，适用于像质要求高的小像差光学系统。

另外，为了更确切地评价系统的像质，只根据整个波面上的最大波像差值来评价还是不充分的，还必须知道出瞳面内的波像差分布，了解不同波像差对应的波面面积，因此在有些光学设计软件中，输出波面的等高线图，或者整个波面的三维立体图，或打印出整个瞳面内的波像差分布值。

上述波像差显然只反映了单色像点的成像清晰度，而不能反映成像的变形—畸变。如果要校正像的变形，仍需利用几何像差畸变的校正方法。

对于色差可采用不同颜色光的波面之间的光程差表示，称为波色差，用符号（OPD）_FC代表。显然轴上点的（OPD）_FC代表几何像差中的轴向色差，而轴外点的（OPD）_FC则既包含轴向色差也包含垂轴色差。