赛德尔的证明以及证明生成的一致收敛概念

2.赛德尔的证明以及证明生成的一致收敛概念

每个人都觉得柯西－傅里叶事例并非只是一个无害的谜，而是整个新的“严格的”数学的一个致命的缺点。狄利克雷在其关于傅里叶级数的著名论文中^[13]，当其全神贯注于表明连续函数的收敛级数是怎样代表非连续函数时，非常明显是知道柯西的连续性原理的样式却根本没有提到这一明显的矛盾。

这最终是留待赛德尔通过发现柯西证明中过错隐藏引理来解开这一谜团的^[14]。但这已经是1847年的事了。为什么要这么长的时间要回答这一问题，我们必须更仔细地来看一看赛德尔的著名发现。

设∑f_n（x）是连续函数的一个收敛级数，并且，对于任意n，定义和。那么，柯西证明的要点就是这一前提的推论：

给定任意ε＞0：

（1）存在δ，对于任意b，如果ε（之所以存在这样一个δ，是因为S_n（x）的连续性）；

（2）存在一个N，对于所有（之所以存在这样一个N，是因为∑f_n（x）的收敛性）；

（3）存在一个N′，对于所有n≥N′，有（之所以存在这样一个N′，是因为∑f_n（x＋b）的收敛性）；

得出的结论是：

对于所有b＜δ，有

现在由收敛于柯西非连续函数的连续函数的级数提供了全局反例，这表明这一论证（粗略地说）中有的地方错了。但是，过错引理又在哪里呢？

稍微细心一些的证明分析（使用和前面一样的符号，但是澄清了一些量的函数从属关系）可以得出如下推论：

（1′）如果b＜δ（ε，x，n），有；

（2′）如果n＞N（ε，x），有；

（3′）如果n＞N（ε，x＋b），有

那么，如果n＞max_zN（ε，z）且b＜δ（ε，x，n），则有

隐藏引理是，对于任意确定的ε，这一最大值max_zN（ε，z）应当存在。这就是所谓的一致收敛的要求。

关于这一发现，大致有3种主要的障碍。

第一个障碍是柯西未加限制地使用“无限小”量。^[15]第二个障碍是即使一些数学家已经注意到一个无限集合N最大值的存在的假设与这一证明相关，他们还是没有再作考虑就做出了这一假定在最大值问题上的存在证明首先是出现在维尔斯特拉斯学派之中然而，第三个障碍也是主要的障碍是欧几里得方法论——这种19世纪早期数学之中既有益也有害的精神——之流行。

在我们全面探讨这一问题之前，让我们先看看阿贝尔是怎样解决由傅里叶反例给柯西定理所带来的问题。我将表明他是通过原始的“例外排除”法来解决（或者不如说“解决”［译注：不是真的解决］这一问题的^[16]。