数学问题提出概述

第一节　数学问题提出概述

一、数学问题提出的含义

“问题提出”指通过对情境的探索产生新问题，或解决问题过程中对问题的“再阐述”（Re－fomulation）。^[1]数学问题的提出是一个产生数学问题的过程。在这个过程中，主体通过对数学情境基本构成要素的观察、分析，深入挖掘隐藏于其中的数学关系，大胆质疑，大胆猜想，并确定新的未知构成要素，即提出一个新的数学问题。因而，数学问题的提出便是把一个数学问题情境变成一个新的数学问题情境的过程。这是一个发现、探索和创新的过程，借用这个过程，可以使学生进一步认识和理解数学。

“怎样提出问题？”“提出什么样的问题？”“学生问题提出能力如何培养？”对这一系列问题的思考和探讨又很自然地让我们想到了另一个更基本的问题，那就是“问题”是什么？

二、问题和数学问题

（一）问题及数学问题的含义

在认知心理学中，问题（Problem）是指一个人在有目的地追求而尚未找到适当手段时所感到的心理困境。因而，问题的存在与否依赖于人已有的认知能力。问题还可以被视为一个系统，对某个人而言，若一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的相互关系中至少有一个是未知的，那么这个系统被称为不稳定系统即问题系统，反之，则称该系统为稳定系统即非问题系统。在问题系统中，如果确立了一个或一个以上未知要素，那么该系统就成为一个问题。可见，问题是确立了一个或一个以上未知要素的系统，问题的存在因人而异，具有相对性。

所谓数学问题是指以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题。^[2]

美国纽约罗切斯特大学教育与人类发展研究生院的鲍尔斯（R．Borasi，University of Rochester）认为，一个问题的构成要素分为四点：①问题的情境；②对问题的阐述；③求解问题的方法；④问题的答案。其中，第①、②条是外显的，第③、④条是内隐的，特别是第③、④条涉及问题解决者的活动及活动的结果。

（二）问题的构成要素

1．问题的情境

心理学上对“情境”一词有这样一种解释，“情境”表现为“多重刺激模式、事件和对象”等。因而情境的作用不仅包括为问题的提出和解决提供相应的信息和依据，而且能激发问题的提出。教科书上习题的信息往往是充分给定的，而开放式习题的信息往往是部分给定的，因而能诱发新问题的产生。如下列问题：纸上有9个点（图1），每个点分别表示一个地方，左上角的点代表邮电局。某邮递员需要从邮电局出发给其他八个地方各送一封信，然后再回到邮电局。请问：邮递员可以采取什么样的途径？由于问题情境只是提出了“邮递员可以采取什么样的途径”，而并非“邮递员应当采取什么样的途径？”因而能激发学生自我提出“什么是最好的途径”这样的问题。

图1　画有9个点的矩形纸

2．对问题的阐述

（1）对问题的阐述大多以提问的形式或需要完成的任务明确提出。如“用6根火柴拼成4个边长为火柴长度的等边三角形”。

（2）有些只是部分，不清楚地阐述，需要读者进一步阐述。

例如：“为了提高公交车的运行效率，某市将对公交车的运行线路进行改进，你被邀请给公交公司提供一定的帮助。”若把该例作为一个社会问题，问题的阐述已经清晰了，而作为一个数学问题，对问题的阐述是不明晰的。

（3）完全没有问题阐述，只是一个情境。

例如：考虑下列勾股数：

3　　　　　4　　　　　5

5　　　　　12　　　　13

7　　　　　24　　　　25

3．求解问题的方法

需要说明的是，这里所提“求解问题的方法”是从“解决问题的方法”这个角度去分析问题、了解问题，而不是论述如何去解决问题。打一个贴切的比方，为了观察生物的结构，需要解剖，这里“解剖”是手段，而认识生物的结构是目的。同样，“求解问题的方法”是手段，认知“问题”才是目的。

为了达到对问题的解决，一些相应的方法、策略和活动是必要的，包括：①搜集必要信息的方法；②对问题再阐述的方法（包括问题提出的策略）；③启发法。

大多数文献对“问题”的定义正是从“求解问题的方法”这一角度出发的。波利亚从这一角度出发，将“问题”分为：①解题者所熟悉的算法即时应用；②以前学过算法的选择性应用；③一些算法适当结合后的应用；④探索、研究水平（涉及未知算法的使用）。

4．问题的答案

①大部分常规性问题或其他问题只有唯一确定的答案；②一些现实的问题或一些数学问题往往只有近似答案；③开放性或其他问题有多个或不确定的答案；④“不可能问题”没有答案。显然，这四种答案情况，分别代表问题的四个类型。

（三）“好的数学问题”的标准

“数学问题”正在数学教学中发挥越来越重要的作用，特别是，为了更好地通过创设问题情境和提出问题来进行教学，我们有必要从教学的角度对“好的数学问题”所应满足的条件作出进一步的分析。具体地说，一个“好的数学问题”应当符合以下标准：

（1）具有较强的探索性。正如波利亚所指出的：“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。”当然，这里所说的“探索性”应与学生的实际水平相适应，也就是说，一个好的数学问题应当是学生力所能及的，应当处于学生的“邻近发展区”（Zone of Proximal Development）。

（2）有一定的启示意义。这就是说，好的问题应当有利于学生掌握有关的数学知识和思想方法。我们应恰当处理好“问题解决”与数学基本知识和技能学习的关系，即不可以“问题解决”去取代数学基本知识和技能的教学，也不可完全脱离具体的教学内容去进行数学方法论的教学，而应以思想方法的分析去带动具体数学知识内容的教学。

（3）具有多种不同的解法，甚至多种可能的解答。也就是说，一个好的数学问题应具有较大的“开放性”。这对于冲破每一个问题都有唯一的“标准解法”和唯一的“标准解答”这一错误观念是十分有利的。

（4）具有一定的发展余地。这就是说，由好的数学问题可以引出新的数学问题和进一步的思考。

（5）具有一定的现实意义，或与学生的实际生活有着直接的联系。这可以使学生更好地认识数学的意义，从而充分调动他们学习数学的积极性和主动性。

（6）考虑到合作学习这一学习形式正得到更多的重视和提倡，一个好的数学问题应当鼓励、促进学生间的合作。

（7）问题的表述应当简单易懂，应当考虑学生的观点，融入学生的生活语言及熟悉的生活事物。

当然，以上所列举的各条标准不可能在每个问题中都得到充分的体现，而且，从更高的层次去分析，所谓问题的好与坏事实上也只具有相对的意义，要因人、因时、因地而异。

对数学问题及其构成的深入认识，能提高对问题的感知能力，是培养问题提出能力的重要基础。

三、培养学生数学问题提出能力的意义

“问题提出”能培养学生发散、灵活的思维，强化问题解决的技能，拓展其数学感知，丰富和巩固基本概念的理解，因而国外一些学者认为：“问题提出是数学课程的重要组成部分，是数学活动的中心。”问题提出在数学教学中正发挥着越来越重要的作用，目前较受关注的“研究性学习”的核心是问题的提出，而所谓“对话式教学”也强调教学要通过师生相互提问（特别是激发学生提问）、平等对话而进行。具体地说，问题提出有如下的价值和意义。

（一）问题提出有利于培养学生的创新精神、创新意识和创新能力

数学上的创造能力在一定程度上表现为对以文字、图示或图表的形式描述的一个数学情境，能提出大量的、怪异的问题的能力。有学者将提出问题的流畅性、灵活性和独特性作为判断创造力的关键参照点。其中，流畅性指提出问题的数量，灵活性指提出问题的种类的多少，独特性指问题解答的特异性。因而，问题提出常常与创造性活动密切联系。科学创见始于问题提出，没有问题就没有创新。具有创造力的人都有好问、深问、怪问的品质，他们善于发现蕴藏在习以为常的现象背后的问题，他们敢于打破常规、敢于提出问题。问题提出正是通过塑造创造性人格（质疑、独立性、勇敢、冒险等），改善创造性思维（尤其是灵活性、发散性）来促进人的创造力的。可见问题提出对创造力培养的重要性。

（二）问题提出有利于学生积极参与数学活动

长期以来由于受“应试教育”的影响，我国的数学教育过于注重知识的传授，教师问、学生答的教学方法依然盛行，学生被动回答教师抛出的一个个问题，很少有自己提出问题的机会，完全处于被动应付的状态，成了教师的奴隶。有效的数学学习应该是在教师指导下，学生通过积极主动的探索不断提出问题和解决问题的过程。问题提出能使学生在课堂教学中发挥主体作用，敢于或善于发现问题、提出问题，积极主动地去探索知识的奥妙，在这一富有挑战性的过程中，学生的思维得到启发、思想得以活跃。他们由此获得丰富的情感体验，个性品质得到锻炼，主体性得到逐步形成和发展。

（三）问题提出有利于培养学生的思维品质

问题提出有利于培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性、独创性和批判性等思维品质。提出问题是人们对某些现象、某些事物进行细致观察深入思考的结果，它要求学生不仅要具备直觉的洞察力，而且要有见微识著能力、发散思维能力和求异思维能力。在问题提出的过程中，通过大胆的假设、猜想，可以培养学生的直觉思维；通过对一个问题多层次、多视角地去观察、分析和思考而提出具有创造性的问题，可以培养学生思维的深刻性、灵活性、独创性；通过“不唯上、不唯书、不唯实”的大胆质疑，可以培养学生思维的批判性。总之，问题提出使学生一直处于“有疑—无疑—有疑”的思维活跃状态，会大大促进他们思维品质的发展。

（四）问题提出有利于促进学生的数学理解

理解是数学教学的基本目标，也可以说是首要的目标。关于数学理解的机制虽未达成一致的认识，但联系促进数学理解的观点在众多文献中都可以见到。问题提出要求教师要用联系的观点处理教学内容，充分挖掘知识之间的内在联系，数学教学要与学生已有的知识经验相联系，与学生的生活背景相联系，因而提出问题的过程正是生成数学联系的自然过程，可以有效地促进数学理解。事实上，在数学教育研究上，问题提出已经被用来作为探测不同学生数学理解差异的工具。提出问题作为一个窗口，可以来探测学生的数学理解能力，通过创造自己的问题表达数学观念，不仅展示了学生对数学概念发展的理解和水平，而且也反映了他们对数学本质的理解。由此可见，问题提出有利于促进学生的数学理解。

（五）问题提出有利于增强学生问题解决的能力

从波利亚的“启发法”建议“思考一个相关的较易解决的问题”（当问题解决者遇到一个较难解决的问题时）到“怎样解题”表中的几十个设问，都让我们意识到问题提出对问题解决的促进作用。问题解决包括对初始问题连续的再阐述；对一个复杂问题的解决过程包括提出一些连续的更精炼的问题——更能体现已知信息与目标之间关系的问题。这一系列问题提出的同时，也将总的解决问题的目标分解为一层一层的次目标，通过逐次对次目标的实现，达到对原问题的最终解决。从课程与教学的角度来看，提出问题在教学上的最大作用是它能够促使学生成为更好的问题解决者。由此可见问题提出有利于增强学生问题解决的能力。

（六）问题提出有利于改进学生对数学的态度

在提出数学问题的教学活动中，教师通过创设良好的问题情境，能使学生在心理上造成一种悬而未决但又须解决的求知状态，形成克服困难的积极主动的心理倾向；通过营造宽松、和谐、民主的心理环境，能使学生享有探究的自由，敢于多角度、多层次地提出数学问题，从而让每位学生都能发挥自己的优势，调动起他们学习数学的积极性和主动性；教师运用有效的激励手段，通过精心设计符合不同知识基础和能力的问题，为每个学生的成功创造条件和机会，让学生体验到强烈问题意识所带来的胜利和喜悦的感觉，学生渴望成功，成功将更能激发他们学习数学的热情，培养他们对数学的兴趣。因此，问题提出有利于改进学生对数学的态度。

（七）问题提出有利于促进学生的认知发展

问题提出能力强的学生常常会问自己“是什么”、“为什么”、“怎么办”等问题，为解决这些问题，他们会启动思维，搜寻头脑中原有的知识，对其重新分析、理解，从而对知识的掌握更为深刻。此外，解决问题的欲望还会促使他们去查阅资料，请教别人，这就使他们的知识得以扩充。在积极的思维、探索过程中，零星的知识变得系统、有序，原有的知识结构更加完善、合理，这就提高了建构知识的能力，为今后知识的撷取创造了有利条件。因此说，问题提出有利于促进学生认知发展。

总之，问题提出是数学活动的显著特点，是培养学生创新能力的重要途径，是提高学生问题解决能力和改进学生对数学的态度的有效手段，是促进学生数学理解的一个窗口，是培养学生数学素质的关键。在数学教学中培养学生问题提出的能力将会有重要的价值和意义。