乘法和除法

2　乘法和除法——倍增倍减的魔法盒

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人类从来就没有停止对数学的研究，数学伴随人类进步在发展。从萌芽到一门科学，数学经历了数千年的文化积淀，汇聚成今天人类知识海洋的重要组成部分。我们要让枯燥乏味的数字、符号、公式、定理变成一幅美丽、生动且富有哲理的数学画卷，激起学生对未知的数学世界探究的好奇心、求知欲和兴趣，去体验数学世界中五彩斑斓的数学符号的神奇，感受倍增倍减的魅力！

人类很早就掌握乘法运算了，由于乘法比加法麻烦，我国古代出现了“九九歌”乘法表，在西方出现过“格子乘法”并且在直乘法中，有从高位起和从低位起两种算法。

关于表示乘法的符号，也是众说纷纭：

17世纪前，有人用字母M和D分别表示乘法和除法。M和D是拉丁文中乘、除两个单词的第一个字母。显然，用字母参与乘除运算是相当烦琐的。

1631年，英国数学家奥特雷德发现乘法也是相加的意思，但是又和加法有所不同，怎么表示更合适呢？

他想：能不能把“+”号旋转45°，斜过来用“×”表示乘法呢？

当奥特雷德的这种设想成为现实时，乘号“×”便问世了。

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数学“天才”——珊瑚虫

真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3.5亿年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。

但是，数学家莱布尼茨认为乘号“×”和拉丁字母“x”很相似，容易引起混淆，所以他反对使用这个符号。莱布尼茨非常理解建立一个合适符号的重要性，他很赞成用数学家哈里奥特首创的符号“·”表示乘法。这个点乘号，被整个欧洲大陆和拉美国家普遍采用。

令人遗憾的是，“·”这个记号与小数点号相似，容易引起新的混淆。后来有人干脆改用逗号“，”来代替圆点，但这种改用的办法直到今天还未被人们所接受。

英国数学家哈里奥特

实际上，“×”和“·”这两个乘号同时被使用，一直沿袭到今天。

在代数里，两个有理数用括号括起来再相乘或者数和字母相乘或字母之间相乘，常用“·”号或把乘号省略不写，例如：

（-3）×（-5）可以记作：（-3）·（-5）；

3×a可以记作：3·a或3a。

因为除法是乘法的逆运算，人类很早就掌握了除法的技巧。

公元前2000多年前，古巴比伦人就用“倒数表”把除数表示成六十进位制的小数，通过乘以除数的倒数来做除法。

关于除法的符号，阿拉伯人曾用过两个数之间加一条短线的方法表示相除。例如用“2/3”表示“2除以3”的意思。

1631年，数学家奥特雷德也曾设想过用符号“∶”表示除法，但没有推广开来。

数学上正式把“÷”作为除法运算的符号，是瑞士数学家哈纳的功劳。哈纳在计算时，遇到把一个整数分成几份的问题，却没有恰当的符号表示这种算法。于是他把阿拉伯人表示除法的小短线“/”和奥特雷德的除法记号“∶”合二为一，哈纳用一条横线段“—”把两个圆点“∶”从中间分开，产生了表示除法的新记号“÷”，这就是除号。

1659年，哈纳在《代数学》一书中，正式把“÷”作为除法运算的符号。

英国数学家奥特雷德

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乘号的不同用法

奥特雷德于1631年在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，随后慢慢流行开来，沿用至今。莱布尼茨在1698年7月29日给J.伯努利的一封信内提出以圆点“·”表示乘，以防“×”号与字母X相混淆。后来以“·”表示乘法的用法也相当流行，欧洲大陆派（德、法等国）规定以“·”作乘号。其他国家则以“×”作乘号，“·”为小数点。而我国则规定以“×”或“·”作乘号都可以，一般字母或括号前的乘号可略去。