以例外排除法改进猜想。逐步排除。策略性撤退或稳扎稳打

（c）以例外排除法改进猜想。逐步排除。策略性撤退或稳扎稳打

BETA：我猜测，先生，您正预备就您莫名其妙的评论作一番解释。然而，我对我的没耐性感到万分抱歉，我现在不得不发泄一下我受压抑的感情。

老师：请说。

（ALPHA又进来了。）

BETA：我虽然觉得Delta的论点有些方面傻乎乎的，但我已相信这些论点有一个合理的内核。现在，我认为没有普遍有效的猜想猜想仅在某一排除了例外的有限界域中有效。我反对称这些例外为“怪物”或“病态的例子”。此举会在方法论上导致决定不由这些有趣的例子的本来意义去考虑它们，但是它们是值得单独考察一番的。可我同样反对“反例”一词；这个词虽然正确地认可了它们作为例子，与支持的例子有同等地位，但从某种意义上说，其又为它们涂上了好战的色彩，以至于如Gamma者，面对它们时就恐慌起来，以至于要把美丽而精巧的证明一齐抛弃了。实际不是这样的：它们不过是例外罢了。

SIGMA：深表同意。“反例”此词散发着好斗性的气味，冒犯了那些发明了证明的人。“例外”才是正确的表达。“存在3种数学命题：

“1.总为真者。此种命题不存在限制和例外，例如：一切平面三角形之内角和总等于两直角。

“2.依赖于某错误原理者。故无论如何决不能承认。

“3.虽立足于真原理，但仍承认某些情况下之限制或例外者……”

EPSILON：什么？

SIGMA：“……不应把错误的定理与受制于某种限定的定理混为一谈。”^[27]俗话说：例外能反证规律。

EPSILON（向KAPPA说）：这头脑不清者是谁啊？他该学点逻辑了。

KAPPA（向EPSILON说）：还要学点非欧平面三角才是。

DELTA：不得不去预言在此次讨论中Alpha和我也许会站在同一边，我发觉这样挺使人难堪的。我们均在一命题之为真或为假的基础上争论，亦仅在欧拉定理是真还是假此一特殊问题上不一致但Sigma盼望我们承认命题的第三种范畴，即“原理上”为真但“在某些场合容许例外”。容忍定理与例外的和平共处，不啻向数学中的混淆与无序屈服。

ALPHA：D’accord.（同意）

ETA：我一直不想打断Delta才华横溢的论述，但现在我想，若我简要解释我的智识发展的经历或许有些益处。在我的学生时代按你们的称呼，我成了一个怪物排除者，作为守方反对Sigma一类而非Alpha一类的观点。我犹记得在一期刊上阅读到有关欧拉定理的话：“关于这定理的普遍有效性，杰出的数学家们已经提出过诸种证明了。然而这定理却碰到种种例外……有必要提醒大家注意这些例外，因为晚近的学者们也并不总能清楚地认识它们。”^[28]这不是一篇孤立的圆滑文章。比如，还有“虽然几何学教科书与讲义总是指出欧拉的漂亮定理V＋F＝E＋2在某些情况下要受‘限制’，或谓‘似乎并不有效’，但谁也不清楚这些例外之所以例外的真正缘由。”^[29]如今我仔细地检查这些“例外”，我得出的结论是：它们都与问题中的实体（多面体）的真实定义不相吻合。所以证明与定理便可恢复原位，而定理与例外的混乱共存便消逝了。

ALPHA：Sigma的混乱立场可为你的怪物排除法提供一个解释但不能作为替你开脱的借口，更别说作为正当的理由。为何不通过接受反例证明书并且拒绝接受“定理”与“证明”来消除混乱局面呢？

ETA：为何我必须拒绝证明？我没瞧见它有任何一点儿错误。你瞧得见吗？在我看来，我的怪物排除比你的证明排除似乎更为合理。

老师：这场争论说明了，怪物排除如果源自Eta的两难困境，便似乎能博得一位更为同情的听众。不过，我们还是回到Beta与Sigma的讨论。把反例重新命名为例外的是Beta。Sigma与Beta的论调一致……

Beta：Sigma与我一致，我很高兴，但恐怕我不能同意他的论调确实存在3种命题：真者、绝望的错误者、充满希望的错误者。此最末一种用加入声明诸例外的限制性条款可改进为真。我从不“认为公式属于一个未确定的有效界域。实际上，大部分公式仅当满足某些条件时方成立。如果确定了这些条件，当然还要精确确定我所使用的语词之意义，我便消灭了所有的不确定性”。^[30]因此，如你们所见，我并不主张让未改进之公式与例外有任何形式的和平共处。我改进我的公式，让它们与Sigma在第一堂课上提出的公式一样完美化。这就意味着，只要怪物排除法用来确定原猜想的有效界域，我便接受它；而只要它当作以受限制的概念来挽救“漂亮”定理的语言花招来用，我便拒绝接受它。Delta方法的这两种功用应当分开来看。我愿意给我的方法命名为“例外排除法”，这一方法只能用第一个功用来描述。我要用它来精确确定欧拉猜想的有效界域。

老师：你许诺要给欧拉多面体“精确确定的界域”是什么？你的“完美的公式”又是什么？

BETA：对没有空腔（如嵌套立方体对则有）和隧道（如画框则有）的所有多面体，V－E＋F＝2。

老师：你肯定？

BETA：是的，我肯定。

老师：孪生四面体呢？

BETA：不好意思。对没有空腔、隧道、“多重结构”的所有多面体，V－E＋F＝2^[31]。

老师：我明白了。我赞同你改进猜想的策略，而不只是要么接受，要么拒绝。相对怪物排除法和放弃法而言，我更倾向于采纳这一策略。然而，我有两点反对意见。第一，我坚决主张，你所声称的不但改进猜想，并且“完善”猜想、“使其严格地正确”、“使所有的不确定性消失”的方法是站不住脚的。

BETA：果真如此？

老师：你必须承认，你的每一版新猜想，只不过是对刚刚出现的一个反例的特定消灭。你意外发现嵌套立方体时，你排除带空腔的多面体。你偶然注意到画框时，你排除带隧道的多面体。我欣赏你那开放而敏锐的心灵；注意到所有这些例外都是很好的，但我觉得当你盲人骑瞎马般地摸索“种种例外”时，不如直接用某种方法更好承认“所有多面体是欧拉式的”乃一猜想，这一点很好。但为何又说“所有不带空腔、隧道以及不带这不带那的多面体是欧拉式的”是一条定理，不再含猜想的成分？你怎有把握说你可历数所有的例外？

BETA：您能给出我未曾考虑的一例吗？

ALPHA：我的海胆呢？

GAMMA：还有我的圆柱呢？

老师：就我的论点而言，我根本不需要一个具体的新的“例外作为我的论据。我的论据支持更多例外的可能性。

BETA：说不定您是正确的。岂可一碰见新反例便朝令夕改不应当说：“如果表面上无例外产生，此结论便大体是明确的。但如果此后无论何时有例外出现，那么当例外出现时，此结论才开始因这些例外而变得明确。”^[32]让我想想。我们最初猜想对所有多面体有V－E＋F＝2，只因我们发现它对立方体、八面体、棱锥和棱柱皆成立。我们当然不能接受“此种不幸的由特殊至一般的推理方式”。^[33]例外突然出现了，这不足为奇；着实令人惊讶的是，许许多多更多的例外没有更早地发现。在我看来，这是由于我们几乎总是考虑凸多面体。只要考虑其他多面体，我们的归纳便不再有效^[34]。所以，与其逐步地排除例外，我还不如谦虚但安全地画一界线：所有凸多面体是欧拉式的^[35]。我还希望你们承认，此中不含猜想的成分：它是一条定理了

GAMMA：我的圆柱呢？它是凸的！

BETA：那不过是玩笑罢了！

老师：我们暂且不去理会圆柱。即使没有这圆柱，我们亦能提出批评。Beta为回答我的批评，迅速设计出了例外排除法此一修改后的新版本，以策略性地撤退到一个有望成为猜想的堡垒的界域里代替逐步的撤退。这是稳扎稳打的谨慎做法。可是，你真如你所宣称的那般安全？你仍不能保证你的堡垒里不再会有任何例外。另外，尚有相反的危险。你会不会撤退得太激烈，把许许多多欧拉多面体置于堡垒的城墙之外？我们的原猜想或许是在夸夸其谈，但我觉得你的“完美化的”命题简直就过于保守了；可是，你仍然不能肯定它是不是同样也在夸夸其谈。

不过，我亦乐意提出我的第二点反对意见：你的论点忘记了证明；你在推测猜想的有效范围时，似乎根本不需要证明。你还不至于相信证明是多余的吧？

BETA：我何曾说过此话。

老师：是的，你没说过。但是你发现，我们的证明证明不了我们的原猜想。但它可以证明你改进后的猜想吗？告诉我。

BETA：嗯^[36]……

ETA：先生，谢谢您这番辩论。Beta的窘境清楚地显示出遭诽谤的怪物排除法的优越性来。因为我们说，该证明所论证的就是欲着手证明者，这样我们的答案才是明确的。我们不允许反复无常的反例任意地破坏令人满意的证明，即便它们化妆成谦恭驯服的“例外”也不允许。

Beta：因为批评的刺激，我不得不详述、改进，以及——不好意思，先生，我还是要说——完善我的方法论，我一点也不觉得这令我难堪。我的回答如下。我拒绝接受原猜想，认为它不对，原因是原猜想存在着例外。我亦拒绝接受该证明，因为例外同样是至少一个引理的例外。（用您的说法，便是：全局的反例必然亦是局部的反例。Alpha在此停住了，因为反驳似乎已彻底满足其智力的要求。但我继续前进。我通过适当的方法，将猜想与证明均限制在合适的论域中。于是，一来猜想完美化了，就此为真了，二来大体上还算合理的证明完美化了，就此严格了，且显然不再包含错误的引理。譬如我们曾看见，并非所有的多面体在移去一面后皆可平铺拉伸于一平面上。但所有凸多面体办得到。猜想既已完善并得到了严格证明我要称它为定理便没什么不对了。我重申：“所有凸多面体都是欧拉式的。”就凸多面体来说，所有引理为真是一目了然的，而证明就其不成立的普适性来说，虽是不严格的，但就限制后的凸多面体界域来说，便是严格的了。所以，先生，您的问题我已回答。

老师：所以，在这些例外被发现以前，曾看起来是一目了然地为真的引理，现在再度看起来是一目了然地为真了……直到发现下一个例外。你承认“所有多面体是欧拉式的”乃一猜测；你刚才又承认“所有无空腔及隧道的多面体是欧拉式的”亦是猜测；何不再承认“所有凸多面体是欧拉式的”亦是一猜测！

BETA：这一次不是“猜测”了，而是洞察！

老师：我厌恶你这自命不凡的“洞察”。我尊重有意识的猜测因为它源于人类最优秀的品质：勇敢与谦虚。

BETA：我提出了一个定理：“所有凸多面体都是欧拉式的。”您只不过做了一通反驳它的说教。您给出一个反例好吗？

老师：你怎么知道我不会呢。你改进了原猜想，但你不能自称完善了猜想，在你的证明中达到了绝对的严格性。

BETA：您能给出吗？

老师：我也不能。但我认为，我改进猜想的方法将会改进你的方法，因为我会在证明与反例间建立一种一致性和真正的相互作用。

BETA：愿闻其详。