以概念拉伸来反驳。重估怪物排除

（a）以概念拉伸来反驳。重估怪物排除——兼重估错误与反驳之概念

PI：我想首先回到前Zeta甚至前Omega的阶段，看看定理形成的3个主要方法：怪物排除、例外排除及多证多驳法。每一个方法都以相同的素朴猜想起头，而以不同的定理与不同的理论术语结尾。Alpha已经勾勒出了这些不同之处的一些方面^[142]，但他的叙述不能令人满意——特别是关于怪物排除与多证多驳法的情况。Alpha以为，怪物排除定理“在语言表达式与素朴猜想完全相同的背后隐藏了”对素朴猜想的“一个本质改进”：他以为，Delta逐渐把素朴多面体类收缩成了清除掉非欧拉怪物的类了。

GAMMA：这个叙述有什么毛病？

PI：并非怪物排除者收缩了概念——是反驳主义者扩展了概念

DELTA：同意！同意！

PI：我们且回到我们的主题的最早的探索者的时代。他们迷上了正多面体的漂亮的对称性：他们想，5种正则立体便保守着宇宙的秘密。而到了笛卡儿－欧拉猜想提出之日，多面体的概念就包括了所有的凸多面体，甚至还包括了一些凹多面体。但它还确未将非简单的多面体，或带环状面的多面体包括在内。对他们心中的多面体来说，猜想确为真，而证明是无瑕疵的^[143]。

接着反驳主义者来了。他们具有批判的狂热，他们拉伸了多面体概念，把与预期解释截然不同的对象亦包含在内。按猜想的预期解释，它是真的，只有按反驳主义者偷偷夹带的非预期的解释，它才是假的。他们的“反驳”显示，原猜想并没有差错，原证明并没有过错：他们的反驳只不过揭示了一个新猜想的虚假性，这个新猜想谁也没提到过或想到过。

可怜的Delta！他英勇地保卫了多面体的原初的解释。他对每一反例，都以一个新分句反驳之，以保护原始概念的安全……

GAMMA：可难道不是Delta，每一次都在转换立场吗？不管我们何时造出一个新反例，他便把他的定义变得更长些，而亮出他的又一个“隐藏”分句！

PI：真是个对怪物排除的奇怪评价！他只是看起来似乎转换了立场。你们冤枉了他，说他在顽固地辩护一个观念时，在术语运用上暗中兜圈子（epicycles）。他不幸就不幸在自负而又不走运的定义1：“多面体是其表面由多边形面组成的立体”，这把柄马上便被反驳者抓住了。但勒让德的意思只是想包括他的素朴多面体；而这个定义的容量远远过了头，其提出者却整个蒙在鼓里，完全不曾料及。数学界虽心甘情愿地忍受这个畸形的内容，它自己却从似是而非、貌似无知的定义中慢慢地摆脱出来。这便是为什么Delta不得不一次又一次口吃地说“我的意思是……”，且不得不总是把他没完没了的“隐含”分句一个个明白公开出来：这都因为素朴概念从未清楚地确定下来，而一个简单却畸形的不曾预期的定义取代了它不过，请想象一个不同的情景，定义正好安置了“多面体”的预期解释。这时，就轮到反驳者去构思一个比一个长的怪物包含定义了比如说，为“复合多面体”构思定义：“一个复合多面体是一组（真正的）多面体，每两个多面体均以全等面焊在一起。”“复合多面体的面可以是复合多边形，即一组（真正的）多边形，每两个多边形皆以等边相焊接。”此种复合多面体正对应着Alpha和Gamma的反驳引生的多面体概念——第一个定义也考虑到了非简单的多面体第二个定义也考虑到了非单连通的面。故构思新定义便不一定是怪物排除者或概念保护者的任务——它亦可以是怪物包含者或概念拉伸者的任务。^[144]

SIGMA：这么说，概念和定义——即预期的概念和非预期的定义——便可以互相捉弄了！我做梦亦不曾想到，概念之形成还会落在非预期的宽泛定义之后！

PI：会的。怪物排除者只是在信守原始概念，而概念拉伸者却把它扩大；妙的是概念之拉伸是鬼鬼祟祟地进行的：没有人发觉，又因为每人的“坐标系”随着概念的扩大而扩展，他们便不免要误信怪物排除缩小了概念，而成为这一探试法错觉的牺牲品，实则怪物排除一直保持概念不变。

DELTA：如今是谁做学问不诚实了？是谁在鬼鬼祟祟地变换立场了？

GAMMA：我承认，我们是错了，我们不应指责Delta，说他的多面体概念暗中被收缩：他所有的6个定义都是在指同一个他祖传的又适当又悠久的多面体概念。他在愈发丰富的理论参照系或语言中，反复定义的正是同一个贫乏的概念：怪物排除不形成概念，却只转换定义。怪物排除定理对素朴猜想毫无改进。

DELTA：你的意思是我的所有定义都是逻辑等价的？

GAMMA：那是依于你的逻辑理论而定的。依我的逻辑理论看来，它们便自然不是等价的。

DELTA：你这个回答没有什么帮助，你会承认的。不过，请告诉我你驳倒了素朴猜想吗？你驳倒它的手段只是鬼鬼祟祟地歪曲它的原有的解释！

GAMMA：哦，我们驳倒它的解释之富于想象力和有趣，你做梦也梦不到！正因为这一点，只揭露一个愚蠢错误的反驳和对知识发展起主要作用的反驳之间的区别才显露出来。如果你拙劣地把数数错了，发现“对所有多面体有V－E＋F＝1”，我随后纠正了你的错误，我也将不会称它是“反驳”的。

BETA：Gamma说得好。在Pi的揭示之后，我们也许便会犹豫是否把我们的“反例”叫做逻辑反例，因为按猜想的预期解释，它们毕竟与猜想不相吻合；但它们肯定是探试反例，因为它们激励知识的发展。若我们过去接受了Delta的狭义逻辑，知识便发展不了现姑且假设拘泥于狭隘的概念框架的人发现了欧拉猜想的柯西证明。他发现这一思想实验的所有步骤都可轻易施行于任意多面体上。他遂以为，这些“事实”：所有多面体都是简单的，所有面都是单连通的，是显而易见、毫无疑问的。他从未意识到要把他“显而易见的引理变为改进后的猜想的条件，以逐步建立一个定理——因为，这中间缺乏作为刺激物的反例，来揭露一些“平常的真”引理的虚假性这样他便以为“证明”毫无疑义地确立了素朴猜想的真实性，其确定性便毋庸置疑了。但是，他那“确定性”离成功的征兆还远得很，而不过是想象力匮乏、概念贫乏的症状而已。其结果，便是自以为是的满足，及知识发展的受阻^[145]。