培养学生数学问题提出能力的教学策略

第三节　培养学生数学问题提出能力的教学策略

一、学生问题意识的培养

（一）问题意识的含义

所谓“问题意识”，是指人们在认识活动中经常意识到一些难以解决或疑虑的实际问题，并产生一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，而这种心理状态又驱使个体积极思维、不断提出问题、分析问题和解决问题。^[3]现代思维科学研究认为，问题意识在思维过程和创新活动中占有重要地位。它不仅体现了个体思维品质的活跃性，也反映了思维的独立性和创造性。

（二）当前学生问题意识的现状分析

按照《现代汉语词典》，“提问”一词的含义是指“提出问题来问（多指教师对学生）”。目前教师思考比较多的也是自己在教学过程中如何对学生“提问”，而如何培养学生自己“提出问题”却考虑不多，甚至没有考虑。李政道教授曾经一针见血地指出：“中国历来是讲究做‘学问’，现在学生只是做‘学答’。”在我们的数学课上，有太多的“好胜心”，太少的“好奇心”，更多的是教会学生做“学答”，而不是做“学问”。问的前提是生疑，而生疑往往由于好奇而产生。我国大学生目前的状况是，由于长期进行作答训练，使得大部分学生的问题意识十分薄弱，具体表现为以下几个方面。

1．不愿提

学生不愿提问题不仅有主观还有客观上的原因，以应试为目标的学生往往对提出与应试相关的数学问题表现出明显的内容选择的心理倾向，他们提出问题的价值取向往往否定考试范围外的数学问题。部分学生认为解答课本、老师、练习中的数学问题就可以了，提出问题那不是浪费时间吗。学生的自我能力评估也往往决定是否愿意提出数学问题的态度，当他们感觉到自己知识、能力储备不够，也表现出不愿意提出“超能力”问题的心理倾向，免得自己提出问题又解决不了，丧失信心，“劳民伤财”。传统的数学教学模式中，学生对课本和一些数学问题根本没有深究的时间保证，更由于一部分教师进行“填鸭式”教学，剥夺了学生的独立思考时间和权利，使得一些学生没有形成提问题的习惯，久而久之什么问题也不愿提，更不知道怎么提了。

2．不敢提

美国心理学家罗杰斯认为：“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐安全的课堂气氛。”长期以来，我国的课堂教学大都是“课堂为中心，书本为中心，教师为中心”的单一模式。课堂教学主要特征是传授、灌输知识，教师满堂讲，学生被动听，教师严肃有余，亲切不足，学生岂敢质疑问难？有的学生刚产生疑问时，感觉自己根本无法解决，不去考虑就把问题扼杀在摇篮中；有的怕提出问题后，问题档次太低，会被同学或老师耻笑而降低身份；有的学生产生数学疑问时，自己尝试解决未果，就束之高阁，也不向其他人请教。因此，大部分学生在学习中甘愿做教师问题的奴仆，即使有疑也不敢提出来。久而久之，消极的听课态度使学生的问题意识日渐淡化。

3．不善提

提出问题需要会生疑并克服心理的某些障碍，能用清晰的信息传输媒体将自己的疑问表达出来。善不善于提问题是对一个人提出问题的知识储备、方法储备、研究储备、意识倾向、洞察力特征和运用媒体能力的综合考验，显示出提问者提出问题的胆识和能力特点。就我国很多高职院校的学生现状而言，一些调查研究表明：大部分学生只能提出比较简单的、容易的问题，有些学生虽能提出中等难度的问题，但也过于简单，思维不够开阔，联想不够丰富，能提出具有创见性、高质量问题的学生更是少之又少。究其原因是：教师在教学中常常比较重视对学生分析问题和解决问题能力的培养和训练，而忽视了提出问题能力的培养和训练，使得学生缺乏提出数学问题的策略性知识。因此，学生大都不善于提出数学问题。

张奠宙教授曾说：“中国学生提不出问题，不能创造性地利用数学知识解决问题，其中关键原因就是问题意识的淡薄。”因此，要培养学生问题提出的能力，首先要激活和发展学生的问题意识。

（三）数学教学中培养学生问题意识的策略

1．营造良好的教学氛围，激活问题意识

（1）改变“好学生”的传统评价方式，使学生“想”提。教师应转变单纯把考试分数高和循规蹈矩的学生视为好学生的传统观念，评估体系要鼓励创造性，鼓励提问题，并允许答案多样化。努力培养学生“不唯上、不唯书、不唯实”，敢于大胆质疑的学风。温伯格说：“不要安于你的答案，而要去尝试一下，尝试发现有什么与书本不同的东西。这种素质可能比智力更重要。”

（2）营造宽松、和谐、民主的心理环境，使学生“敢”提。美国心理学家罗杰斯认为：“成功的教学依赖于一种尊重和信任的师生关系，依赖于一种和谐安全的课堂气氛。”陶行知先生说：“只有民主才能解放最大多数人的创造力，并且使最大多数人的创造力发挥到顶峰，应创设教学中良好的师生关系。”由此可见，要让学生大胆提问，改善师生关系，为学生创造平等民主的学习氛围是非常必要的。在课堂教学中教师应多给学生以微笑，多用一些幽默的语言，多讲一些鼓励性的话，变“师道尊严”的师生关系为“教学相长”的朋友关系，同时，教学中要充分爱护和尊重学生的问题意识，以消除他们在学习中、课堂上的紧张感、压抑感和焦虑感。只有这样，学生的问题意识才可以充分发挥和显示，各种奇思妙想、独立见解才会层出不穷。

（3）给予学生以释疑质疑的成功体验，使学生“爱”提。学生渴望成功，成功将更能激发他们提问的热情，培养他们提问的兴趣。所以，教师要善于运用有效的激励手段，通过精心设计符合不同知识基础和能力的问题，为每个学生的成功创造条件和机会。凡是能提出问题的学生让他在课堂上自圆其说，对问题中合理的成分要重在肯定，不合理的也要首先肯定学生提出问题的积极性、主动性，然后共同分析思维不合理的原因，让学生自悟其“理”，体验强烈问题意识所带来的胜利和喜悦的感觉，以进一步强化学生的问题意识。

2．改革传统的教学模式，激发问题意识

在“重教轻学，重智轻能，重结果轻过程，重解题训练轻质疑探求，重统一要求轻独立见解”的传统教学模式下，很难培养出具有强烈问题意识的学生。因此，要培养学生的问题意识，必须改革传统的教学模式。采取“数学情境—提出问题”的教学模式，将有助于激发学生的问题意识。该模式即在教师指导下，从学生熟悉或感兴趣的数学情境出发，通过主动探究、提出问题、研究和解决问题等活动来获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用数学的技能，培养勇于探索、勇于创新的精神。这种教学模式可以表示为如图2所示：

图2　“数学情境—提出问题”教学模式流程

3．加强数学思维训练，促进问题意识

（1）发展直觉思维。直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。教学中教师多给学生做出直觉思维的示范，如大胆假设、猜想等，让学生意识到直觉思维不仅是一种重要的思维形式，更是发现问题、解决问题的一种重要方法。对问题合理大胆的猜想与假设正是学生有强烈问题意识的一种表现。

（2）培养发散思维。发散思维是创新教育的重要思想。学生思考得越多，他在周围世界中看到不懂的东西也越多，他对知识的感受性就越敏锐。因此，对一个问题多层次、多视角地去观察、分析和发散思考，提出具有创造性的问题，这有利于培养学生的发现问题，尤其是创造性发现问题的能力。

（3）鼓励批判思维。数学的批判性品质是数学能力的构成要素，也是衡量数学能力高低的重要标准。敢于批判，敢于打破定势思维，才会使问题变得更有研究的价值，才可能出现有创造性的独立见解。在教学中经常提倡学生不要迷信书本、不要迷信老师，凡事都用自己的头脑思考、有分析地接受、有分析地批判，无疑对提高学生思维的批判性大有益处。通过批判思维的培养，给学生创造一个高度自由的思维空间，鼓励学生发表自己的见解，敢于说“不”，从而使学生有更多的问题空间，激发他们潜在的问题意识。

4．发展学生的策略性数学知识，使学生“善”提

策略性数学知识是关于如何获取数学知识的知识，它侧重于知识学习过程中内在的数学思想方法。提出问题的核心任务就是要让学生学会和掌握提出问题的策略性知识，使之养成一种自动的反思技能，“教是为了不教”，提高学生的策略性知识是实现这一目标的根本保证。

总之，要培养学生发现问题、提出问题的能力，首先要激活和发展学生的问题意识，使学生“想”提、“敢”提、“爱”提、“善”提。

二、创设有利于学生问题提出的数学情境

问题的提出与发现能力与人的直觉、观察、分析、联想、类比、想象等品质密切相关，因此，它的培养不能仅靠知识的单向灌输和习题的重复训练，更需要对必要的情境特别地关注。问题源于情境，没有情境就没有问题，因此，要使学生建立数学问题意识，培养学生提出数学问题的能力，创设数学情境至关重要。

（一）对数学情境及其创设的认识

威廉·托尔斯认为，情境指一个人正进行某种行为时所处的社会环境，是人们对社会行为产生的条件。它包括机体本身和外界环境的有关因素，可分为三类：①真实的情境，指人们周围存在的他人或群体；②想象的情境，指在意识中的他人或群体；③暗含的情境，指他人或群体行为中包含的一种象征性意义。

情境是学生从事学习活动、产生学习行为的一种环境和背景，提供给学生思考空间的智力背景，产生某种情感经验，进而诱发学生提出问题、研究问题、解决问题的一种信息材料或刺激模式。同时也是传递信息的载体。数学情境是从事数学活动的环境，产生数学活动的条件。从它提供的信息，通过联想、想象和反思，发现数量关系与空间形式的内在联系，进而发现提出问题、研究问题、解决问题的策略与方法。同时，伴随着一种积极的情感体验，其表现为对新知识的渴求，对客观世界的探索欲望，对数学的热爱等。数学情境一般有三种形式：①以文词语言表达的情境，语义丰富；②以数学符号语言表达的情境，简洁而抽象；③以图形语言表达的情境，形象而直观。创设数学情境——就是呈现给学生刺激性数学材料信息，引起学生的学习兴趣和学习热情，启动思维，激发其好奇心和发现欲，造成其认知冲突，诱发质疑猜想，唤醒其强烈的问题意识，从而提出数学问题、研究问题、解决问题。创设数学情境也是给学生提供一种智力背景。创设数学情境的根本意义是诱发学生提出数学问题，在学习数学的过程中实现数学的“再创造”，在做数学中学数学。重履数学家发现数学知识之路，从而真正理解数学。

从数学教学的需要出发，创设数学情境可激发学生的学习动机，建立平等合作、相互尊重的师生关系，明确学生在学习中的主体地位。进而给学生提供一次筛选信息、查阅资料的机会，培养学生搜集、处理和利用信息的能力，以及将知识迁移到不同情境的能力，发展学生已有的和潜在的学习能力。

（二）数学情境创设的基本要求

在教学过程中，为了培养学生的数学问题提出的能力，数学情境的创设，应遵循以下基本要求。

（1）以“问题”为导向。这有助于学生树立自信心，形成“问题提出”的自觉意识。事实上，让学生在一个不具有“问题”导向的情境中去发现和提出问题，这几乎是难以进行的数学活动。

（2）以一定的数学知识点为依托。数学情境的创设应服务于一定的教学目标，应有利于学生对相关的数学知识和数学思想方法的掌握。在数学教学中，教师首先呈现给学生的不应是静态的数学知识，而应是数学知识产生的背景——数学情境。因此，根据数学课程中的知识点创设数学情境，引导学生从中提出数学问题，便成为数学教学的重要环节和有机组成部分。

（3）与学生已有的数学认知发展水平相适应。数学情境是数学问题产生的土壤，数学情境的精心创设是学生发现和提出数学问题的重要前提。只有当创设的数学情境进入学生的“最近发展区”，学生才能在已有的认知发展水平基础上，通过教师适当的引导，从中发现问题、提出问题，形成“问题”意识，从而进一步提高自己的探究意识和创新意识。

（4）符合学生的年龄特征及数学思维的发展特点。根据学生的年龄特征及数学思维的发展特点，在高中阶段，数学情境的创设既应突出数学的抽象性和逻辑性，又要注重抽象性和形象性的有机结合。

（5）有利于学生的主动探索。学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战的，应有利于学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。只有当数学情境在内容上富于挑战性和探索性，才有利于学生在问题提出的过程中形成创新意识。

（三）数学课堂教学中情境的创设

要建立学生的数学问题意识，培养学生数学问题提出的能力，教师精心创设数学情境非常重要。而数学情境可以说无时不在，关键在于怎样去精心设置和有效利用。在数学教学中，同一个知识点可创设不同的情境，同一个情境可作为多个知识点的素材。数学情境可以是一个生活生产现象、一个命题、一组数据、一张图、一个已有的问题等。其来源主要有：从已有数学知识中提供产生新问题的资料，特别是古今中外典型数学问题的资料；贴近日常生活生产的资料；其他相关学科中的资料等。

1．从实际生活生产实践创设数学情境

数学的概念或式子有些是由生产、生活实际问题中抽象出来，教师可引导学生对实际生活与生产实践的现象多加观察，利用数学与实际问题的联系来创设数学情境，给学生提供刺激性的数学信息材料，激发学生的好奇心和发现欲，引起认知冲突，诱发学生质疑猜想，从而使数学情境中发现、提出、解决问题的过程成为一种“数学化”的学习过程。这样的情境创设既有利于学生从实际问题中抽象出数学知识，又有利于学生发现与数学知识相关的实际问题，进而有利于发展学生的数学应用能力。

例如，问题“已知：a、b、m都是正数，而且a＜b，求证：。”的实用性很强，与生活密切相关。在让学生证明该问题时，教师先不要急于给出它，可通过创设情境，诱发学生提出它。

情境：现有a克糖水中含有b克糖（不饱和溶液，且a＞b），若在糖水中加入m克糖，问所得糖水是变甜了还是变淡了？

该情境有利于学生通过抽象提出上面的问题。

在引导学生完成该不等式的证明以后，教师继续提问：在生活或生产实践中你能否提出与这个不等式有关的问题？

通过查阅资料，学生给出了以下的实际问题：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光规定，民用住宅的窗户面积与地板面积之比不能小于10％，并且这个比值越大，采光条件越好。

他们还进一步提出问题：如果同时增加相等的窗户面积与地板面积，采光条件是变好了还是变差了？

2．从数学实际创设数学情境

（1）从数学自身发展创设数学情境。以数学知识的产生、发展过程创设数学情境，使学生了解数学知识的实际发现过程，学习数学家探索和发现数学知识的思想和方法，实现对数学知识的再发现。这样的情境创设有利于学生经历对一些重要的数学结论的再发现过程，因此，这种方法尤其适用于定理教学和公式教学。

如在学习“泰勒定理”后，让学生认真观察泰勒公式中各量之间可能隐含的关系和规律，大胆猜想、提出问题。该情境有利于学生从不同角度将泰勒公式特殊化提出麦克劳林公式和拉格朗日中值定理。

（2）从已有数学问题创设数学情境。从已有数学问题，特别是从课本例题和习题创设数学情境，引导学生通过变换问题的表达形式或通过对习题的引申、推广提出新的数学问题。这样的情境创设有利于学生发现与情境中数学问题有关的更特殊或更一般性的结论，并且可以较好地发挥例题与习题的潜在功能，达到举一反三、触类旁通的效果。

如，教师创设情境：从问题“平面四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB²＋CD²＝AD²＋BC²。”出发提出新问题。该情境可诱发学生提出下面的问题：

问题1：平面四边形ABCD中，若AB²＋CD²＝AD²＋BC²，则AC⊥BD。

问题2：空间四边形ABCD中，若AB²＋CD²＝AD²＋BC²，则AC⊥BD。

问题3：若空间中任意四点A、B、C、D满足AB²＋CD²＝AD²＋BC²，则AC⊥BD。

问题4：若A、B、C、D是空间中任意四点，则AC⊥BD的充要条件为AB²＋CD²＝AD²＋BC²。

（3）从已有数学知识创设数学情境。由于数学知识的逻辑性、系统性，数学中很多知识存在着必然的内在联系，可以由此及彼，触类旁通，举一反三。教师可根据知识间的内在联系，从已有的数学知识创设数学情境，让学生通过自己的观察思考，通过类比、归纳进行探索研究，提出新问题。这样的情境创设能够促使学生运用已有的知识和经验在比较类比中揭示新知识，从而有利于知识的系统和认知结构的优化。

如在《导数应用》这部分内容的教学中，在学生理解掌握“应用一阶导数求函数的极值点”和“函数拐点的含义”后，教师可这样来创设问题情境：如何应用二阶导数求函数的拐点？该情境有利于学生提出应用二阶导数求函数拐点的方法和步骤。

（4）从操作实验中创设数学情境。新教育理念强调丰富学生的学习方式，自主探索、动手实践、合作交流等都是学习数学的重要方式。从操作实验中创设数学情境可使学生体验、感受“做”数学的乐趣，在做数学中提出数学问题。

例如，在导数的几何意义这一知识点的教学中，教师利用计算机设计的程序，引导学生运用几何画板软件画出图形，使用其动画功能让动点沿曲线运动到切点，这时割线就运动到它的极限位置。

教师：通过该实验你能提出什么问题？此时此景，学生易于提出以下问题：

问题1：割线的倾斜角趋近于切线的倾斜角？

问题2：切线的斜率是割线斜率的极限？

问题3：函数在某一点处的导数为函数曲线在该点处切线的斜率？

3．从相关学科中创设数学情境

数学课程是学习物理、化学、生物等学科的基础，其诸多知识都与上述学科有着紧密的联系。如概率原理在生物遗传学中的应用，立体几何中的正多面体与化学中的金刚石、甲烷等的物质结构的联系，三角函数与向量在物理学中的应用等。教师应抓住数学与相关学科知识的联系创设问题情境，启发引导学生提出数学问题。这样的情境创设有利于学生在学科知识的交汇点处提出问题。

例如，教师借助甲烷的分子结构创设问题情境，引导学生从数学角度去对信息进行加工、处理，提出数学问题。如图3所示，碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的四个顶点上。该情境可诱发学生提出下面的问题：

问题1：C—H键的键角大小是多少？

问题2：能否用数学知识证明甲烷是非极性分子？

图3　甲烷分子结构

我们认为数学教学应该给学生提供从给定情境中提出问题、在挑战已知中产生新问题、通过反思与回顾提出问题的机会。不仅把问题提出当做教学的手段，而且应看做一种教学目标。创设数学情境，培养学生提出数学问题能力的教学，就是创新教育和研究性学习在数学学科中的最佳切入点。

三、发展学生问题提出的策略性知识

策略性知识具有如下特点：首先，从信息的处理来看，策略性知识具有高度的灵活性。认知对象、相关背景及认知过程本身都处于不断的变化之中，因此，在应用策略性知识时，个体必须根据认知对象、当时的数学情境、认知过程的深入等因素变化不断调整认知策略。其次，从信息加工的结果来看，策略性知识具有极强的创造性。面对新的情境时，原有的策略完全失效，那就只有根据全新的情况来监控和调整策略，而新的策略只有依靠个体去创造才能获得。最后，从信息的表征来看，策略性知识更侧重对规则以及策略的调节和监控，能根据情况的变化及时地确定应对策略。根据策略性知识的特点，运用策略性知识提出问题的关键是个体要具有一些提出问题的基本策略和自我监控的提出问题的意识。

（一）掌握问题提出的有效方法

提出问题的基本策略有很多，如否定假设法、类比思维法、一般化方法、换位思维法、观念组合法等，但应该承认，合情推理是提出数学问题的主要工具。在数学教学中培养学生数学问题提出能力的一个有效途径是让学生掌握合情推理的方法。合情推理是指根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），以及个人的经验和直觉，运用观察、实验、归纳、类比、假设、猜想等一套自然科学常用的探索方法推测某些结果的思维过程。学生们在从事合情推理活动时，可以说是在从事科学家们的探究发现工作。因此，教师应创设有效的问题情境，启发引导学生运用观察、实验、归纳、类比、假设、猜想以及联想等这些合情推理的方法提出数学问题。

1．用归纳法提出数学问题

归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律的思维形式，也是问题提出的常用方法。教材中的概念、法则、性质、定律的提出过程，解题思路的探求，规律的分析过程多采用归纳的思维形式阐述。教师可以针对教学内容，把这些知识的形成过程，设计为学生再发现、再创造、再概括的探究过程，让学生在探究中进行观察并归纳抽象出来，教师只起引导、提示作用。这样不仅可以提高认知效果，培养学生的创新意识，而且能使学生掌握运用归纳提出数学问题的方法。如在二项式定理的教学中，以“杨辉三角”创设问题情境，启发引导学生通过观察，运用归纳法提出问题：①

2．用比较与类比提出数学问题

比较与类比常用于探究一个事物与其他事物的联系与区别，揭示事物的本质与规律。新概念的揭示、法则的提出、规律的概括都渗透了比较与类比的思想方法。教师可以把上述知识的发生过程、法则的形成过程、规律的概括过程，设计为学生的探究学习过程。引导学生在已有知识的基础上，通过类比发现、概括进行探索研究，促使学生运用已有的知识和经验在比较与类比中揭示新知识、提出新问题，从新旧知识的比较中强化对新知识的理解，并学会运用比较与类比的方法提出数学问题。比如讲二元函数极限概念时，教师可用与一元函数极限概念相类比的方法启发学生自己给出定义。

但就学生已有的数学认知发展水平而言，由猜测得出的结论仍具有未知性。因此，这些发现也就成为学习者急于想知道正确与否的数学问题，而这种发现的过程便成为学生提出数学问题的过程。

当然，运用类比思想方法作出的猜想有时也不一定正确。比如，对掌握了a（b＋c）＝ab＋ac的知识，但没有建立“lga（b＋c）＝lga＋lg（b＋c）”认知结构的学生而言，通过类比方法猜想出的可能是这样一个错误的结论：lga（b＋c）＝lgab＋lgac。尽管如此，恰当地运用比较与类比方法，让学生大胆猜想，这仍然为学生发现和提出数学问题提供了一种有效的方法。

3．用观察、实验提出数学问题

观察是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获得信息，运用思维方法辨认形式、结构和数量关系，从而发现某些规律或性质的方法。数学思维通常都要从观察对象开始，结合运用其他方法才能获得客观事物本质和规律的认识。因此，观察法是数学思维过程中必需和第一位的方法，也是发现问题的常用方法。怎样进行观察？指导学生应注意：观察要有意识、有目标，处处留心，总想“找茬儿”，想从中发现什么；在观察中更要注意从个别想到一般，从平常想到异常。新的数学教学观明确指出：数学不仅仅是思维科学，而且也是实验科学。实验是自然科学的生命，实验同样也是探究数学规律、提出数学问题的重要方法。几何中的公理、定理几乎都是通过实验归纳提出来的。教师可以在教学中设计实验探究性问题，引导学生通过实验、观察、归纳来发现问题、提出问题。从而使学生掌握运用实验、观察的方法提出数学问题。如在“函数图象”的教学中，教师可以在利用计算机进行演示的基础上，引导学生画图，寻找图形的特点，观察发现结论，讨论实验过程，揭示因果关系并对结论的内涵外延进行探索。

4．用假设、猜想提出数学问题

科学结论以及成果的得出多源于假设、猜想。假设、猜想是探究数学规律、提出数学问题的重要方法，是一种有意探索。它具有明确的目的性、方向性。假设、猜想的内容大多具有新颖性与创新性，即其内容体现了具有创造性的能力。许多问题都是在假设、猜想的基础上提出，然后通过实验探究论证而最终获得的。教师应设计利用假设、猜想来获得新知识的探究性学习过程，让学生掌握运用假设、猜想提出数学问题的有效方法。比如在讲授“牛顿—莱布尼兹公式”这部分内容时，可先出示问题：设某物体做直线运动，已知速度v＝v（t）是时间间隔［T₁，T₂］上的一个连续函数，且v（t）≥0，求物体在这段时间内所经过的路程。待教师引导学生得出位置函数S（t）与速度函数v（t）的关系“S（T₁），其中S′（t）＝v（t）”后，教师可以这样提问学生：“该关系能否推广到一般？”在教师的启发下，学生不难猜想出牛顿—莱布尼兹公式。

5．用联想方法提出数学问题

联想是由一事物的思维引起对与其相关的事物的思维的心理过程。联想是回忆旧知识、发现新知识的重要手段，是联系生疏问题和熟知问题的心理桥梁，是在解题过程中不可缺少的心理活动，也是提出数学问题的常用方法。教师应创设利用联想来提出数学问题的探究性学习过程，从而让学生掌握运用联想提出数学问题的有效方法。在原有问题的基础上略加变化，改编出新的问题也是通过联想提出问题的一种方法。例如，对问题“5个旅客投宿于3个旅馆，共有多少种不同的方法？”加上限制，就会产生一个新的问题“5个旅客投宿于3个旅馆，每个旅馆至少有一位旅客住宿，共有多少种不同的方法？”

事实上，一个数学问题的提出往往是多种方法的综合运用。教师应在教学过程中经常创设有利于问题提出的问题情境，鼓励学生充分发挥他们的想象力，运用类比、归纳、联想、特殊化与一般化、直觉猜想这些合情推理的方法提出数学问题，并对问题的结论进行检验证明，使学生经历象数学家那样创造发明的曲折历程，培养他们执著探索、勇于发现、不断进取的数学精神和创新意识，久而久之，他们会自觉掌握运用合情推理的方法提出数学问题。

（二）增强元认知监控技能

培养学生数学问题提出的能力，不仅需要学生掌握提出问题的基本策略，更要增强他们的元认知监控技能，以监控和调节这些基本策略的运用。研究表明，经常问及以下的问题是促进元认知的一个十分有效的方法：“你现在在干什么”或“你准备干什么”（“什么”）；“你为什么要这样做”（“为什么”）；“这样做的实际效果如何”（“如何”）。

在教学过程中教师应经常提及这些问题以促进学生元认知水平的提高，直至这样的提问最终成为学生的自觉行为。

四、教给学生问题提出的角度

当学生有了一定的问题意识和一定的提出问题的能力后，教师应鼓励学生自己提出问题，美国的教育家布鲁巴克就曾说过：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提出问题。”而学生自己提问题往往带有一定的盲目性，他们会为提问而提问，提一些简单、无效的问题，这样会影响教学进度的正常进行。为了使学生提出的问题具有针对性、明确性和科学性，为了能把有限的教学时间用在完成教学任务和教学目标上，教师应教给学生提出问题的角度，引导他们在自己教学的重点、难点和疑点等方面提问。

（一）从概念的理解中提出数学问题

对于数学概念的学习，在学生理解其含义后，引导学生提出问题：

（1）该概念揭示了事物何种本质属性？其内涵反映了哪些特征？

（2）它的外延范围怎样？

（3）它按何种形式下的定义？可以有几种定义方式？

（4）和它邻近的概念是什么？它们在内涵和外延上有何关系？

（5）该概念在理解上会产生哪些错误？

（二）从数学公式的剖析中提出数学问题

（1）该公式若是从已有的数学知识中推导出的，那么这种推导的基础是什么？

（2）有几种推导方法？有哪些限制条件？这些条件可否增减？增减后公式的结果、适用范围又将发生怎样的变化？

（3）公式的适用范围怎样？如何用它解决有关的数学问题和实际问题？

（4）公式的形式是否还可简化？有何独有的特征？如何记忆？

（三）从定理的分析中提出数学问题

（1）该定理的条件有几个？起到何种作用？可否减少？

（2）定理的条件和结论能否互换？互换后命题是否为真？

（3）如何用数学语言来表述该命题？

（4）运用时可能会产生一些什么错误？常出现在什么地方？

（四）从解决问题中提出数学问题

数学的学习离不开问题的解决。克莱因常常对学生讲：“用新方法来解决老问题，可以推动纯粹数学的发展，当我们对老问题有了更好的理解，自然会提出新问题。”因此，应鼓励并引导学生在解决问题的过程中和解决问题之后提出问题或变换问题。

（1）解决问题时可根据波利亚的“怎样解题”表，引导学生从如下方面提问：已知条件是什么？要求的问题是什么？你以前曾见过它吗？你能提出一个相似或相同已知条件的问题吗？你能提出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？你能解出问题的一部分吗？是否需要辅助问题等。

（2）问题的解决并不等于教学过程的结束，教师应引导学生继续前进，对解决问题的过程进行反思，并通过和学生的交流进行调整，提出更深层次的问题。解题后的引申推广是一种常用的方法。解题后一般可朝三个方向进行推广。一是一般化，即减弱问题的条件，把结论推广到条件更一般的情形；二是特殊化，即强化问题的条件，把结论推广到条件更特殊的情形；三是“发展性”推广，即在原有条件、结论的基础上，进一步发展其空间形式或数量关系。

（五）从实际生活生产实践中提出数学问题

在日常生活和生产中，在个人日常思维中，包含不少数学运算和关系。发现并解决日常生活中的数学问题，是良好的数学素质之一。因此，教师应鼓励和引导学生用数学的眼光去观察发生在身边的现象，然后抽象概括出数学问题并解决它。如生活中的储蓄利率问题，物价涨跌问题，购物的容量问题；生产中的成本问题，合理用料问题，最佳决策问题等等。在平时结合所教内容，渗透应用题的教学，并搜集一些生活中的问题加以解决，给学生以示范作用。

五、引导学生提出高水平的问题

在训练学生问题提出的初始阶段，教师要对任何学生提出的任何问题进行无条件的肯定，哪怕是幼稚、无关、无效、荒诞的问题都应得到肯定，以保护学生的问题意识及问题提出的积极性。当学生敢于提问后，教师应对他们进行规范，以保证学生提出高水平、高质量的问题。为此教师要做好以下几个方面的工作。

（一）师生共同评价问题

教师可把学生提出的问题列出来，与学生一起讨论哪些是重复的，哪些是无关的、无效的，最后把有效的、有水平的、有质量的问题筛选出来，然后再分析这些问题为什么有效、有水平、有质量。教师既要鼓励学生多提问题，更要鼓励学生提好问题，著名科学家茅以升先生在教书的时候就是这样，当学生提出一个好问题时，就给他记100分，如果学生能提出一个难倒老师的问题则记特等分，结果学生提出来的问题质量越来越高。

（二）引导学生分析解决自己提出的问题

学生提出的问题实际上有相当一部分是自己稍作思考或自行查阅就可能解决的。教师要引导学生在把问题向别人表述之前先自己作思考，能够自己解决的尽量自己解决。这样可避免学生为提问而提问，并可避免提简单、无效的问题。另外，教师还要引导全班学生参与分析讨论问题。当某学生提出问题后，教师可先反问：“你自己能回答吗？”如果他不能回答，则把问题交给其他学生：“谁能帮他解决这个问题？”

（三）引导学生恰时恰点地提问

课堂教学中，教师应引导学生恰时恰点地提出问题，提好问题，并给他们以提问的示范，使他们领悟提出问题的艺术。具体地说，可以在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，引导学生提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的高水平的问题。总之，教师要引导学生在自己教学的重点、难点中提问，这样不仅更有可能使学生提出有价值的问题，更重要的是能把有限的教学时间用在完成教学任务和教学目标上，从而把学科教学和问题提出能力的培养有机结合起来。

在提出问题的教学中，我们应当特别重视对于学生提出的各个可能的“新问题”的评价和选择，鼓励并引导学生提出好的、有价值的、高水平的问题，这应被看成是提出问题能力的一个重要内涵。

总之，敢于探索、善于提出问题是科学研究的开端，同时也是科学研究能力的具体表现。数学家希尔伯特说：“只要一门科学能提出大量的问题，它就充满着生命力。”因此，我们应当赋予提出问题与解决问题同样的重要性，必须十分重视在数学课堂教学中对学生提出问题能力的培养。在数学课堂教学中，教师应尽可能多地为学生提供提出问题的自由空间，努力创设有意义的数学问题情境，鼓励学生自己提出问题并解决问题，努力培养学生的数学问题意识和数学问题提出的能力。当然，学生的问题很可能会漫无边际，我们会担心教学任务能否顺利完成。但我认为，这里有一个引导艺术的问题。而且只要学生的创新能力在这样的课堂上不断得到提高，就不应计较“一城一池”之得失。甚至，只要学生能提出好的数学问题，就应视为一种成功。

【注释】

[1]聂必凯，汪秉彝，吕传汉．关于数学问题提出的若干思考［J］．数学教育学报，2003，12（2）：24－26．

[2]为行文方便，下文中的“问题”一般指“数学问题”。

[3]吴裕良．培养创新观念下的问题意识［J］．数学教学研究，2002（9）：6－9．