(b)反例之拒斥。怪物排除法
DELTA:但为什么接受这个反例?我们曾证明了我们的猜想——现在它就是定理。我承认它与那所谓的“反例”相对立。它们之间有一个必须放弃。但既然定理业已被证明为真,又为何该它放弃?应该放弃的,是那个“批评”。它是伪批评。那对嵌套立方体根本不是多面体。它是一个怪物、一个病态的例子,而不是个反例。
GAMMA:凭什么不是?一个多面体是表面由多边形面构成的立体。而我的反例就是被多边形面围成的立体。
老师:让我们把这定义称为定义1[11]。
DELTA:你的定义是不对的。一个多面体必须为一个曲面有一些面、棱、顶点,可以变形,平铺拉伸在黑板上,且与“立体”的概念无关。一个多面体是由一个多边形系统构成的曲面。
老师:称此为定义2[12]。
DELTA:那么你便实际上给我们看了两个多面体——两个曲面,其中一个完全在另一个之内。子宫里有胎儿的妇女并不是人类只有一个脑袋这一论题的反例。
ALPHA:原来如此!我的反例已孕育出一胎新的多面体概念了。难道你敢断言,针对多面体你总是指一个曲面?
老师:现在我们暂时接受DELTA的定义2。如果针对多面体,我们就是指一个曲面,你还能驳倒我们的猜想吗?
ALPHA:当然能。且看两个共有一条棱的四面体(图6(a))或者,看两个共顶点的四面体(图6(b))。这两对孪生四面体都是相连的,都仅构成了一个曲面。并且,你可以检验,对它们均有V-E+F=3。
老师:反例2a和2b[13]。
图6
DELTA:你这种颠倒错乱的想像力,我很仰慕,但我当然没有说任一多边形系统都是一个多面体。说多面体,我指的是一个以下列方式排列的多边形系统:(1)每一条棱上恰好有两个多边形相交;(2)从共顶点的一个多边形内的一点到另一多边形内的一点的连线不与任何一条棱相交是可能的。你的第一对孪生四面体,由我定义中的第一条标准排除,第二对由第二条标准排除。
老师:定义3[14]。
ALPHA:你这种颠倒错乱的想像力,我很仰慕,你可以一个接一个地发明定义,设防别人证伪你特别重视的想法。你何不干脆把多面体定义为满足V-E+F=2等式的多边形系统?如此完美的定义(Perfect Definition)……
KAPPA:定义P[15]。
ALPHA:……这样就可以一劳永逸地解决这场辩论了。以后再不需要研究这个问题。
DELTA:但这世界上并没有定理可以不被怪物证伪。
老师:很抱歉,打断一下你们。我们曾看到,反例所施予的反驳取决于问题中语词的意义。若一个反例要成为客观的批评,我们必须在我们的语词意义上达成一致。我们可以在交流中断之时通过定义语词来达成这样的一致。拿我来说,我并不曾定义“多面体”。我假定了大家都熟悉此概念,即是说有能力分辨一个物体是不是多面体——一些逻辑学家称之为了解多面体概念的外延。结果这概念的外延一点也不清楚分明:反例一出现,便不停有定义被提出、被争论。我建议我们现在先考察所有这些相互对立的定义,后面再讨论选择不同定义得出的结论的差异。有谁能举出即便最严格的定义也承认的反例吗?
KAPPA:包括定义P?
老师:定义P除外。
GAMMA:我能。请看此,反例3:一个星状多面体——我叫它海胆[16](图7)。它由12个五角星组成(图8),有12个顶点,30条棱12个五边形面——如果诸位愿意验查,可亲自数一数。这样一来笛卡儿-欧拉论题便根本不真了,因为对此多面体,V-E+F=-6[17]。
图7 开普勒的星状多面体。每一面用一种不同的方式画影,以示哪些三角形属于同一五角星面
图8
DELTA:你凭什么认为你的“海胆”是一个多面体?
GAMMA:你没看见吗?这是一个多面体,其各个面是这12个五角星。它满足你最后的定义:它是“一个以下列方式安排的多边形系统:(1)每一条棱上都正好有两个多边形相交;(2)由一条不在任一顶点跨过任何棱的路线,自任一多边形的内部到任一其他多边形的内部,是可能的”。
DELTA:这样说足见你连多边形是什么都没弄明白!五角星肯定不是多边形!一个多边形是以下列方式安排的棱边系统:(1)每一顶点都正好有两条棱相交;(2)除了顶点,棱与棱之间没有任何公共点。
老师:这就叫定义4吧。
GAMMA:我不明白你为何包含了第二个分句。一个多边形的正确定义应当只包含第一个分句。
老师:定义4′。
GAMMA:第二个分句与多边形的本质无关。且看:如果我将一条边稍提起来,则五角星即使在你的意义上也是多边形。你想象的多边形是用粉笔画在黑板上的,但你本应该把它想成是木架子结构:如此则清楚了,你认为的公共点实际上并非一个点,而是一上一下的两个不同的点。你所以误入歧途,是因为你把多边形嵌在一个平面里了——你应当让它的手脚在空间中伸展开来[18]!
DELTA:你不介意的话,请告诉我何谓一个五角星的面积?或者你会说有些多边形是没有面积可言的?
GAMMA:说多面体与立体概念无关的人不是你自己吗?为何现在又建议应该把多边形的概念和面积的概念联系起来?我们曾达成一致,认为多面体是一个带有诸棱与顶点的闭合曲面——那么,为何不同意说,一个多边形仅仅是一个带有诸顶点的闭合曲线?但如果你坚持己见,我愿意定义一个五角星的面积[19]。
老师:我们暂时放下这争论,进行从前的讨论。把刚才的两个定义一起考虑——定义4和定义4′。有人能给我们的猜想举个反例,与两个多边形的定义都相吻合吗?
ALPHA:反例在此。考虑像这样的一个画框(图9)。这是一个符合迄今为止提出的所有定义的多面体。然而,你数了顶点、棱和面后,会发现V-E+F=0。
图9
老师:反例4[20]。
BETA:我们猜想就此结束了。真是遗憾,它本对如此多的情况都是适用的。但看起来我们仅是在浪费时间了。
ALPHA:Delta,我目瞪口呆了。你无话可说了吗?你难道不能再来一个定义,将这个新反例排除吗?我还以为,世界上没有什么假设,你不能耍上一套恰到好处的花言巧语,将其从被证伪的水深火热之中拯救出来。你现在要放弃了?你最终承认非欧拉多面体存在了?真是难以置信!
DELTA:你应该为你那些非欧拉的害人精切实找个更贴切的名字,不要把它们叫做什么“多面体”,让大家误入歧途。不过,我渐渐对你的怪物们失去兴趣了。我对你拙劣可悲的“多面体”感到恶心,欧拉的漂亮定理竟对它们不适用[21]。我寻求数学中的秩序与和谐,你却一味宣扬无序和混乱[22]。你我的态度势不两立。
ALPHA:你真不愧是一个过时的保守党(Tory)!你谴责无政府主义者的恶作剧,搅和了你的“秩序”与“和谐”,而你却用改换字眼的建议来“解决”这些困难。
老师:我们听听这最新的挽救型定义。
ALPHA:您是说最新的语言花招,最新的“多面体”概念的收缩吧!Delta消除真正的问题,而不想解决它们。
DELTA:我不收缩概念。而你,扩展了它们。譬如,这个画框根本就不是一个货真价实的多面体。
ALPHA:为什么?
DELTA:试取“隧道”——画框包围的空间——中的任意一点。穿过这点安放一个平面。你会发现任意这样的平面总与画框有两个不同的截面,造成了两个不同的、完全隔开的多边形(图10)
图10
ALPHA:那又如何?
DELTA:如果是一个名副其实的多面体,通过空间中的任一点,至少有一个平面与多面体的截面仅由一个多边形组成。对于凸多面体,所有平面都满足此要求,不管我们在何处取点。对于普通凹多面体,一些平面会有更多的交点,但总有些平面只有一个(图11(a)和(b))。对于这个画框来说,若我们在隧道中取一点,所有平面将会有两个截面。你又怎么能称它是一个多面体呢?
图11
老师:这像是另下了一个定义,这一回是个隐定义了。就叫定义5吧[23]。
ALPHA:有一连串反例,就有一连串与之匹配的定义!这些定义号称是不包含新东西的,仅仅是对早先的概念之丰富性的重新显示,似乎那一早先的概念碰上多少反例就自有多少“隐藏”条款。对所有多面体,V-E+F=2似乎是不可动摇的,是一个悠久的、“永恒的”真理。忆及它曾几何时是一个漂亮的猜想,充满着挑战与激动,倒觉得奇怪了。如今,因为你们在含义上施行奇怪的变换骗术它已经沦为一个可怜的约定、一个可鄙的教条了。(他离开教室)
DELTA:我不能理解,为何一个能干如Alpha的人要在仅仅的捣乱、嘲弄上浪费时间。看起来,他聚精会神于创造畸形。但是,不论在自然界抑或思想界中,畸形从不促进发展。进化总是遵循着和谐与秩序井然的形式。
GAMMA:遗传学者轻易即可驳倒此观点。你没听说过,产生畸形的突变在宏观进化(macroevolution)中扮演了重要角色?他们把这种畸形的突变物叫做“有希望的怪物”。在我看来,Alpha的几个反例虽是怪物,但却是“有希望的怪物”[24]。
DELTA:Alpha反正已经放弃了争论。现在不再有怪物了。
GAMMA:我又有一个新怪物。它符合定义1、2、3、4、5中的所有限制,但V-E+F=1。这个反例5就是一个简单的圆柱体。它有3个面(顶面、底面和外套面)、两条棱(两个圆圈),没有顶点。它是一个符合你们的定义的多面体:(1)每一条棱上都正好有两个多边形相交;(2)由一条不在任一顶点跨过任何棱的路线,自任一多边形的内部到任一其他多边形的内部,是可能的。你亦须承认这些面是名副其实的多边形,因为它们符合你们的要求:(1)每一顶点都正好有两条棱边相交;(2)除了顶点,棱边与棱边之间没有任何公共点。
DELTA:Alpha扩展了那些概念,你却撕裂了它们!你的“棱并不是棱!一条棱有两个顶点!
老师:定义6?
GAMMA:但为什么不承认有一个或可能没有顶点的“棱”与棱的关系呢?你习惯了收缩概念,可你现在让它们支离破碎,以致所剩无几了!
DELTA:但你没瞧见这些所谓的反驳是徒劳的吗?“以前,一个新多面体发明出来,是为了某个实用的目的;如今它们被专门发明出来,使我们的先辈们的推理变得不可靠,而除了这套,就没有什么其他东西可向它们请教。我们的主题被转换成一个畸形学博物馆正派的普通多面体若在这里能保留一块很小的角落,也就觉得满足了。”[25]
GAMMA:我认为,倘若我们想真正深入地了解某样东西,我们必须以批判的态度,高度兴奋地、热情地研究它,而不是在其“正常的”、固定的、通常的形式下。如果你要了解正常的健康身体,在它不正常时、害病时研究它。如果你要了解各种函数,那就研究它们的奇异性。如果你要了解普通多面体,那就研究它们的极端分子。要想让精确的分析进入该主题的核心处,就得走这条路[26]。不过,即便你大体上正确,你没瞧见你针对这个那个问题的特定(ad hoc)方法的无效吗?如果你要寻出反例与畸形物之间的界限,你不能做做停停
老师:我认为,我们应该拒绝接受Delta处理全局反例的策略不过也应恭维他运用策略的娴熟巧妙。我们可以给他的方法取上一个合适的名字:怪物排除法。用此方法,可以通过对多面体、对它的定义项或对它的定义项的定义项所做的间或熟练的但总是临时的重新定义来消除任何反例。不管怎么说,我们终究应更尊敬地对待反例才行,而不应顽固地予以怪物的称号,把它们驱除掉。Delta的主要错误也许是他解释数学证明的教条主义偏见:他以为一个证明必然应证明其欲证明者。我对于证明的解释可以允许一个“错误的猜想被“证明”,即把它分解为几个子猜想。若猜想为假,我当然可以预计至少诸子猜想之一为假。但分解仍会是有意义的!找到了一个“已证”猜想的反例,我不会感到不安;我甚至愿意开始即着手“证明一个错误的猜想!
THETA:我不听你的。
KAPPA:他只听《新约全书》的:“但要凡事察验,善美的要持守。”(《帖撒罗尼迦前书》第5章,第21节)
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