高等数学中常见的数学思想方法

第四节　高等数学中常见的数学思想方法

一、函数与方程的思想方法

（一）函数的思想方法

函数的思想方法是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想方法是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

（二）方程的思想方法

方程的思想方法就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组；或者构造方程，解方程或方程组；或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想方法是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想方法是动中求静，研究运动中的等量关系。

（三）函数与方程的关系

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间却有着密切的联系。方程f（x）＝0的解就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f（x）也可以看做二元方程f（x）－y＝0，通过方程进行研究。因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数的思想方法，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤。要想辩证地理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数与方程思想方法的教学。微积分就是以极限的思想方法研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题。如导函数（导数）就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想方法：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都对应一个确定的导数。即在该区间内构成一个新的函数——导函数，而原来的函数称为原函数。这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数的问题时，可转化为另一个函数问题来解决（化归思想方法）；函数的单调性、凹凸性，函数的极值、最值（尤其是在经济问题中函数最值的应用）经常要考虑到函数的思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数。函数是微积分研究的主要对象，函数与方程的思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化。

例：证明方程2x＋x³＝1至少有一个小于1的正根。

证明：这是要证明所给方程在（0，1）内有根。

令f（x）＝2x＋x³－1，则f（x）在［0，1］上连续且f（0）＝－1＜0，f（1）＝2＞0。故由零点定理得：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f（ξ）＝0，即方程2x＋x³＝1在（0，1）内至少有一个实根，原问题得证。

本题是方程根的存在性问题，其求解借助于函数的连续性特性。

二、极限的思想方法

所谓极限的思想方法是用无限的变化过程来研究有限的思想方法。它是微积分的基本思想方法。极限思想方法是用运动变化的观点，把所考察的对象（如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看做某对象（内接正n边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和）在无限变化过程中变化结果的思想，是“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定下来”的一种运动辩证思想。在这种思想指导下，人们给出了用差商的极限去描述切线斜率、变速运动物体的瞬时速度、加速度等概念的方法；以及用分割求和取极限的方法去描述变速运动物体的路程与速度的关系、曲边梯形的面积与曲边的关系；此外，广义积分、级数和等概念也都是用不同形式的极限方法得到的。总之，极限思想方法贯穿了微积分的全部内容。乃至以后抽象空间中的各类收敛性，也都是极限思想方法的运用和拓广。运动是一切事物及现象发生变化的根本属性，而变化又有渐变和突变之分。而极限的思想是渐变的思想。例如，求曲边梯形的面积时可以经历这样四个过程：

（1）将曲边梯形分为n个小曲边梯形（化“整”为“零”）；

（2）用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积（以“直”代“曲”）；

（3）作n个小矩形面积之和（积“零”为“整”）；

（4）对小矩形面积之和取极限即得曲边梯形的面积（取极限）。

通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活生产中去。

三、化归的思想方法

化归思想方法是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个（或某些）已经解决或简单的、比较容易解决的问题上去，最终求得原问题解答的思想方法，其核心就是简化与转化。化归思想有三要素：化归对象（要化什么），化归目标（化成什么形式），化归途径（怎么化）。在化归思想中，“转化”是关键。认知心理学认为，新知识的获得以及新概念的形成，总是要以旧知识为基础进行组织和构建的，即建立起新旧知识之间的联系，而这种联系常常用到化归思想方法。化归思想方法贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想方法。

运用化归思想方法应遵循以下基本原则。

1．简单化原则

简单化就是把我们遇到的比较复杂的问题转化为比较简单的，且易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题得到解决。然而，复杂与简单是相对而言的，以二次方程为例，相对于一次方程来说，它是复杂形式，而相对于高次方程来说，它又是简单形式了。

2．熟悉化原则

熟悉化就是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟悉”的问题，以便充分利用我们已知的知识和经验，使原问题得到解决。这里的“熟悉”，指的是已经能解决或具有既定的解决问题的方法与程序。

3．和谐化原则

所谓“和谐化”指的是使问题的表现方式更符合数、式与形内部固有的和谐统一的特点，以便突出问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系，帮助我们去确定解决方法和程序。

4．具体化原则

具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系和空间形式更为明确，更容易把握。如，尽可能将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形来表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确。

5．低层次化原则

低层次化原则是指解决数学问题时，应尽量将高维空间的问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归成低元问题。这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单。

化归思想方法实际上是在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的。例如，在高等数学中常常利用化归原则，把反函数求导、复合函数求导问题，转化为运用导数的四则运算法则以及基本初等函数的求导公式来解决；而隐函数求导问题又可转化为复合函数求导问题来解决；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点判定等问题转化为函数的一阶或二阶导函数的问题；将曲边梯形面积和旋转体的体积问题转化为定积分问题；将实际问题通过建立数学模型后转化为导数或定积分问题来求解。例如，求变力做功、水压力、引力等等。像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”。一般来说，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式的转化；引入辅助元素的转化。化归思想方法在解决应用问题和数学建模过程中应用更为广泛。

四、类比的思想方法

（一）类比的含义

所谓类比，就是根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们的其他方面也可能相同或相似的思维方式，它是思维过程中由特殊到特殊的推理，是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段，也是数学思想方法中最重要的方法之一。数学教育家G·波利亚曾用一个生动的例子形象地说明了类比方法，他指出：“设计一种飞机，使乘客在飞机出事时不易折伤颅骨。医生研究这一问题时，用蛋壳在各种情况下被敲碎的情形做实验，他做的是什么？他改变了一下原题，把颅壳问题化为蛋壳问题，原问题和辅助问题的联系是一种类比，从机械结构方面来说，人脑与鸡蛋大致类似，两者都有硬脆的外壳和浆液内含物。”

（二）类比的作用

类比是一切理解和思维的基础，是通向发现、发明的阶梯。数学中的许多定理、公式都是通过类比得到的。利用类比方法既可以简化对相似问题的研究，也有利于发现和推广某些性质。①类比有助于发现。类比法尽管不能作为严格的推理方法，但是它在数学科学研究中，根据事物间的相似点提出假设和猜想，把已知事物的性质推广到类似事物等方面上有重大作用。因此，它也是一种科学发现和发明的重要工具。对此，波利亚曾说过：“没有这些思路（普遍化、特殊化和类比的通用的基本思路），特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现。”刻卜勒也说过：“我最珍视类比，它是我最可信赖的老师，它知道自然界的一切秘密，在几何学中尤其不能忽视它。”的确，数学中的许多定理、公式及其证明都是靠类比获得的。②类比是学习知识、系统地掌握知识和巩固知识的有效方法。类比的客观基础就是事物系统之间各要素的普遍联系以及这些联系之间存在的相似性和可比较性，所以，利用原有认知结构，借助类比，可以有效地学习新知、掌握新知，对已有知识进一步作恰当类比，又可以将这些知识有机地系统起来。③类比在解题中具有启迪思维的作用。哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”当人们面临一个比较生疏的问题时，往往可以联想一个比较熟悉的问题作为类比对象，熟悉问题的解决途径和方法常可启发生疏问题的解决途径和方法。也正如波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人。”

高等数学中很多概念往往不是孤立的，它们存在着很多的相似性。因此在教学中要善于借助前后知识之间的联系进行归纳类比，这样既能促进新概念的自然引入，也有助于学生理解已学概念的本质以及整个概念体系的建立，从而形成较为系统的知识网络，对理解新知可谓是“事半功倍”。例如，在微积分教学中，一元函数的微积分和多元函数的微积分在基本概念、数学思想和解题技巧等方面都有很大的相似性，可以借助于一元函数的微积分的相关定义、性质、数学思想和解题技巧去学习理解相应的二元函数微积分的相关定义、性质、数学思想和解题技巧，学生学起来将会“轻松＋愉快”。

在高等院校课程《高等数学》（经济类）中安排有概率与统计的内容，其中类比思想随处可见，尤其是一维随机变量概率、数学期望、方差等的概念、定理、性质以及求法与二维随机变量概率、数学期望、方差等的概念、定理、性质以及求法非常相似，学生如果把一维的相关内容学好、理解好，并将类比的数学思想方法应用到学习中，那么到后面再学习二维的内容就更容易理解和接受了。

五、特殊化与一般化思想方法

“从特殊到一般”与“由一般到特殊”是人类认识客观世界的一个普遍规律，特殊与一般是对立统一的。数学也被纳入到这一规律的模式之中。数学教育家波利亚说：“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程的本身，它们是获得发现的伟大源泉。”

（一）特殊化方法

人们的认识通常是从特殊到一般，因为前者比后者更容易认识。在数学中，往往先解决特殊问题，然后才解决一般问题。特殊化通常是指考虑一般性命题的特殊例子，或如数学教育家波利亚所说：“是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”在他的名著《数学与猜想》中给出这样一个例子：两人轮流在圆桌上摆硬币（大小相同），每次摆一个。每个硬币不能重叠，也不能有一部分在桌子边缘以外。这样经过多次以后谁先摆不下硬币就算输。试问，先摆的人胜还是后摆的人能胜？波利亚称它“是个古老的然而非常有名的难题”。我们先考虑特殊情形，假设硬币恰与圆桌一样大小，则先摆必胜，这是因为只要把硬币摆在中心即可。这种特殊、个别情形包含着一般，它又是一般的简化，给我们以启示，先摆的人可以把第一枚硬币占据桌子中心，由于桌面为中心对称，以后不论对方把硬币放于何处，先摆的人总能把硬币摆在与其中心对称位置，这样先摆者必胜。该例说明，对于一时难以入手的一般问题，可以从特殊的数或形的数量关系和位置关系入手，再把解决特殊情形的思路、方法或者结果推广或应用到一般问题上，从中找到解决一般问题的方法或预测问题的结论。

特殊化是由普遍到个别的认识方法，是从考察一组给定的多数对象，转为考虑包括在其中的较少的一组对象。特殊与一般是对立的，又是统一的。由于事物的特殊性包含着普遍性，相对于“一般”而言，特殊往往显得简单、具体和直观，往往为人们所熟知，因而当我们处理问题时，从特殊、简单的情形出发，研究寄寓于特殊中的一般、普遍的性质，从而可以获得新认识，解决新问题。

（二）一般化方法

一般化又称为普通化，它是把研究对象或者问题从原有范围推展到更大范围进行考虑的思维方法。它把局部、特殊的数学问题上升到整体、普遍的数学问题，再根据问题本身特性，引出数量关系或者位置关系。所以它是一种特殊的概括，但它又不等同于概括。概括的特点是把若干个事物或对象的共同点归结在一起，而一般化方法是将个别事物或对象推广到更普遍的情形。概括是从若干个事物或对象中发现它们共同规律，是寻求同一性的思维方法，而一般化方法则是将某一数学或者对象的有关性质加以保留，而将其置于更大范围的相关事物或对象中加以考察，是利用事物之间相似性的思维方法。一般化方法不仅有助于命题的推广，而且是解决许多数学问题的有效途径。实际上，对于某些数值比较问题、方程问题、几何中的某些求解和证明问题，如果仅仅停留在数值的计算上，或者只是孤立地考察这些问题本身，往往难以奏效。但如果把眼界放宽，使问题中的某些因素一般化或结构形式一般化，借助一般化的结论或一般化的方法，有时却可使特殊问题容易解决。这是因为，一般化命题中的关系和规律更容易看清楚。如999¹⁹⁹⁷与1997！的大小关系难以弄清，但将其一般化研究 与n！的关系却易知道，！可由（1＋2＋…得出。

运用一般化策略解决问题的关键是仔细观察、分析题目的特征，从中找出能使命题一般化的因素，以便把特殊命题拓广为包含这一特殊情况的一般问题，而且要注意比较一般化后的各种问题，以选择最佳的一般命题，它的解决应包含着特殊问题的解决。因为有些问题能伴随着一般性命题的解答而得到肯定，而有些问题则需要把相应的一般性命题中的有关因素还原回去才能得到完整的解答。

六、数形结合的思想方法

数形结合思想方法就是把“数”与“形”建立联系，把“数”的问题转化为“形”的特性去观察分析，而“形”的问题转化为“数”的特性来研究思考，寻求解决方案。华罗庚先生曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微”。数形结合是数学学习研究中的一种重要的数学思想方法。数形结合思想方法在中小学的数学学习中就经常遇到，到大学阶段，大多数学生对这一思想方法思维实质都己理解掌握了。在微积分学习中恰当合理地运用数形结合思想方法分析问题仍然能使许多问题直观形象，尤其在数学概念的教学中运用数形结合思想方法，便于学生直观理解概念的内涵意义。例如，函数的极限教学中借助图形描述“自变量x的变化过程中，函数f（x）的变化趋势”，把抽象的问题形象化、生动化，学生能更好地理解极限的概念。在问题的分析求解过程中运用数形结合的思想方法，有利于学生快速而准确地寻求问题解决的方案。

七、分类讨论的思想方法

分类也叫划分，是根据对象的相同和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法。数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。分类具有三个要素：①母项，即被划分的对象；②子项，即划分后所得的类概念；③根据，即划分的标准。运用分类讨论的数学思想方法一般应遵循以下基本原则：①不重复；②无遗漏；③标准统一；④按层次逐步划分。

八、整体的思想方法

整体的思想方法是通过对问题整体结构的审视和把握，找出问题的内在规律。在求导数、求积分的计算中常常体现整体思想方法的计算技巧。例如，整体变形、整体代入、整体换元、整体构造等，利用整体的数学思想方法解题时可起到化繁为简的作用。如：复合函数的分解是复合函数求导的关键，教师引导学生利用整体换元的思想方法从外到内，层层分解，最后分解成基本初等函数。在积分的计算中，利用整体换元的思想方法将题目转化为积分基本公式的形式。在利用导数证明不等式时，用整体构造的思想方法构造一个函数，再利用导数的性质，进行求导证明。整体和部分是一对辩证关系，二者相互依存。没有部分，无所谓整体；没有整体，也无所谓部分。在数学上，从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。简单地说整体思想方法就是从整体去观察问题、认识问题，进而解决问题。运用整体思想方法可以理清数学学习中的思考障碍，可以使繁、难的问题得到巧妙的解决。整体思想方法是一种重要的数学观念，一些数学问题，若拘泥于常规从局部入手会举步维艰，若整体考虑则畅通无阻。