风靡世界的游戏

4　风靡世界的游戏——3x+1猜想

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3x+1猜想是世界上最有名气的数字黑洞。你知道它有什么历史渊源

3x+1猜想的起源让人感到扑朔迷离，有两种说法：一种说法是，这个游戏大概起源于20世纪30年代，德国汉堡大学的卡拉茨，在他研究数论函数时提出次问题，但未发表出来。另一种说法是，第二次世界大战前后，在美国的一个小镇首先出现并流行这个数字游戏。到了20世纪50年代，借助于美国坎布里奇市召开的国际数学大会和一些数学家的交流，这个游戏得到传播，很快在美国和欧洲风靡一时。到了1960年，日本数学家角古静夫将这个问题带到日本。

德国汉堡大学一景

角古静夫曾经说，有一个时期，美国著名学府耶鲁大学的每一个人都在研究这个问题，但都没有任何结果。有人开玩笑说，它是敌人企图阻滞美国数学研究进展的一个大阴谋的组成部分。

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角古猜想

角谷静夫是日本的一位著名学者，他提出了两条极简单的规则，可以对任何一个自然数进行变换，最终使它陷入“4－2－1”的死循环，这就是角古猜想。任意选一个整数N，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数。如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：如果这样一直算下去，你会发现最后数字会在一个循环圈里循环，这个循环圈是4→2→1。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但是也没有人能证明。

耶鲁大学

这个游戏也有人称作角古猜想，在美国更多的人把它称作冰雹猜想，因为在运算中数字忽大忽小，犹如冰雹产生时冰粒忽上忽下一样。实际上，它还有希拉苏斯问题、海色问题、乌拉姆问题等名称。

人们对3x+1猜想作了很多研究，也作了无数次的验证。东京大学的米田信夫用计算机验证了1～240（约1.2×10¹²）的所有整数，无一例外到达4，2，1循环。数学家们关于这个问题写了20余篇论文，但离解决还很遥远。1970年以后，就陆续设立有关解决这个问题的奖金。

东京大学

这个游戏具有优秀猜想的条件：貌似极其简单，实则极其繁难。因此它必然风靡一时。直到今天，仍不断有人（包括中学生、大学生或者教师）宣称自己用初等方法证明了3x+1猜想。一般说来，专家不会认真去看这些证明。因此对我们普通人来说，作为一个游戏可以玩玩，最多在小的枝节上可以考虑一下，没必要证明。有人认为，3x+1猜想将是费马大定理证明之后的下一个数学上的伟大成就。

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费马大定理

古希腊的丢番图写过一本著名的《算术》，后来《算术》的残本重新被发现研究。1637年，法国大数学家费马在《算术》的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”这个猜想后来就称为费马大定理。

一般认为，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n＝3，4，5，7四种情形。1847年，库木尔创立“代数数论”这一现代重要学科，对许多n（例如100以内）证明了费马大定理，是一次大飞跃。历史上费马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他后来为费马大定理悬赏10万马克（相当于现在160多万美元），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的N，但这对最终证明无济于事。1994年，安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯顿时成为整个数学界的英雄。