关于证明之终极性的一些疑问。翻译的程序以及实在论者的定义方法

3.关于证明之终极性的一些疑问。翻译的程序以及实在论者的定义方法VS.唯名论者的定义方法

老师：不管怎样，我们已经得到了新的证明。尽管这样，可它是最终的吗？

图29

ALPHA：非也。看这个多面体（图29）。它有两个环形面，前面的与后面的，它可以被吹胀成一个环面。它有16个顶点，24条棱和10个面。于是有V－E＋F＝16－24＋10＝2。它是欧拉式的，但是根本不是单连通的。

BETA：我不认为这是笛卡儿－欧拉现象的例子。这是鲁易里现象的例子；就是：对于一个有k条隧道和m个环形面的多面体，有V－E＋F＝2－2k＋m^[23]。对于任意像这种环形面的个数是隧道的两倍的多面体都有V－E＋F＝2，但是那并不意味着它是欧拉多面体。这种鲁易里现象可以立马解释我们为什么不能轻易地得到充分必要的条件——或者主定理——关于笛卡儿－欧拉猜想的，因为这些鲁易里的例子已经不合适地强行进入到欧拉式的例子之中^[24]。

老师：但是Epsilon从没有许诺终极性，仅仅说比我们早前所达到的要更有深度。他现在已经履行了他的诺言，一下子给我们提供了既能解释普通多面体的欧拉特征又能解释星状多面体的欧拉特征的证明。

LAMBDA：这倒是真的。他翻译了这一要求，就是面都是单连通的——即在三角剖分过程中每一条新的对角线都产生一个新的面——以这种方式三角剖分的观念从中完全消失了。在这一新的翻译中，如果一个面以所有顶点回路划界，这个面就是单连通的——并且这一要求对欧拉式星状多面体也有效！同时，当我们在运用约当的多面体的单连通性直觉（即非星状的直觉）概念到星状多面体遇到的困难，在庞加莱的翻译中，这些困难消失了。星状多面体，正如普通多面体，是顶点、棱、面的集合加上关联矩阵；我们并不关心碰巧在我们的物质的、三维的、大致是欧几里得的空间中的多面体的实现问题。例如，小的星芒状十二面体不是欧拉式的：在其中描画出非划界的1－回路并不太难。

BETA：我从另一方面也发现它的趣味。Epsilon的证明同时更加严格、更加包容了。在这两者之间有必然的联系吗？

EPSILON：我不知道。但是，我们的老师只要求让我的证明更有深度，而我现在正要求得到绝对的确定性。

KAPPA：你的定理和先前的猜想一样易于被一些想象的概念拉伸所反驳。

EPSILON：你错了，Kappa，下面我来解释^[25]。

ALPHA：在你解释之前，让我对你的证明先提第二个问题，或者更确切地说关于你对证明所要求的终极性和确定性的问题。多面体事实上是你的矢量代数结构的模型吗？你确信你把“多面体”翻译为矢量理论是一个正确的翻译吗？

EPSILON：我已经说了是正确的。如果某些事情让你吃惊，也不是怀疑它的理由。“我正在追随伟大的数学家，他们借助于一系列令人吃惊的定义，把数学从怀疑论者那里解救出来，并且提供了其命题的严格证明。”^[26]

老师：我的确认为这种翻译的方法是Epsilon证明确定性与终极性问题的核心。我认为，我们应该称其为翻译程序（translation－procedure）。但是让我们看看，还有其他疑问吗？

GAMMA：还有一个。假如我接受了你的推论是毋庸置疑的你确信你不能从你的前提同样毋庸置疑地推导出你的定理的否定吗？

EPSILON：我所有的前提都是真的。它们怎么可能不一致呢？

老师：我很欣赏你的怀疑。但是，我更欢迎一个反例而不是诸多的怀疑。

GAMMA：我想知道，我的圆柱难道没有驳倒这一新定理？

EPLISON：它当然没有驳倒。在圆柱体中，空集没有划界，于是有ρ0≠1。

GAMMA：我明白。你是对的。把这一论据放进你那非常熟悉、清晰、明确的术语中，立刻就说服了我。

EPSILON：我知道，你是在讥讽！你在前面就质疑过我的定义。那时我说过它们的确是毋庸置疑的真的公理，其借助于绝对无误的清晰、明确的直觉来表述我们所讨论的概念的本质。我一直在考虑这一问题，最终我认为必须放弃我那亚里士多德式的定义观当我定义一个含糊的术语时，事实上，我是以一个新的来替换它，老的术语只不过作为我的新术语的缩写词罢了。

ALPHA：让我们来澄清这一点。你用“定义”来指谓什么：是指从左边到右边进行一次替换，还是从右边到左边进行一次缩写？

EPSILON：我是指缩写。我已经忘记了老的术语的含义。我径直地提出了我的术语的新的含义而抛弃了老的含糊的术语。我也径直地提出我的问题而抛弃了老的晦涩的问题。

ALPHA：你不禁成为一个极端主义者。但是请继续下去。

EPSILON：然而，我通过我的纲领中的这样一个变化的确收获一点：你的一个疑问因此而消除了。如果定义是缩写，它们就不可能是假的。

ALPHA：但是你也失去了更加重要的东西。你不得不把你的欧几里得纲领限制为以完全被认可的概念表达的那些理论了，并且当你想把有模糊的概念的理论拉进这一纲领的范围时，你就无法使用你的翻译的技巧做到这一点：正如你所说，你不是翻译，而是在提出新的含义。但是，即使你尝试翻译老的含义，一些原先含糊的概念的本质的方面也可能会在翻译中丧失。新的清晰的概念也许并不适合用来解决一些老的概念可以解决的问题^[27]。如果你把你的翻译当作是不会错的，或者，如果你有意识地抛弃老的含义，这两种极端情况将会产生同样的结果：你也许会把原先的问题推入思想史被忽视的地域，事实上你并不想这样做^[28]。所以，如果你冷静下来你不得不认可定义总须有那么一点修改的实在论：它必须保留老的含义的一些相关的方面，它必须从左边到右边转移含义的一些相关要素^[29]。

BETA：不过，即使Epsilon在定义中接受这种有一些修改的实在论，那么，对实在论者的方法的放弃将仍然是对其先前的欧几里得纲领的大撤退。我猜想，Epsilon现在会说，存在着用完全被认可的术语和确实可靠的推论表述的欧几里得理论——比如算术、几何、逻辑、集合论，而如今，他通过把包含含糊的、晦涩的术语和不确定的推论的非欧理论——比如微积分和概率论——翻译成已定的欧几里得理论来组成欧几里得纲领，从而既为基础理论也为早先的非欧理论开辟了新的发展道路。

EPSILON：我将把这种“已定的欧几里得理论（already Euclidean）”或确定的理论称之为主导理论（a dominant theory）。

GAMMA：我想知道这种退缩的纲领应用范围是什么？它肯定无法涵盖物理学。你永远不可能把波动力学翻译成几何学Epsilon想“依靠一系列的令人吃惊的定义把数学从怀疑者手里解救出来”^[30]，但是他所解救的至多是些碎屑。

BETA：我对这些翻译定义还有一个问题。它们在主导理论中看起来似乎只是一些缩写，因此“依照定义”它们是正确的。但是，如果我们把它们归之于非欧几里得范畴，那就是证伪的了^[31]。

EPSILON：你说得对。

BETA：看一个人是怎样证伪这样的定义是一件有趣的事儿。

THETA：现在，我想把讨论转移到Epsilon的推导是否绝对可靠的问题上来。Epsilon，你还声称你的定理的确定性吗？

EPSILON：那当然。

THETA：所以你无法想象你的定理的一个反例了？

EPSILON：正如我告诉Kappa的那样，我的证明是确实可靠的。对于它没有任何反例。

THETA：你是不是想要把作为怪物的反例排除掉？

EPSILON：就连怪物也不能反驳它。

THATA：所以，你声称，不管我用什么来替代你的完全被认可的术语，定理依然是正确的了？

EPSILON：你可以用任何语词来替代完全被认可的矢量代数的专门术语。

THETA：我无法替换你的非专门的原始术语，诸如“所有”“和”、“2”等等，是吗？

EPSILON：不。但是你可以用任何语词来替换我的专门的被完全认可的术语，诸如“顶点”、“棱”、“面”等等。由此，我认为我已阐明了反驳意味着什么。

THETA：不错。但是另一方面，事实上，你既可以被反驳，实际上也没有做到你自认为自己已经做到的。

EPSILON：我不明白你晦涩的暗示。

THETA：如果你真想弄懂，你就会明白。你的反例的观念的特征看起来是合理的。但是，如果反例是那样的话，那么你的“完全被认可的术语”的含义就是无关紧要的了。如果你的主张是正当的这就恰好是你证明的价值所在。一个证明，如果是不可反驳的，就不会依赖于——正是按照不可反驳的证明的概念——专门的“完全被认可的术语”的含义。所以，你的证明的重任——如果你是正确的——全部要由非专门、基础的术语的含义来承担——例如在算术集合论、逻辑中——而丝毫不是由你的专门术语的含义来承担。

我将把这样的证明叫做形式证明，因为它们根本不依赖专门术语的含义。形式性的程度的确是依赖非专门术语。这些术语完全被认可的特征——我称之为构成术语（formative terms）的特征——的确非常重要。通过限制它们的含义，我们说明哪些能够被接受为反例，哪些不能够。由此，我们就控制了反例的洪水泛滥。如果一个定理没有反例，我们就称呼这一定理为重言式：例如一个算术－集合论的重言式。

ALPHA：按照我们对准逻辑常项的选择，我们似乎能得到所有区域的重言式。但是我知道这里问题多多。首先：我们是怎样知道一个重言式就是重言式的？

KAPPA：除了可能的怀疑之外，你将永远也不理解。但是，如果你对主导理论产生了严重的怀疑，那就抛弃它，代之以另一个主导理论^[32]。

＊编者按：这一部分对话在拉卡托斯的论文里就到此为止了我们应该尝试说服拉卡托斯把对话沿着下面的路径继续下去：

THETA：但是从我们刚才所谈的来看，似乎可以知晓，如果我们可以在其主导理论是逻辑的系统中重新认识我们的证明，那么只要我们对我们的逻辑没有严重的怀疑，我们将能够保证我们的演绎推理的绝对可靠性，并且把所有的怀疑不是投到实际的证明上，而是投到引理上，投到定理的前提上。

EPSILON：我很高兴，至少Theta最终理解了。事实上，我的证明是可以在其主导理论是逻辑的系统中重新认识的。随着所有的引理并入为前提条件，条件陈述就能在这一系统中被证明，而且我们知道（相对于给定的一批构成的“逻辑的”术语），并没有任何能够以这种方式证明的陈述的反例存在。不管描述的术语怎样被重新解释，这一条件陈述将始终保持为真。

LAMBDA：怎样得出“我们知道”的呢？

EPSILON：我们并不确切知道——这是一条关于逻辑的非形式的定理。但是，除此以外，我们知道，当其在这样的系统中以任意所谓的证明出现时，我们可以使用一种保证在有限的步骤内得出答案的程序完全机械地检查它是否的确是一个证明。那么，在这样的系统中，你的“证明分析”就降低成为平凡的手段了。

ALPHA：但是，Epsilon，你会赞同“证明分析”在非形式数学中还维持其重要性的；而且，形式证明也总是非形式证明的翻译，关于翻译所提出的问题也还的确是真实的。

LAMBDA：但是无论如何，Epsilon，我们又是怎样知道证明的检查总是正确的呢？

EPSILON：实际上，Lambda，你难以遏止的对确定性的渴求正在变得令人厌烦了！我已经有多少回只好告诉你我们对确定性是一无所知的了？但是你对确定性的渴望正在使你提出一些非常无聊的问题——而你对有趣的问题却熟视无睹。

【注释】

[1]见第66页和第95页。

[2]见前文，第34页。

[3]Epsilon可能是欧几里得派中第一个重视证明程序的探试法的价值的。直到17世纪，欧几里得派才认可柏拉图的分析方法是探试法；但后来他们又用碰运气以及/或者天赋替代了它。

[4]在证明分析中，并没有对“工具”的限制。我们可以使用任何引理、任何概念。在任何发展着的、非形式化的理论中这是对的，解题本来就是利用任何可以利用的方法。在形式化的理论之中，工具则是完全依据理论的句法来规定的。在理想的情况下（有一个判定步骤）解题就是例行程序。

[5]这是笛卡儿的用语，在他的［1628］中，规则⒔。

[6]我们应该不要忘记，证明分析是以定理结束，而欧几里得的证明却是从定理开始。在欧几里得的方法论中没有猜想，只有定理。

[7]笛卡儿［1628］，规则Ⅸ。

[8]帕斯卡的定义的规则（［1659］，第596—597页）：“不要对完全被认可的特定的术语下定义。不允许对任何哪怕是有一点点模糊和歧义的术语不下定义。在对术语的定义中只使用完全被认可或是已经解释过的词汇。”

[9]笛卡儿［1628］，规则Ⅲ的注释。

[10]同上。

[11]波利亚［1945］，第81—82页。

[12]“定义是作为本质特征的不可证明的陈述”（亚里士多德，《后分析篇》，94a）。

[13]日果内［1818］。

[14]施勒夫里［1852］发现，这些术语可以归类在一个单一的一般抽象的术语之下他称它们为“多系统（polyschemes）”。李斯丁［1861］称它们为“Curian”（译注：这是一个生造的词语）。但是，正是施勒夫里把这一普遍性扩展到了三维以上。

[15]“作为平常的人类理性应用到与自然界有关的问题上而得出的结论，为区别起见，我把它们叫做对自然的预判（anticipations of nature）（它们往往是轻率的或未成熟的）。理性通过正确和系统的步骤从事实中得出的结论，我称其为对自然的解释（interpretation of nature）。”（培根（Bacon）［1620］，ⅩⅩⅥ）

[16]图27是根据希尔伯特和康佛森［1932］重新画的。

[17]这是由赖因哈特（C.Reinhardt）发现的（见其［1885］，第114页）。

[18]单侧性或者双侧性依赖于空间的维数，这最先是由W·迪克（Dyck）注意到的见其［1888］，第474页。

[19]编者按：“清楚地思考”（Thinking loudly）曾是拉卡托斯英语技巧上的用语。

[20]“你能够重新叙述这一问题吗？你能够以不同的方式来重新叙述吗？”（波利亚［1945］，封里）。

[21]“在内心用定义替代要定义的事物。”（帕斯卡［1659］）“回到定义”（波利亚［1945］，封里以及第84页）。

[22]这一证明应归于庞加莱（见其［1899］）。

[23]见鲁易里［1812—1813a］。这一关联性在1812年至1890年间曾被多次重新发现。

[24]见前文，第64页以下。

[25]见第134—136页。

[26]这句话引自兰姆塞（Ramsey）［1931］，第56页。只改变了一个词，他是以“数理逻辑学家”代替“数学家”，但是，这仅仅是因为他不理解他所描述的程序不是数理逻辑的独特的特征，而是柯西以来“严格的”数学的特征，并且，如极限、连续性等等这些由柯西提出并由维尔斯特拉斯改进的著名定义也都归于这一行列。我注意到，罗素也曾引用过兰姆塞这句话（罗素［1959］，第125页）。

[27]一个经典的翻译不能满足（通常是隐含的）充分性判据的例子是19世纪曲面面积的定义，它是被H·A·施瓦兹（H.A.Schwartz）的“反例”击倒的。
麻烦的是充分性判据可能随着新问题的出现而改变，这也许会引起概念的工具箱的变化。这种变化的一个范例是积分的概念的经历。这是现代数学教育的耻辱，学生们能够精确地引用柯西、黎曼、勒贝格等人的关于积分的不同的定义，却不知道发明这些定义是用来解决哪些问题的，或者它们是在解决哪些问题的过程中被发现的。随着充分性判据的变化，定义也常常以如此方式发展，就是符合所有判据的定义成为支配性的。积分定义却没有出现这种情况，是因为其判据的非一致性——这也就是概念不得不分裂的原因证明产生的定义甚至在依欧几里得纲领建立起来的平移定义中也起到决定性的作用。

[28]这一过程正是20世纪形式主义的特征。

[29]非常奇怪，这一平常的观点被像帕斯卡和波普尔这样的唯名论者错过。帕斯卡写道（在上述引文中）：“……几何学家和所有那些按方法有序操作的人，只是为精简表达才给事物加上名称。”波普尔写道（［1945］，第2卷，第14页）：“在现代科学中只有唯名论者的定义出现，那就是说，简略的符号或标签被引入是为了简略的表述。”让人好奇的是唯名论者和实在论者怎么能够彼此无视对方论证中的合理内核。

[30]见前文，第130页。

[31]这一差别的方法论上的重要性还没有彻底弄明白。帕斯卡，这位缩写定义的伟大的鼓吹者、亚里士多德实在论定义理论的伟大的反对者，他并没有注意到抛弃实在论实际上就是抛弃大的适用范围的欧几里得纲领。在欧几里得纲领中，人们必须定义所有的术语，哪怕是“只有一点儿含糊”。如果这只是由为替换含糊的术语而任意选择的精确的术语所组成的，那么人们事实上放弃了原先的研究领域而转向其他了。但是帕斯卡的确不想这样。柯西和维尔斯特拉斯，当他们进行数学的算术化的时候，就是实在论者；罗素当他进行数学逻辑化的时候，就是实在论者。所有这些人都认为他们的连续性、实数、整数等定义抓住了有关概念的本质。当罗素表述日常语言中的陈述的逻辑形式时，即把日常语言翻译为人工语言时，他认为——至少在其“蜜月期（［1959］，第73页）”——他是被确实可靠的直觉所引导。波普尔，在他合理地攻击实在论者的定义时，对于翻译定义的重要问题没有充分关注，我猜想，这可以说明为什么在我看来，其［1947］第273页中对逻辑形式的处理不能令人满意。依照波普尔所说（这里他是追随塔斯基），有效推论的定义仅仅与形式化的记号清单相关联。但是，一个直觉推论的有效性也依靠这一推论的从日常（或者算术的、几何的，等等）语言到逻辑语言的翻译：它依靠我们采纳的翻译方式。

[32]主导理论的这般改变意味着我们所有知识的重组。在古代，算术的悖论，实际上只是算术表面的矛盾，导致希腊人放弃算术作为主导理论而代之以几何学。他们的比例理论就是为把算术翻译为几何学的目的服务的。他们确信全部天文学以及全部物理学都可以翻译为几何学。
笛卡儿的伟大革新是以代数学替代几何学；也许是因为他认为在主导理论中分析其自身就应该导向真理。
现代数学发生的“严格性的革命”事实上是由重新确立算术作为主导理论来完成，这一主导理论的重新确立是通过从柯西到维尔斯特拉斯所持续进行的庞大的数学算术化的纲领来实现。实数理论——相当多的实干的数学家感觉它是人工的——却是至关重要的一步；这类似于希腊人的“人工的”比例理论。
接下来又轮到罗素，他使逻辑成为全部数学的主导理论。把元数学的历史解释为对主导理论的探求，也许可以为这一学科的历史投入新的光亮，人们或许能够表明，正是哥德尔（K.G9del）关于算术是元数学天然的主导理论的“发现”直接导向目前的研究阶段，并且既在算术又在元数学领域展现了新的前景。
另一个值得注意的欧几里得式的翻译的例子是把概率论嵌入测度论的现代时髦做法。
主导理论以及主导理论的改变一般在很大程度上也决定了科学的发展。理性力学作为物理学的主导理论，其产生和随后的衰落在现代科学史中扮演了核心的角色。生物学反抗被“翻译”为化学的斗争，心理学反抗被翻译为生理学的斗争，都是现今科学史引人关注的特征。翻译的进程是巨大的储存各种问题的蓄水池，也包含了历史的趋势，这些趋势所代表的宏大思想模式至少与黑格尔三段式（译注：指命题的正、反、合）有同等的重要性。这样的翻译通常加快了主导理论以及被吸收的理论的发展，但是后来，随着翻译的弱点日益显著，它将成为进一步发展的障碍。