（c）演绎的猜测VS.素朴的猜测
ZETA：开始？我为何要开始？当我发现（或发明）一个问题时，我的心里并非空空如也的。
老师：别开Beta的玩笑了。这便是问题：“多面体的顶点数、棱数、面数之间，有一定的关系吗，就像多边形的顶点数与边数的平常的关系V＝E那样？”[115]你想如何下手？
ZETA：首先，我未获得政府授权去领导一项大规模的多面体普查，也没有研究助手的大军，来数多面体的顶点、棱和面，并用数据制成表格。纵然我有，我也没有耐心——或兴趣——去尝试一个一个的公式，看看哪个是符合的。
BETA：那要怎么样？你要高卧床头，紧闭双眼，将这些数据束之高阁？
ZETA：正是如此。我需要以一个观念开始，而非如此这般的数据。
BETA：你又从何处获得你的观念呢？
ZETA：我们系统表述问题时，想法便存于我们的心里了：说实在的，它正存于问题的系统表述当中。
BETA：什么观念？
ZETA：即对多边形来说，有V＝E。
BETA：于是怎样？
ZETA：问题从不凭空而生，总是跟我们的背景知识相关。我们知道，对多边形有V＝E。可以认为，一个多边形是单单一个多边形构成的多边形系统。而一个多面体是不止一个多边形构成的多边形系统。可对多面体而言，V≠E。从单多边形系统转到多多边形系统的过程中，关系V＝E在哪一处失效了呢？我不去收集什么数据，我要跟踪这问题是如何由我们的背景知识而生；即是说，问题的出现，究竟是因为什么样的期望落了空呢？
SIGMA：言之有理。就按你的建议办。对任一多边形，有E－V＝0（图17（a））。如我把另一多边形接合上去（不一定在同一平面内），会有什么情况发生？后加的多边形有n1条边、n1个顶点；现在沿着n1′条边、n1′＋1个顶点的链，把它接合到原多边形上，我们便将边数增加了n1－n1′，将顶点数增加了n1－（n1′＋1）；即，在新的二多边形系统中，边数便对顶点数有一个超出量：E－V＝1（图17（b）一个不常见却完全正当的接合法见图17（c））。将一个新面“接合到系统上便总是将原先的超出量增加1，或者说，对于如此建立的F多边形系统，便有E－V＝F－1。
ZETA：移项便得V－E＋F＝1。
LAMBDA：但这对大多数多边形系统而言皆不合。比如拿立方体来说……
SIGMA：我的构造法只可得到“开”多边形系统——以边的环路为界！但不难扩展我的思想实验，形成“闭”多边形系统而去掉这样的限制。实现这闭合性的方法，便是为一个瓶状的开多边形系统盖上多边形盖子：将这样的盖子多边形接合上去，便将F增加1，而不改变V和E……
图17
ZETA：这不就是说，若闭多边形系统——或谓闭多面体——照这样的方式构造，便有V－E＋F＝2：你未“观察”任何多面体的顶点、棱、面之数目，便得到了这个猜想！
LAMBDA：而此时你不从“归纳的起始点”出发，亦可应用多证多驳法了。
ZETA：有一点区别，就是你不需构思出一个证明——证明就在那儿！你可立马继续多次反驳、证明分析、定理形成之工作。
LAMBDA：那么，你的方法里——不是观察——是证明在素朴猜想之先了[116]！
ZETA：哦，对于从证明发展出来的猜想，我不会叫它“素朴的”。在我的方法里没有归纳素朴的位置。
BETA：反对！你不过是迫使“素朴的”归纳起点往后退罢了你的起点是“对多边形有V＝E”。这一点你难道不是以观察为基础的？
ZETA：我跟大多数数学家一样，连数数也不会。我只是使尽力气把七边形的边和顶点数了数：我先是发现有7条边、8个顶点第二次又发现有8条边、7个顶点……
BETA：别闹着玩儿了，你到底如何得到V＝E？
ZETA：当我第一次意识到对于三角形有V－E＝0时，我曾深深地为其震撼。我当然很清楚，对于一条边（线）有V－E＝1（图18（a））。我也知道把新边接合上去的结果，总是让顶点数与边数各增加一（图18（b）及18（c））。何以在多边形的边系统中有V－E＝0接着我悟及，这是由于从一个开的边系统（以两顶点为界）转到了闭的边系统（没有这样的界限）：因为我们把一条边接合上去而盖合了开系统，却没有增加新的顶点。所以，我是证明而非观察到了，对多边形有V－E＝0。
图18
图19
BETA：你的巧妙构思并没有对你有所帮助。你仅迫使归纳的起点进一步往后退了：现在退到了这个命题上：对任一边皆有V－E＝1。你是证明它的呢，抑或是观察到的呢？
ZETA：我是证明的。我自然明白，单有一个顶点则V＝1（图19）。我的问题便是要构造一个类似的关系……
BETA［暴怒］：对于一点有V＝1，你难道不是观察出来的吗？
ZETA：你难道是观察出来的吗？［旁白，向Pi说］：我是不是要告诉他，我的“归纳的起点”是真空？我从“观察”虚无开始？
LAMBDA：不论事实怎样，有两点已水落石出了。第一，Sigma论证了，得到素朴归纳猜想只是由于历史的巧合：面对着实际中混乱不堪的事实，谁都几乎不可能把它们纳入一个漂亮的公式中。此后Zeta说明了，就多证多驳的逻辑而言，我们根本不需要素朴猜想，亦根本不需要归纳主义的起点。
BETA：反对！又该怎么解释那些不曾被证明占先（甚至断后的著名猜想，比如四色猜想：4种颜色便足以绘制任一张地图，以及哥德巴赫（Goldbach）猜想？只是由于历史巧合，证明方可在定理之先，Zeta的“演绎猜测”方可进行：否则素朴归纳猜想便是首当其冲的。
老师：两个探试模式我们确实都必须学学了：演绎猜测是最优秀的，但素朴猜测总比什么都不猜测好。不过素朴猜测并不是归纳：归纳的猜想这种玩意儿是不存在的！
BETA：但我们是通过归纳才发现的素朴猜想啊！“即是说，它由观察所诱发，由特殊例子所点明……而在我们已检验过的特殊例子中，我们可以分出两类来：一类是先于猜想之形成与表述的，一类是在其后方到来的。前者诱发了猜想，后者支持了其有效性。两种情况均提供了猜想与‘事实’间的某种联系……”[117]这一双重联系便是归纳的核心：前者产生归纳探试法；后者产生归纳核正，或称归纳逻辑。
老师：错！事实决不诱发猜想，亦不支持其有效性！
BETA：那么，如不是我那张表里列出的事实的话，又是什么诱发了我的V－E＋F＝2的想法？
老师：我这就告诉你。你自己曾说，你为把它们纳入一个公式曾多次受挫[118]。当时的事实情况是：你先有三四个猜想，很快一个接一个都被驳倒。你的表便是在检验和反驳这些猜想的过程中逐渐制作的。这些已经完结并遭今人遗忘的猜想诱发了事实，却非事实诱发了猜想。素朴猜想不是归纳的猜想：我们所以能得到它们，是通过试试错错、多次猜想与多次反驳[119]。但若你——错误地——相信你是从你的表中通过归纳得到它们的，若你相信表越长，表所诱发而后支持的猜想便越多，你便会在搜集不必要的数据上浪费时间。而且，因为你被灌输了发现的途径是由事实到猜想、由猜想到证明的观念（归纳的神话），你便会把探试法的另一条路忘得一干二净：演绎猜测[120]。
数学探试法与科学探试法极为类似——并非因为两者皆是归纳的，而是因为两者皆是以多次的猜想、证明、反驳为特征。这中间的——重要——区别在于两者的猜想、证明（或在科学中是解释）、反例的性质不同[121]。
BETA：我明白了。于是，我们的素朴猜想便不是有史以来的第一个猜想，便不是由坚实的、非猜想性的事实根据所“诱发”：它之前已有许多“前素朴”的猜想和反驳了。猜想与反驳的逻辑没有起点——但证明与反驳的逻辑却有：自第一个由思想实验断后的素朴猜想开始。
ALPHA：也许吧。但如此说，我当初便真不该叫它“素朴的”[122]！
KAPPA［旁白］：即使在探试法中，也没有完美的素朴性这回事！
BETA：主要是需从试试错错的阶段中摆脱出来，愈快愈好，接着迅速转到思想实验上去，别过于对“事实”抱有“归纳”的尊敬。这样的尊敬会妨碍知识的发展。设想你已通过试试错错得到了这个猜想：V－E＋F＝2，但因为观察到对画框有V－E＋F＝0，它又马上被驳倒了。若你对事实太过尊敬，尤其是当它们驳倒你的猜想时你便会继续进行前素朴的试试错错过程，另寻找一个猜想。但若你采取更优秀的探试法，你至少会尝试忽略掉不利的观察检验，而用思想实验尝试一次检验：如柯西证明一样。
SIGMA：真是混淆黑白！凭什么把柯西证明称为一次检验？
BETA：凭什么把柯西检验称为一个证明？那本就是检验听好。你由一个素朴猜想开始：对所有多面体，V－E＋F＝2。接着你由它得到一些结果：“若素朴猜想为真，则移去一面后，对剩下的网状结构有V－E＋F＝1”；“若此结果为真，则即使三角形化后亦有V－E＋F＝1”；“而若这最后的结果为真，则当三角形一个个挪走时，V－E＋F＝1亦一直为真”；“此若为真，则对单单一个三角形还是有V－E＋F＝1”……
现在，这最后的结论恰好是我们已知为正确的。但如我们曾下结论说，对单单一个三角形有V－E＋F＝0，又是如何呢？我们会立即以原猜想为误而拒绝接受。所有我们已做的，只是检验了我们的猜想：由它得出种种结论。这检验似乎是确证了猜想。但确证并非证明。
SIGMA：但这样一来，我们的证明所已证的，比我们以往认为的还要少了！于今我们不得不把过程倒过来，试着建立一个朝反方向走的思想实验了：由三角形返回多面体！
BETA：正是。只有Zeta指出了，解决我们的问题，可以不必先经过试试错错构思一个素朴猜想，然后检验它，然后将检验颠倒成证明，而尽可直截了当地从真正的证明开始。要是我们已知悉有演绎猜测的可能，我们便能避免所有这些伪归纳的瞎摸乱撞！
KAPPA［旁白］：多么戏剧性的三百六十度大转弯啊！批判的Alpha变成了教条主义者，教条主义者Delta变成了反驳主义者，而现在归纳主义者Beta变成了演绎主义者！
SIGMA：不过，请等一等。如果做完这检验性的思想实验后……
BETA：我要称它为分析……
SIGMA：……竟然也能跟上来一个证明性的思想实验……
BETA：我要称它为综合[123]……
SIGMA：……“分析定理”一定会与“综合定理”完全相同吗我们在朝反方向进军时，可以使用不同的引理啊[124]！
BETA：如果它们不同，便优先取综合定理，而不取分析定理——毕竟分析只是检验，而综合却要证明。
老师：你发现我们的“证明”实际上是一次检验，似乎已震撼全班，把他们的注意力都转移到你的主论点上了：即，若我们的猜想已被反例驳倒，我们不妨把反驳搁在一边，先试着通过思想实验来检验猜想：如此，我们便可能会偶然碰上一个证明，离开试试错错的阶段，而转到多证多驳法上来。但正是此点，令我说出“我愿意着手‘证明’一个错误的猜想”的话[125]！而且Lambda也在其规则1中要求说：“如你有一猜想，即着手证明和反驳它。”
ZETA：是这样的。但我现在要给Lambda的3条规则和Omega的规则4再补充一条：
规则5如你有任一种反例，设法通过演绎猜测找出更深入的定理，使反例不再成其为反例。
OMEGA：你现在拉伸了我的“深度”概念——也许你是对的但你的新规则的实际应用又如何呢？直到现在，它只告诉了我们已知道的结果。马后炮谁都会放。你的“演绎猜测”只不过是与老师原来的分析相对应的综合而已。不过现在你要诚实点儿了——你必须用你的方法来找到这样一个猜想，你不但事先不知道，而且要有你保证过的内容的增加。
ZETA：好。我就从我的思想实验引申的这条定理开始：“所有闭正规多面体是欧拉多面体。”
OMEGA：“正规的”？
ZETA：我不想把时间浪费在一证多驳法上。我说“正规的”就是指采取下列步骤逐步建立起的所有多面体：往一个“完美的”多边形上：（a）首先接合上F－2个面，保持V－E＋F之值不变（便会得到开正规多面体）；（b）然后接合上最后的实现闭合的面，使V－E＋F增加1（于是将开多面体变成闭多面体）。
OMEGA：“完美的多边形”？
ZETA：我说“完美的”多边形，是指能以下列方法逐步建立起的多边形：首先往单个顶点上接合n－1条边，保持V－E不变，然后再接合上最后的实现闭合的边，而使V－E减少1。
OMEGA：你的闭正规多面体会与我们的柯西多面体完全一样吗？
ZETA：现在我不想深入探究。
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