柯西为“连续性原理”所作的辩护

1.柯西为“连续性原理”所作的辩护

多证多驳法是数学发现中的一种非常普遍的探试模式。然而这种方法似乎只不过在19世纪40年代才被发现，甚至在今天对于许多人来说它好像仍是荒谬的，并且的确没有被真正地理解。在这个附录中，我将尝试大致描绘出数学分析中证明分析的情节，并且勾勒出阻止对其理解、认可的根源。前面，我已经通过对笛卡儿－欧拉猜想的柯西证明的案例研究说明了多证多驳法，这里，我将首先重复对这一方法的概述。

有一种数学发现的——或者是非形式化的数学理论的发展的简单模式。这种模式由下面几个阶段组成^[1]：

（1）原始猜想。

（2）证明（一个粗略的思想实验或者论证，把原始猜想分解成一些子猜想或者引理）。

（3）“全局的（global）”反例（针对原始猜想的反例）出现。

（4）证明之复查：发现了针对全局反例的是一个“局部”反例的“过错引理”。这一过错引理也许先前一直是“隐藏的”或者可能是被错误地混淆了。现在它被揭示出来，并且作为一个条件进入原始猜想。定理——经过改进的猜想——以新的证明产生的概念作为其最主要的新的特征取代原始猜想^[2]。

这4个阶段组成了证明分析的本质内核。但是，还有一些进一步的标准阶段常常会出现：

（5）检查其他定理的一些证明来看看其中是否会有新发现的引理或者新的证明生成的概念产生：这一概念也许会被发现正处在不同证明的十字路口，从而显示出其基本的价值。

（6）检查先前接受的但是现在又被驳倒的猜想中的推论。

（7）反例转变为新的例子——新的探求的领域展开了。

我现在希望考虑另一个案例研究。这里的原始猜想就是，任一连续函数收敛系列的极限其自身是连续的。正是柯西，他给出了这一猜想的首次证明，这一猜想在整个18世纪都被想当然地当作是真的，因此被认为毋须任何证明。它被当作是“直到极限为止为真，在极限上就为真”这一“公理”的特殊情况^[3]。我们在柯西的著名的［1821］（第132页）中发现了这一猜想及其证明。

假如这一“猜想”迄今为止一直被看作不证自明是真的，为什么柯西觉得有必要去证明它呢？难道是某些人批评了这一猜想？

下面我们将看到，情况不是这么简单。凭借事后的明见，我们现在可以看到柯西猜想的反例已经由傅里叶（Fourier）的工作提供了傅里叶的《热传导研究报告》^[4]实际上就包含一个例子，按照当时的观念，它是一个趋近于柯西非连续函数的连续函数的收敛级数，即：

不管怎样，傅里叶自己对这一级数的态度是相当清楚的（并且截然不同于现代的态度）：

（a）他声称，它处处收敛。

（b）他声称，它的极限函数是由分开的直线组成，其中每一条都平行于x轴，并且等于圆周［那就是π］。这些平行线交替地位于x轴的上方和下方，距离是π/4，并且由垂线连起来，垂线其本身也成为直线的一部分^[5]。

傅里叶关于函数图中垂线的措词表露出了自己的看法。他认为这些极限函数（在某种意义上）是连续的。实际上，傅里叶的确把某一函数看作是连续的，只要它的图示能够用一枝不离开纸的铅笔画出来。由此，傅里叶不会认为他自己已经构造了柯西连续性公理的反例^[6]。它只是按照柯西后来对连续性的刻画，极限函数在某些傅里叶级数中才被当作是非连续的，于是，级数其自身才会被看作是柯西猜想的反例。有了这一新的、违反直觉的连续性定义，傅里叶无辜的连续性的图画似乎变成了老的、长期建立起来的连续性原理的险恶的反例了。

柯西的定义的确是以“常识”可能受到冲击的方式，把通常的连续性概念翻译为数学语言了^[7]。某种连续性暗示，如果我们把连续函数的图示旋转一点，它就变成非连续性的了，那这是什么样的连续性呢^[8]？

所以，如果我们用柯西概念替换直觉的连续性概念，那时（并且仅仅在那时！）连续性公理好像就与傅里叶的结果相矛盾了。这看起来像是一个有力的、也许是决定性的反对柯西的新的定义（不仅是连续性的定义，而且还有其他像极限之类的定义）的证据。那么，柯西想表明他的确能够以其对连续性的新的解释来证明连续性公理，从而提供其定义满足这一最严格的充分性要求的证据，他这样做就毫不奇怪了。他成功地给出了证明——并且以为自己因此已经给了那个有才干的、但是却是混乱不清、不够严格和浅薄的傅里叶致命的一击，傅里叶曾经无意地挑战了他的定义。

当然，如果柯西的证明是正确的，那么傅里叶的例子，不管外表怎样，都不能成为真正的反例。表明这些例子不是真正的反例的一种方法，就是指出那些看似收敛于柯西的意义上的非连续函数根本不是收敛的！

这是一个貌似真实的猜测。傅里叶自己就怀疑他的级数在这些临界情况下的收敛性。他注意到收敛是缓慢的：“收敛不够快以致不能得出一个轻易的近似值，但是它可以满足一个等式的真值。”^[9]

凭着事后的认识，我们可以知道，柯西希望在这些临界情形中傅里叶级数不收敛（并且因此并不表示函数），这一希望在某种程度上也可以由以下事实来证明其合理性。在极限函数是非连续的地方，级数趋向于，而不是简单地趋向于f（x）。它趋向于f（x），当且仅当但是，在1829年之前，人们还不知道这一点，事实上，普遍的观点最初是支持傅里叶的，而不是柯西。傅里叶级数看起来是有效的，1826年，在柯西的证明发表5年之后，阿贝尔在其［1826b］^[10]的脚注中提到，柯西的定理有“例外”，这构成了一种相当令人感兴趣的双重胜利：傅里叶级数被接受了，但是，柯西的让人吃惊的连续性定义以及他使用这一定义证明的定理也被接受了。

正是基于这种双重的胜利，现在看起来，一定有我们正在考虑的那种连续性原理的特殊形式的例外情况存在，即使柯西已经毫无瑕疵地证明了它。

柯西一定得到了和阿贝尔一样的结论，因为就在同一年，他给出了傅里叶级数收敛的证明^[11]，当然也没有放弃他自己所刻画的连续性的特征。然而，对于这一状况，他一定非常心神不安。《分析教程》的第二卷就根本没有出版。而且，更可疑的是，他没有再创作第一卷另外的版本，当教科书的需求压力已经很大的时候，他让其学生莫格诺（Moiguo）出版他的讲稿^[12]。

假定傅里叶的例子现在被解释为反例，迷惑之处是明显的：一个已经被证明的定理怎么能是错误的，或者“受损伤例外”呢？我们已经讨论过了，人们是怎样在同一时期被欧拉定理的“例外”所迷惑的，尽管事实上它已经被证明了。