阿贝尔的例外排除法

3.阿贝尔的例外排除法

阿贝尔只是在论文脚注中叙述了这一问题，我主张这一问题是阿贝尔在其著名的论文中论述二项式级数的基本背景问题^[17]。他写道“在我看来，柯西定理有一些例外”，并且立即就给出了一个级数的例子

④阿贝尔未能提及，正是这一例子已经被傅里叶在这样的情境中提到过了。

阿贝尔补充道，“正如大家所知道的，还有更多像这样的例子”。他对这些反例的回应是着手推测：“柯西定理的安全的范围是什么呢？”

他对于这一问题的回答是：一般来说，分析定理的有效定义域以及特殊情况下，关于极限函数的连续性定理的有效定义域，是限制在幂级数上。所有已知的针对这一基本连续性原理的例外情况都是三角级数，所以，他建议把分析撤回到幂级数的安全界限以内，从而丢下傅里叶所珍爱的三角级数，把它当作是无法控制的混乱丛林——在那里例外却成了标准和成功的范例。

在阿贝尔1826年3月29日给汉斯丁（Hansteen）的一封信中他把“可悲的欧拉式归纳法”描述为导致错误和无根据的普遍概括的方法，并且追问是什么原因致使这一程序事实上并没有造成什么严重后果。他的答案是：

按我的想法，原因是，在分析中往往很大程度上与能够表示为幂级数的函数有关。一旦其他的函数进入——这碰巧会发生但相当少——那么［归纳］就不再起作用了，而且无穷多的不正确的定理将起因于这些错误的结论，一个就会导致所有其他的。我已经考察了其中的几个，很幸运地解决了这一问题^[18]……

在阿贝尔的论文中，我们找到了他的著名的定理——我断言这是源于他紧紧抓住莱布尼茨的古典的形而上学原则不放所造成的——表现为如下的受限制的形式：

如果级数

fα＝v₀＋v₁α＋v₂α²＋…＋v_mα^m＋…

对于α给定的值δ是收敛的，那么，对于每一个小于δ的值，它也将是收敛的，并且对于β有规则的稳定递减的值，在α小于或者等于δ的条件下，函数f（α－β）将无限地逼近极限fα^[19]。

现代理性主义数学史家把数学史看作是在不变的方法论的基础上知识均匀增长的历史，他们设想，不管是谁发现一个全局反例并提出了一个没有遭受到所考虑的反例反驳的猜想，他就已经自动地发现了相应的隐藏引理和证明所生成的概念。这样一来，这些历史的研究者就把一致收敛的发现归功于阿贝尔了。所以在权威的《数学百科全书》中，普林斯汉姆（Pringsheim）说，阿贝尔“证明了今天被称之为一致收敛的属性的存在”^[20]。哈代与普林斯汉姆持同样的观点。在其［1918］论文中，他说“一致收敛的观念隐含在阿贝尔著名的定理的证明中”^[21]。布尔巴基（Bourbaki）的错误甚至更明显：依照他的观点，柯西如此多的文句，如此多的错误。阿贝尔没有揭示柯西把两种收敛看作是一样的这一错误。他的证明并不比柯西更多地利用了一致收敛的概念。阿贝尔和赛德尔的结果不是“特殊”和“一般”的关系——他们是完全不同的水平。阿贝尔甚至没有注意到，并不是合适的函数的范围而是它们的收敛方式必须加以限定！事实上，对于阿贝尔来说只有一种收敛，就是简单收敛；他的证明虚假的确定性的秘密就藏在他的谨慎（和幸运）的零定义（zero－definition译注：指不下定义）中^[22]：正如我们现在所知，在幂级数的情况下，简单收敛和一致收敛是同一的^[23]！

起先并没有察觉到简单收敛和一致收敛之间的区别，并且自认为能够证明每一个连续函数的收敛级数都有一个连续函数作为它的和。这一错误差不多立即就被阿贝尔揭示了，他同时证明了每一个完全（complete）［？］级数在其收敛区间内部是连续的，他的证明是基于已经成为标准的推理，在这一特殊情况中，本质上就是使用了一致收敛的观念。剩下的就是以一般的方式澄清一致收敛的概念，斯托克斯（Stokes）和赛德尔在1847—1848年以及柯西自己在1853年都独立地完成了这一工作^[24]。

在我批评历史学家的同时，我应该公正地提到柯西定理的第一个反例一般来说应归功于阿贝尔。只是朱迪安（Jourdain）注意到它在傅里叶那里出现过。但是朱迪安，以早已有名的非历史的态度，从这一事实推断出，他非常景仰的傅里叶差不多发现了一致收敛的概念了^[25]。一个反例也许不得不为其被认可而战斗，即使被认可也还不会自动地导向隐藏引理从而导向所讨论的证明生成的概念，上述这一点迄今为止，已经被所有历史学家忽视了。